化归思想在中学数学教学中的应用

化归思想在中学数学教学中的应用

【摘要】化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。

【关键词】化归思想化归原则化归模式化归方法

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。

一、化归思想遵循的原则：

化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：1.数学化原则

即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利

用数学知识解决生活中的各种问题，《课程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。

2.熟悉化原则

即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。

3.简单化原则

即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。

4.直观化原则

即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。

二、实现化归思想的教学条件

中学数学教学中，有很多问题都需要用化归的思想方法去来解决，化归思想在数学的学与教中的作用是不容置疑的，化归思想在中学数学中是一种非常重要的数学思想。在教学过程中我们应该怎样做呢？实现化归又需要些什么条件呢？

1.夯实基础，完善知识结构

扎实的基础知识以及完整的知识结构是实现化归的前提，数学优生与差生区分的本质区别就是基础知识和知识结构掌握的程度不同，在教学过程中，夯实基础、完善知识结构我们可从这样做起：

(1)重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反应，从广义上说，从基本概念到公式、运算系统、方程求解法都是数学模型。 ] 3[像集合、函数、异面直线、 二面角这些可以叫做概念数学模型；圆222r y x =+椭圆12222=+b y a x 、双曲线122

22=-b

y a x 、抛物线px y 22= 可以叫做方程模型等。从狭

义上说，只有那些反映特定问题的数学结构才成为数学模型。例如，我们称一次函数是匀速直线运动的数学模型，二次函数是抛物线运动的数学模型。而数学模型方法是指利用数学模型解决问题的一种方法。从某一方面可以这样讲，中学数学教学实际上是一种数学模型的教学。建立模型是实现问题规范化，程序化，应用模型即是转化与归结的过程。在教学过程中，我们应该注意：

首先要注重数学模型构造的过程。中学教材非常重视知识的产生、发展和运用过程。数学模型同样有其生动背景、实际原型、构建与运用过程，在教学中，要引起足够的重视。一般来说，根据实际问题构建数学模型的步骤有以下几点：

a.掌握客观对象的丰富资料和有关数据；

b.确定所研究问题的系统

在实际中，一般对一个问题可以建立不同的数学模型，这就需要我们在实践中不断探索，找出最好的模型。

其次，要注重数学模型在中学数学教学中的应用，人们可以利用数学的有关思想模型去解决生活中实际问题。为了能够使学生真正掌握和运用数学知识解决生活中实际问题，务必注重数学模型在中学数学教学中的作用，以致培养学生构造、运用数学模型的能力。在中学数学实际教学中，应该注意：

a注意数学概念、公式与实际原型的关系

b.提高利用数学模型法解决数学问题的能力

c.数学模型的相互转换

d.构造数学模型原型，以解决纯数学问题

(2)养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。其实很多时候差生非普通题无头绪，源于他们头脑中没有系统的知识体系。所以教学过程中，务必注重培养学生的系统知识，让他们对知识有个系统的掌握。

(3)完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。

在日常教学中，要注重帮助学生完善知识结构，可以从做好小结，勾画知识结构系统图起。

2.培养化归意识，提高转化能力

(1)精心设计合理化解题目建议，培养学生化归意识

波利亚堪称世界数学解题的旗帜，他深知数学中化未知为已知、化繁为简、化新为旧、化难为易等方法的普遍意义。怎样解题？怎样诱发灵感？在波利亚看