2013高中数学 3-4 第2课时简单线性规划同步导学案 北师大版必修5

第2课时简单线性规划
知能目标解读
1.了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念.
2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤.
重点难点点拨
重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法.
难点：线性目标函数最值（即最优解）求法.
学习方法指导
一、简单线性规划的几个概念
1.目标函数：我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的一次函数，则又称该目标函数为线性目标函数.
2.约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件.如果约束条件是关于变量的一次不等式（组），又称线性约束条件.
3.线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，也称为二元线性规划问题.
4.可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）称为可行解.
5.可行域:由所有可行解组成的集合称为可行域.
6.最优解:可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个.
二、目标函数的最值问题
在求目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值.
1.求目标函数z=ax+by+c,b>0的最值.
在线性约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:
(1)作出可行域；
(2)作出直线l0：ax+by=0；
(3)确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大；若把l0向下平移,所对应的z值随之减小,依可行域判定取得最优解的点.
(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.
2.求目标函数z=ax+by+c,b<0的最值.
在线性约束条件下,当b<0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:
(1)作出可行域；
(2)作出直线l0:ax+by=0;
(3)确定l0的平移方向:若把l0向上平移,所得相应z值随之减小；若把l0向下平移,所对应的z值随之增大,依可行域判定取得最优解的点.
(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.
注意：
确定最优解的方法:①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；②利用围成可行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线l1,l2,…,l n的斜率分别为k1<k2<…<k n,且目标函数的斜率为
k,则当k i<k<k i+1时,直线l i与l i+1相交的点一般是最优解.
知能自主梳理
对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的一次不等式，称为.z=f(x,y)是欲达到的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做，当f(x、y)是x,y的一次解析式时，z=f(x、y)叫做.
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为；满足线性约束条件的解（x，y）叫做；由所有可行解组成的集合叫做；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做.
［答案］线性约束条件目标函数线性目标函数线性规划问题可行解可行域最优解
思路方法技巧
命题方向求线性目标函数的最值问题
x-4y≤-3
［例1］设Z=2x+y，式中变量x，y满足条件 3x+5y≤25，求Z的最大值和最小值.
x≥1
［分析］由于所给约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解.
［解析］作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示.
把Z=2x+y变形为y=-2x+Z，得到斜率为-2，在y轴上的截距为Z，随Z变化的一族平行直线.
由图可看出，当直线Z=2x+y经过可行域上的点A时，截距Z最大，经过点B时，截距Z最小.
x-4y+3=0
解方程组，得A点坐标为（5，2），
3x+5y-25=0
x=1
解方程组，得B点坐标为（1，1），
x-4y+3=0
所以Z max=2×5+2=12，Z min=2×1+1=3.
［说明］由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，准确地理解Z的几何意义，线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得.
≤6,
变式应用1 （2011·大纲文，4）若变量x、y满足约束条件x-3y≤-2, 则z=2x+3y
x≥1,
最小值为（）
A.17
B.14
C.5
D.3
［答案］ C
［解析］本题主要考查了简单的线性规划问题，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，
求出直线交点坐标代入目标函数，即可求出最小值，注意各直线的斜率之间的关系.
x+y≤6，
由x-3y≤-2，作出可行域如图
x≥1.
作出l0:2x+3y=0，在可行域内平移l0，显然当l0过A点时z=2x+3y取最小值.
-3y=-2
联立得A(1,1)
x=1
∴z=2x+3y的最小值为2×1+3×1=5.
命题方向利用线性规划问题求取值范围
［例2］已知二次函数f(x)=ax2-c(a≠0)满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围.
［分析］本题看似不是线性规划问题，但经过思考、提取信息可以看成一个简单的线
-4≤a-c≤-1
性规划问题求解.否则直接用不等式知识求解，容易出现由求出a,c的范围，
-1≤4a-c≤5
进而确定f(3)的范围而发生错误.
［解析］∵f(x)=ax2-c(a≠0),
f(1)=a-c
∴，又∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,
f(2)=4a-c
-4≤a-c≤-1
∴，作出其可行域如图所示.
-1≤4a-c≤5
根据题意可得目标函数f(3)=9a-c,作直线l:9a-c=0,当直线l向下平移时，所对应的f(3)=9a
-c的函数值随之增大，∴当直线l经过可行域的顶点B时，f(3)=9a-c取得最大值.解方程组a-c=-4
，得B(3,7),
4a-c=5
∴f(3) max=9×3-7=20.当直线l向上平移时，所对应的f(3) =9a-c的函数值随之减小，
a-c=-1 ∴当直线l经过可行域的顶点A时，f(3)=9a-c取得最小值.解方程组，
4a-c=-1
得A(0,1),∴f(3) min=9×0-1=-1,
∴f(3)的取值范围为［-1,20］.
