行测：数字的整除特性
吉林省公务员考试行测备考：数的整除特征
通过最新吉林公务员考试资讯、大纲可以了解到，《行政职业能力测验》主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
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一、整除的概念如果一个整数a，除以一个自然数b，(b≠0)得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a。
二、数的整除特征1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、举例验证例如：判断123456789这九位数能否被11整除?解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。
因为25-20=5，5不能被11整除，所以123456789不能被11整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数?解：把1059282分为1059和282两个数。
因为1059-282=777，777是7的倍数，所以1059282也是7的倍数。
例如：判断3782651能否被13整除?解：把3782651分为3782和651两个数。
公务员行测考试—整数问题
整数的问题对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=4×10+9，235=2×100+3×10+5，7064=7×1000+6×10+4，一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b 丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
例如：3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b 与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c 互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.是什么数字？解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0，只有a=7，此数是7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是7344；如果b＝6，只有a＝1，此数是7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2 一本老账本上记着：72只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□67.9□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是367.92元.例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：因为2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为111111＝3×7×11×13×37，所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99，其中□=A+B.因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8 甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N＝1，很明显乙必获胜.如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9○＋（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1；8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104，8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30，60，90，120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3，24＝23×3，45＝32×5，65＝5×13，77＝7×11，78＝2×3×13，105＝3×5×7，110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2，9＝3×3，144＝12×12，625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42，100＝22×52，…例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11，17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支13元，蓝笔每支4元.三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95÷3，48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2，38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2，38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝8×249＋6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0，1，2，3，4，5，6 的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被11除的余数是4×5＝20被11除后的余数9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例21 191997被7除余几？解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝3× 665 ＋2.就知道21997被7除的余数，与21997被7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以0×3加6再来减1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，….这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8，23，38，…，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是159，160，161.注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？。
行测考试：巧解数量关系题常用十八条数字整除特征
行测考试:巧解数量关系题常用十八条数字整除特征。
巧解数量关系题常用 18条数字整除特征:(1 1与 0的特性: 1是任何整数的约数,即对于任何整数 a ,总有 a/1=a; 0是任何非零整数的倍数, a ≠ 0, a 为整数,则 0|a=0。
(2若一个整数的末位是 0、 2、 4、 6或 8,则这个数能被 2整除。
(3 若一个整数的数字和能被 3整除,则这个整数能被 3整除。
(4 若一个整数的末尾两位数能被 4整除,则这个数能被 4整除。
(5若一个整数的末位是 0或 5,则这个数能被 5整除。
(6若一个整数能被 2和 3整除,则这个数能被 6整除。
(7若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的 2倍,如果差是 7的倍数, 则原数能被 7整除。
如果差太大或心算不易看出是否 7的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断 133是否 7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以 133是 7的倍数;又例如判断 6139是否 7的倍数的过程如下: 613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以 6139是 7的倍数,余类推。
(8若一个整数的未尾三位数能被 8整除,则这个数能被 8整除。
(9若一个整数的数字和能被 9整除,则这个整数能被 9整除。
(10若一个整数的末位是 0,则这个数能被 10整除。
(11若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11整除,则这个数能被 11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查 7的「割尾法」处理!过程 **不同的是:倍数不是 2而是 1!(12若一个整数能被 3和 4整除,则这个数能被 12整除。
(13若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的 4倍,如果差是13的倍数, 则原数能被 13整除。
如果差太大或心算不易看出是否 13的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止(14若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的 5倍,如果差是17的倍数, 则原数能被 17整除。
行测技巧：谈谈公考中的整除特性
行测技巧：谈谈公考中的整除特性中公教育研究与辅导专家代晓晓整除特性是利用数字之间的特性来进行判断的一种方法，它应用于我们的数算中，通过数字的特性来选出和排除错误选项的一种常见的方法，在实际应用中也可以作为一种快速的解题技巧。
关键在于需要我们掌握常见数字的整除特性，以及对于题型的判断。
那中公教育专家就来说说关于一些常用数字的整除特性。
1.局部看2/5，4/25，8/125判断一个数能否被上面这几个数字整除主要后几位，对于2/5要看末一位，4/25要看末两位，8/125要看末三位。
2.整体看和3/9判断一个数能否被3/9整除要看整体，也就是各个数位之和能被3/9整除，这个数就能被3/9整除。
3.整体看差 11判断一个数能否被11整除要看各个数位之和，奇数位之和偶数位之和之间作差，如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
对于数字特征，大体分为如上几类，当然还有一些比如4，12这样的数字，只要把它们拆成互为质数的两个数字相乘即可。
在了解了一些常见数字的整除特征之后，我们来说一下如何判断一个题目考查的是整除呢？我们基本分为两类，一类文字描述整除，一般在文中出现“平均分”“每人.....”“整除”字眼的时候，我们就可以考虑用整除。
一类是数据体现的整除，一些非整数的数字形式，把数字转换为最简分数这类。
下面我们就来看看公考中一些应用整除特性的例子。
例1.有几袋面粉，它们的重量分别为2kg、3kg、4kg、5kg、6kg、9kg，随机拿出一袋后，剩下的面粉数是三的倍数，求拿出的是哪袋面粉？中公解析：观察这几个数字，不难发现，4+5,3,6,9都是3的倍数，只有2不是3的倍数，则根据整除，拿走的应该是2kg的面粉。
例2.某商店有足球和篮球个数之比为7:8，先从中拿走8个足球，又从别处买来4个篮球，得到篮球数是足球的2倍。
求原来篮球的个数是多少。
中公解析：我们不难发现，这个题目是问原来篮球的个数，我们应该知道，不管后面如何变化，前面说过足球与篮球之比为7:8，则篮球应该是8的倍数。
公务员考试行测数量关系备考之整除特性的应用
通过判断答案的整除特性排除错误选项。
三、常见应用
例1：单位安排职工到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，那么剩下48人没有坐;如果每5人一条长椅，则刚好空出两条长椅，听报告的职工有多少人?
