军备竞赛模型

军备竞赛模型]7[

问题描述与分析：

两个国家或竞争对手之间因为互相不信任及存在各种矛盾、发展而不断的增加自己的军事力量，预防对方可能发起战争，这样的过程我们是否能用一个数学模型来描述，从定性和定量的角度对竞赛的结果做出解释或预测,这个过程我们称之为军备竞赛. 模型假设与构成：

用军需来表示军事力量的总和，比如兵力，装备，军事预算等方面.甲乙量方在时

刻t 的军备分别记为x(t)和y(t),假设它们的变化由以下3个因素决定: 1.因为相互不信任及矛盾的扩大,一方的军备越大,则另一方的军备增加的速度越快，假设它是线性的.

2.因为双方自身的经济能力制约,双方中一方军备越大,之后对军备增长的制约作用就越大,假设它是线性的.

3.因为相互存在矛盾或领土的争端,任一方都有着增加军备的固有潜力,假设它为一个常量.

于是甲乙双方的军备变化的过程可用微分方程组

g

ky x t x h

y lx t y ++-=+-=αβ)()({

(4.1)

表示,h l g k ,,,,,βα≥0.其中k,l 是对军备刺激程度的度量;βα,是己方经济实力制约程度的度量;g,h 是己方军备竞赛的固有潜力.

首先我们只考虑军备竞赛的结果由什么因素决定,而先不讨论竞赛的过程,于是我们只需要用微分方程稳定性理论讨论在时间充分长之后x(t),y(t)的变化趋势,也就是方程组(1)的平衡点的稳定情况.

首先,令(1)式右端等于0,可以算出平衡点),(0o y x 为

kl

g

hk x -+=

αββ0 kl h

y o -+=

αβαlg (4.2)

方程组(4.1)的系数矩阵为

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡--=βα

l k A 按照前一章介绍的判断平衡点稳定性的方法计算得到

0)(2211>+=+-=βαa a p (4.3) det =q kl A -=αβ (4.4) 由稳定性准则,当

kl >αβ (4.5) 时,平衡点),(0o y x 是稳定的,反之不稳定.

所以,可以知道,在kl >αβ条件下,时间足够长以后双方军备趋于一个有限值,军备竞赛是稳定的. 模型的定性解释:

依据方程(4.1)和平衡点稳定性的分析,能够简单说明几个重要的现象.

1.条件(4.5)表明,甲乙两方的经济制约程度αβ大于双方的军备刺激程度kl 时,军备竞赛才能够趋于稳定.反之x(t),y(t)如果趋于无穷,竞赛就会无限的进行下去,呢么就很可能导致战争.

2.由(4.2)式,如果g 和h 都等于0,则0x =0,0y =0是方程(4.1)的平衡点,并且在条件

kl >αβ下它是稳定的.于是如果在0t 时刻,有0)()(00==t y t x ,x,y 就永远为0.此时情况能够说明在甲乙没有任何矛盾和争端,经过裁军之后能够达到持久平和,就好像两个友好的邻国.

3.那么当0,≠h g ,这时因为某种原因在某种时候双方军备大减,设0)()(00==t y t x ,那么由于x=g,y=h,也让双方重整军备.这可以解释为没有经过和解的裁军是难以持久的.

4.当由于某种原因,在某个时候其中一方的军备减少为0,我们假设0)(0=t x ,那么由于x=ky+g,也让该方的军备重整.可以解释为没有不信任(k ≠0)或固有争端(g ≠0)的单方面裁军也难以持久.

模型参数的估计:

为了利用kl >αβ断军备竞赛是否会趋于稳定,需要知道l k ,,,βα.但是估计这些参数无疑是很困难的,下面是Richardson 提出的一种方法. 1.l k ,的估计:

设x(0)=0,当t 较小时,可以忽略掉g 和x α-的作用,并近似地假定1y y =不变,由方程(4.1)得

1ky x

= (4.6)

若当τ=t 时1y x =,则由(6)式得到 τ

=-1

k

(4.7)

这解释为1-k 是甲方军备从0赶到乙方军备1y 需要的时间.例如德国从1933年开始重整军备,仅仅用了3年就赶上了邻国,我们设他增加军备的固有潜力g 被制约效应x α所抵消,所以可以认为德国的1-k ≈3年,即k ≈0.3.

l 也可做类似地估计,也可以合理的假定它与国家的经济实力成正比. 2.βα,的估计:

设g=0,y=0,由方程(1)可得t e x t x α-=)0()(,将1-=αt 代入,计算出e

x x )

0()(1=

-α,这表示1-α是在乙方无军备时甲方军备减少到原来的e 1

需要的时间.

对模型和参数的粗略检验:

参考第一次世界大战前期,法俄同盟和德奥匈同盟的军备竞赛情况.

两个同盟的经济实力大致相同,且约为德国的3倍,已知德国的k ≈0.3,所以两个同盟的k=l ≈0.9.同时假定2.0≈=βα,那么由于kl <αβ,(4.5)不成立,所以他们军备不会趋于稳定.

事实上,当时两个同盟之间既有军事竞赛又有贸易往来.用11,y x 表示双方的军事预算,22,y x 表示双方的贸易往来,从军事预算中扣除贸易往来作为军备,即

2121,y y y x x x -=-=.以βα==,l k 带入方程(4.1),并将两式相加得到

h g y x k y x dt

d

+++-=+))(()(α (4.8) 将2121,y y y x x x -=-=代入(4.8)并做整理可得到

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

-+++-++-+-=+αααk h g y x dt d k y x y x k y x dt d )(1)()()()(22221111 (4.9) (9)表明11y x +与他的变化率的关系是线性的.为了与实际数据作比较,列出下表为1909年到1913年的军事预算.

表2 两个同盟的军事预算(单位:百万英镑)

图2 表示11y x +和∆)(11y x + （其中x 轴表示11y x +，y 轴表示∆)(11y x +）

1909 1910 1911 1912 1912 法俄1x 115.3

119.4

127.8

145.0

1913

德奥匈1y

83.9 85.4 87.1 93.7 122.3 1x +1y

199.2

204.8

214.9

238.7

289.0

△)(11y x +

5.6 10.1 23.8 50.3 11y x + 202.0 209.8 22

6.8 263.8