变式应用2 (2012·抚州市统考)已知f(x)=4(a-3)x+b-2a,x∈［0,1］,若f(x)≤2恒成立，求t=a+b 的最大值.
f(0)=b-2a≤2
［解析］函数f(x)类似一次函数，由此可得，，
f(1)=b+2a-12≤2
b≤2a+2
即，
b≤-2a+14
作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线l0:a+b=0,当直线l0向下平移时，所对应的t=a+b的值随之减小，当直线l0向上平移时，所对应的t=a+b的值随之增大.所以当直线经过可行域的顶点M时，t=a+b 取得最大值，又M(3，8)，所以t max=3+8=11,所以t=a+b的最大值是11.
探索延拓创新
命题方向求非线性目标函数的最值问题
x-y+2≥0
［例3］已知x+y-4≥0 ，求：
2x-y -5≤0
（1）z=x 2
+y 2
-10y +25的最小值； （2）z =
1
1
2++x y 的范围. ［分析］ （1）其中z=x 2
+y 2
-10y +25=(x -0) 2
+(y -5) 2
的几何意义为平面区域内的点（x,y ）到（0，5）
距离的平方；（2）z =112++x y =2·
)1()
21
(----x y 的几何意义为平面区域内的点（x,y ）与（－1,-2
1）连线斜率的2倍.关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解.
［解析］ （1）作出可行域,如图
.
A (1,3),
B (3,1),
C (7,9).
(1)z=x 2
+(y -5) 2
表示可行域内任一点（x,y ）到点M （0，5）的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故
｜MN ｜＝
2
)1(1|250|-++-=
2
3=223. |MN |2
=
29,所以z=x 2+y 2
-10y +25的最小值为2
9. (2)z =2·
)1()
21(----x y 表示可行域内点（x,y ）与定点Q (-1,-2
1)连线斜率的2倍． ∵k QA =
47,k QB =83，故z 的范围是［43,2
7
］. ［说明］ 1.对形如z =(x-a ) 2
+(y-b ) 2
型的目标函数均可化为求可行域内的点（x,y ）与点（a,b ）间的距离的平方最值问题．
2.对形如z =d cx b ay ++ (ac ≠0)型的目标函数，可先变形为z =c
a ·
)
()
(c
d x a b
y ----的形式，将问题转化为求可行域内的点(x,y )与 (-
c
d ,-a b )连线斜率的c a
倍的范围、最值等．注意斜率不存在的情况. y ≥0
变式应用3 已知实数x,y 满足不等式组 x-y ≥0 ，求ω=
1
1
+-x y 的取值范围. 2x-y -2≥0
［解析］ 作出可行域如图所示.
因为
1
1
+-x y 表示可行域中的点（x,y ）与点（－1,1）连线的斜率.显然可行域内A 点与点(-1,1)连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以k min =
1101---=-21，k max 不存在，所以ω=1
1
+-x y 的取值范围是［-
2
1
,1). 名师辨误做答
3x +2y ≤10
［例4］
设变量x,y 满足条件 x+4y ≤11 ，求S =5x +4y 的最大值.
x ∈Z ,y ∈Z x >0,y >0
［误解］ 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x +4y =S 过点
A (1023,
59)时，S =5x +4y 取最大值，S max ＝5
91
. 因为x 、y 为整数，而离点A 最近的整点是C (1,2)，这时S =13,所要求的最大值为13.
［辨析］ 显然整点B (2,1)满足约束条件，且此时S =14,故上述解法不正确. 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点. 而要先对边界点作目标函数t=Ax+By 的图像， 则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By 最近的整点.
［正解］ 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l ：5x +4y =0,平行移动直线l 经过可行域内的整点B (2,1)时，S max ＝14.
课堂巩固训练
一、选择题
x ≤2
1.若x,y 满足约束条件 y ≤2 ,则目标函数z=x +2y 的取值范围是（ ）
x+y ≥2
A.［2,6］
B.［2,5］
C.［3,6］
D.［3,5］
［答案］ A
x ≤2
［解析］ 画出不等式组 y ≤2 表示的可行域为如图所示的△ABC .
x+y ≥2
作直线l :x +2y =0,平行移动直线l,当直线l 经过可行域内的点B (2,0)时z 取最小值2，当直线l 经过可行域内的点A (2,2)时，z 取最大值6，故选A.
x ≥1,
2.（2011·天津文，2）设变量x,y 满足约束条件 x+y -4≤0, 则目标函数z =3x-y 的最大值
x -3y +4≤0,
为（ ） A.－4
B.0
C.
