数学核心素养“数学抽象”的认识及思考

除去具体属性，数学的本质更清楚、更简单； 数学内在要求也是以简驭繁、以少驭多、以“不 变”应“万变”、举一反三，形成观念、思想、 模式或结构。（最后剩下典型的思想方法。“少 则得，多则惑” ，若满脑子都是知识，这样的学 生可能学不好数学）。
四、数学抽象也是方法论，指导数学学习
我们高三数学复习备考的基本观点是： 1、复习内容要集约化——呈现共性。按照 同类为伍，近类为邻的原则,用抽象的观念合并 同类项，突出主干知识，聚焦核心概念，以主干 知识带动全面复习，形成一、二、三轮复习由面 到线、由线到点的“面—线—点”“瘦身”复习 策略。 2、复习方式要聚焦“类”教学，发掘“支撑 思想” ——通性通法和典型方法——举一反三 、触类旁通，实现能力迁移。
2、三角函数（初中直角三角形、高中单位 圆），突出函数周期性的本质；
3、单调性（定义， (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x) 0 ） x1 x2
二、抽象结构关系获得结论
例如，三角形面积 S 1 ah （其中 a 是底， h 是高），扇形的面
能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学 思想。
在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象。
能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数 学语言予以表达；能够在得到的数学结论基础上形成新 命题；能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题。
能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构， 能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序
水平三 多级的数学知识体系。
在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用 准确的数学语言予以表达；能够感悟通性通法的数学原 理和其中蕴含的数学思想。
在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社 会现象。
一、获得数学的概念、或深化概念
1、函数概念（变量说、对应说），扩大认知
边界（ y 1），深化对函数的理解和认知；
2
积 S 1 lr （其中 l 是弧长， r 是半径），其中，三角形的底 a 和
2
高 h 是垂直关系，扇形的弧 l 和半径 r 也具有“垂直”关系。 若将扇形的弧 l 和半径 r 类比地看成三角形的“底”和“高”， 则两者结论是一致的。也就是说，数学对象变化而关系相似，
则结论具有统一性。进而，我们可以利用数学知识的这种联
水平
素养 数学抽象
能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能 够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模 仿学过的数学方法解决简单问题。
能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条 件与结论，能够在熟悉的情境中抽象出数学问题。
水平一 能够了解用数学语言表达的推理和论证；能够在解决
相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思 想。
对数学核心素养“数学抽 象”的认识及思考
本次课标修订（2017年版）是对2014 年版的继承和发展，在2014年版课标基础 上，凝练提出了本学科的6个核心素养，即 数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想 象、数学运算和数据分析。如何理解和认 识这6个核心素养，结合昨天鲍教授和章建 跃主编提出的要有具体样例支撑、要注意 数学学科核心素养与具体教学内容的关联 的思想（显性化），以核心素养“数学抽 象”为例，谈一点我个人的粗浅认识。
三、形成数学方法、思想、模型 例如，中点坐标公式（简单、以简驭繁、大概 念、统摄性）
1、函数图像的对称性（核心是中点的坐标公式）：
①若函数 y f (x) 满足 f (x) f (2 x) ，则函数 y f (x) 图像关于 x0 1对称；
②若函数 y f (x) 满足 f (x) f (2 x),则函数 y f (x) 图像关于(1,0) 对称；
百度文库学抽象主要表现为：获得数学概念 和规则，提出数学命题和模型，形成数学 方法与思想，认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能在 情境中抽象出数学概念、命题、方法和体 系，积累从具体到抽象的活动经验；养成 在日常生活和实践中一般性思考问题的习 惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数 学抽象的思维方式思考并解决问题。
谢谢大家！
在交流的过程中，结合实际情境解释相关的抽象概念。
能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则， 能够将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的 情境中选择和运用数学方法解决问题。
能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则；理解 数学命题的条件与结论；能够理解和构建相关数学知识
水平二
之间的联系。 能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；
(a b , m n) 对称；
2
2
(a

x,
f
(a

x))
，
(b

x,
f
(b

x))
，
x0

(a

x)
2
(b

x)

a
2
b
，
y0

f (a x) 2
f (b x) m n 。 2
2、梯形中位线（几何 对应 代数）
3、圆台中截面
S中截面
S上底面 + S下底面 2
数学抽象（内涵、价值、表现、水平）
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽 象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量 与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及 概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般 规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维 的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学 产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成 为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系 统。
③若函数
y

f
(x) 满足
f
(a x)
f
(b x) ，则函数
y

f
(x) 图像关于 x0

ab 2
对称；
④若函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) ,则函数 y f (x) 图像关于 ( a b , 0) 2
对称；
⑤若函数 y f (x) 满足 f (a x) m f (b x) n ,则函数 y f (x) 图像关于
系的特征，把圆看成“完善”的扇形，推知圆的面积是 S 1 cr 1 (2 r)r r2 （其中 c 是圆的周长， r 是圆的半径）。
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从结构抽象意义上讲，三角形、扇形和圆是 同一类知识，是可以放在一起加以认知的，并且 还可以提高我们的认知水平。所以，利用数学知 识的这种内在联系特征，可以将高中数学知识进 行归类和“浓缩”，减轻知识负担，提高学习效 率。
数学对象不断变化而关系（结构）在抽象意 义上基本不变，结论具有统一性（一般性）。
迁移（具体知识不好迁移，但抽象后）： 例2，球体与圆锥是同类知识（抽象结构意义）
V球体

1 3
S求表面积r

1 3
(4 r2 )r

4 3
r3
虽然不严谨，需要严格证明；但他提供探究的 方向、研究的思路；也可能在未知的领域有创新性 的发现。对象和关系的不断抽象，而结论具有概括 性或一致性，使得数学成为高度概括、表达准确、 结论一般、有序多级的系统。