3
4 D.4
［答案］ D
［解析］ 本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可. x ≥1, 由 x+y -4≤0,
x -3y +4≤0,
作出可行域如图：
当直线z =3x-y 过点A (2,2)点时z 有最大值.z 最大值=3×2-2=4.
0≤x ≤2 3.(2011·广东理，5)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组 y ≤2 给定.
x ≤2y
若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z=OM·OA的最大值为（）
A.42
B.32
C.4
D.3
［答案］C
［解析］本题考查线性规划、数量积的坐标运算.
∵OM·OA=（x,y）·（2,1）=2x+y,做直线l0：2x+y=0，将l0向右上方平移，当l0过区域D 中点(2，2)时，OM·OA=2x+y取最大值2×2+2=4.选C.
二、填空题
x-y+2≥0
4.设x、y满足约束条件 5x-y-10≤0，则z=2x+y的最大值为.
x≥0
y≥0
［答案］11
x-y+2≥0
［解析］不等式组 5x-y-10≤0表示的可行域如图阴影部分所示.
x≥0
y≥0
x-y+2=0 x=3
由，得
5x-y-10=0 y=5
∴点A的坐标为（3，5），作直线l：2x+y=0，平行移动直线l至过点A时，z=2x+y取最大值11.
5.某实验室需购买某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为
140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费元. ［答案］500
［解析］设第一种原料x袋，第二种原料y袋，花费为z，
由题意知，线性目标函数z=140x+120y，线性约束条件
x≥0
y≥0 ，
35x+24y≥106
其可行域如图，
可得z 的最优整数解为（1，3），此时z min =500.
课后强化作业
一、选择题 x ≥0
1.不等式组 x +3y ≥4 ，所表示的平面区域的面积等于（ ）
3x+y ≤4
A.
2
3
B.
3
2 C.
3
4 D.
4
3 ［答案］ C
［解析］ 不等式组表示的平面区域如图所示，
x +3y =4
由 ，得点A 的坐标为(1,1). 3x+y =4
又B 、C 两点坐标分别为（0,4）、 (0,
3
4
), ∴S △ABC =
21× (4-34)×1=3
4. y ≥x ,
2.设变量x ，y 满足约束条件： x +2y ≤2, 则z=x -3y 的最小值为（ ）
x ≥-2.
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
［答案］ D
［解析］ 作可行域（如图），
令z =0得x -3y =0，将其平移，当过点（-2，2）时，z 取最小值， ∴z min =-2-3×2=-8.
x+2y-5>0
3.(2011·浙江理，5)设实数x、y满足不等式组 2x+y-7>0 ，若x、y为整数，则3x+4y
x≥0，y≥0
的最小值为（）
A.14
B.16
C.17
D.19
［答案］B
［解析］本题主要考查简单线性规则问题等基础知识，如图，
作出不等式组表示的平面区域，作直线l0：3x+4y=0平移l0与
平面区域有交点，由于x，y为整数，结合图形可知当x=4，y=1
时，3x+4y取最小值为16，选B.
x≥-1
4.若变量x、y满足约束条件y≥x , 则z=2x+y的最大值为（）
3x+2y≤5
A.1
B.2
C.3
D.4
［答案］C
［解析］如图所示，由约束条件作出可行域，将目标函数z=2x+y
化为y=-2x+z,由图知在A点z取最大值.
y=x
联立得A（1，1）.
3x+2y=5
∴z max=2×1+1=3.
2x+y≥4
5.设x，y满足x-y≥-1 ，则z=x+y（）
x-2y≤2
A.有最小值2，最大值3
B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值
D.既无最小值，也无最大值
［答案］B
［解析］如右图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y
的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值2，但z没有最大值.
x+3y-3≥0
6.若实数x,y满足不等式 2x-y-3≤0 ，且x+y的最大值为9，则实数m=（）
x-my+1≥0
A.-2
B.-1
C.1
D.2
［答案］C
［解析］如图，作出可行域.
x-my +1=0 由 ，得A （
m m 2131+-+,m
215
+-）,
2x-y -3=0
平移y=-x ,当其经过点A 时，x+y 取最大值，即m m 2131+-++m
215
+-=9.
解得m =1.
x ≥0
7.若不等式组 x +3y ≥4所表示的平面区域被直线y=kx +
3
4
分为面积相等的两部分，则k 3x+y ≤4
的值是（ ） A.
3
7 B.
7
3 C.
3
4 D.
4
3 ［答案］ A
［解析］ 不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线y=kx +
34过定点（0，34）.因此只有直线过AB 中点时，直线y=kx +3
4
能平分平面区域.因为A （1，1），B (0,4)，所以AB 中点M (
21，2
5
). 当y=kx +
34
过点（21，25）时，25=2k +3
4, ∴k =
3
7. 8.设G 是平面上以A (2，1)、B (-1，-4)、C (-2,2)三点为顶点的三角形区域（包括边界点），点（x,y ）在
G 上变动，f (x,y )＝4x -3y 的最大值为a ,最小值为b ,则a+b 的值为（ ）
A.-1
B.-9
C.13
D.-6
［答案］ D
［解析］ 设4x -3y=c ,则3y =4x-c,∴y =
34x -3
c
, -
3
c
表示直线l :4x -3y=c 在y 轴上的截距，
∵k AB =
3
5,而k l =34
,
∴l 过C (-2,2)时，-
3
c
有最大值； -
3c =2-34
×（-2）＝3
14，
∴c min =b =-14,
l 过B (-1,-4)时，-3
c
有最小值;
-
3
c =-4-34×（-1）＝-38，
∴c max =a =8,∴a+b =-6. 二、填空题
0≤x ≤4
9.已知x 、y 满足条件 0≤y ≤3 ，则z =2x +5y 的最大值为
.
x +2y ≤8
［答案］ 19
［解析］ 可行域如图.
当直线y =-
52x +5
z
经过直线y =3与x +2y =8交点（2，3）时,z 取最大值z max =19. 3≤2x+y ≤9,
10.(2011·新课标理，13)若变量x,y 满足约束条件 则z=x +2y 的最小值为
6≤x-y ≤9,
.
［答案］ -6
［解析］ 本题主要考查了线性规划求最值.
依题意，可行域为如图阴影部分，则最优解为A (4, -5),
∴z min =4+2×(-5)=-6. x-y +2≥0
11.不等式组 x+y +2≥0，所确定的平面区域记为D .若点（x,y ）是区域D 上的点，则2x+y
2x-y -2≤0
的最大值是
；若圆O :x 2
+y 2
=r 2
上的所有点都在区域D 内，则圆O 面积的最大值是
．
［答案］ 14
5
4π ［解析］ 如图，令z =2x+y 可知，直线z =2x+y 经过（4,6）时z 最大，此时z =14;当圆O ：x 2
+y 2
=r 2
和直线2x-y -2=0相切时半径最大.此时半径r =
5
2
,面积S =54π.
x ≥1
12.已知 x-y +1≤0，则x 2
+y 2
的最小值为
.
2x-y -2≤0
［答案］ 5
［解析］ 画出可行域如下图所示,
可见可行域中的点A (1,2)到原点的距离最小为d =5,∴x 2
+y 2
≥5.
三、解答题
x-y +2≥0 13.已知变量x,y 满足约束条件 x ≥1 ，求
x
y
的最大值和最小值. x+y -7≤0
［解析］ 由约束条件作出可行域（如图所示），A 点坐标为（1，3），目标函数z =
x
y
表示坐标是（x,y ）与原点（0，0）连线的斜率.由图可知，点A 与O 连线斜率最大为3;当直线与x 轴重合时，斜率最小为0.故
x
y
的最大值为3，最小值为0.
x -4y ≤-3
14.设x,y 满足约束条件 3x +5y ≤25，分别求： x ≥1 （1）z=6x +10y 的最大值、最小值; （2）z=2x-y 的最大值、最小值;
（3）z =2x-y (x,y 均为整数）的最大值、最小值.
［解析］ （1）先作出可行域，如图所示中△ABC 表示的区域，且求得A （5,2）、B （1，1）、C （1，
5
22
）.作出直线l 0：6x +10y =0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1过B 点时，可使z =6x +10y 达到最小值，当
l 0的平行线l 2过A 点时，可使z =6x +10y 达到最大值.
∴z min =6×1+10×1=16；z max =6×5+10×2=50.
(2)同上，作出直线l 0:2x-y =0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1过C 点时，可使z =2x-y 达到最小值，当l 0的平行线l 2过A 点时，可使z =2x-y 达到最大值. ∴z max =8；z min =-
5
12. (3)同上，作出直线l 0:2x-y =0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 2过A 点时，可使z =2x-y 达到最大值，
z max =8.当l 0的平行线l 1过C 点时，可使z =2x-y 达到最小值，但由于5
22
不是整数，而最优解（x,y ）中，x 、y 必须都是整数，所以可行域内的点C （1,
5
22
)不是最优解.当l 0的平行线经过可行域内的整点（1，4）时，可使z=2x-y 达到最小值. ∴z min =-2.。