A.128 B.135 C.146 D.3780
【中公解析】
所求为职工总人数。根据题意，总人数=3×长椅数+48=5×长椅数。由于长椅数以及总人数都是整数，因此可得到总人数-48之后是3的整数倍，且总人数是5的整数倍。根据总人数与5的倍数关系，观察四个选项，只有135符合该条件，故答案选B。
例2：甲乙丙三人每月的收入分别为6800、6200、5600元，丙将所有收入分给甲和乙后，甲是乙的1.5倍，问：丙分给甲()元?
A.2810 B.3600 C.4360 D.4680
【中公解析】 题干中存在倍数关系，甲是乙的1.5倍，即甲：乙=3：2，因此甲现有的钱为3的倍数，甲现有的钱=6800+选项，因此6800+选项应该能被3整除，结合选项。已知第一堆有303袋大米，第二堆有全部大米袋数的五分之一，第三堆有全部大米袋数的七分之若干。问粮库里共有多少袋大米?
A.2585 B.3535 C.3825 D.4115
【中公解析】
所求为全部大米袋数，由题干条件可知，第二堆有全部大米袋数的五分之一，说明大米总袋数能被平均分成5份，即大米袋数是5的整数倍;第三堆有全部大米袋数的七分之若干，因此大米袋数同时也是7的整数倍。综上，大米袋数是35的整数倍，观察选项，答案为B。
由以上几个题我们不难看出，部分考生对于某些题目的思维定势是找等量关系列方程，虽然方程思想应用较为普遍，对于很多考生来说也是比较直观的一个方法，但是耗时较多。上面几个题具有一定的共性，当我们能快速定位这些特点，就能联想到整除特性解题，从而提高做题速度。1、文字体现整除：题干中出现平均、每、整除之类的字眼;2、数据体现整除：题干中出现分数、比例、倍数、百分数一类的数据，可以考虑整除特性解题。
行测解题技巧——数字特性法
行测解题技巧——数字特性法数字特性法数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种"数字特性"，从而达到排除错误选项的方法。
掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。
（下列规律仅限自然数内讨论）（一）奇偶运算基本法则【基础】奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数。
【推论】1、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同（二）整除判定基本法则1、能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
2、能被3、9整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数3、能被11整除的数的数字特性能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除（三）倍数关系核心判定特征如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。
如果x＝y（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。
如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。
【例22】（江苏2006B-76）在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生报考。
已知报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3，报考B岗位的男生数与女生数的比为2：1，报考A岗位的女生数是（）。
公务员行测数量关系知识点整理
公务员行测数量关系知识点整理公务员考试中，行测的数量关系部分一直是众多考生的难点和重点。
数量关系涉及的知识点繁多，题型复杂，需要我们系统地学习和掌握。
下面就为大家整理一下常见的数量关系知识点。
一、数学运算1、整数特性整数特性是数量关系中的基础知识点。
包括整除特性、奇偶性、质数与合数等。
整除特性：若整数 a 除以非零整数 b，商为整数，且余数为零，我们就说 a 能被 b 整除。
比如，能被 2 整除的数的特征是个位是偶数；能被 3 整除的数，其各位数字之和能被 3 整除。
奇偶性：奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数。
质数与合数：质数是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。
合数是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。
2、方程与不等式方程是解决数量关系问题的常用工具。
通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程，然后求解。
一元一次方程：形如 ax ＋ b ＝ 0（a≠0）的方程。
二元一次方程组：由两个未知数，且未知数的次数都是 1 的方程组成。
不等式：用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个代数式的式子。
3、比例问题比例是指两个比相等的式子。
常见的有工程问题中的效率比、行程问题中的速度比等。
若 a:b ＝ c:d，则 ad ＝ bc。
4、行程问题行程问题是数量关系中的重点和难点。
基本公式：路程=速度×时间。
相遇问题：路程和＝速度和×相遇时间。
追及问题：路程差＝速度差×追及时间。
5、工程问题工程问题的核心是工作总量=工作效率×工作时间。
经常通过设工作总量为 1 或工作总量的最小公倍数来解题。
6、利润问题涉及成本、售价、利润、利润率等概念。
利润＝售价成本，利润率＝利润÷成本×100% 。
7、几何问题包括平面几何和立体几何。
公务员行测数量错题集
一、整除特性问题（一）、数字特性1．A、B两数只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A数有12个约数，B数有10个约数。
那么，A、B两数的和等于●注：可以被3整除的，和也可以被3整除。
2.某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科生毕业数量比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有（）●今年的学生=去年的学生*98%,今年的学生可以49整除。
3.某农场去年10、11、12月份的月平均收入为662元，月增长率为10%，问去年12月份该农场的收入为多少元？●可以被11整除。
4.小雪和小敏的藏书册数比是7∶5，如果小雪送65本给小敏，那么他们之间的藏书册数比是3∶4，则小敏原来的藏书是多少册？●5..在数列2，3，5，8，12，17，23，…中，第2012个数被5除所得余数是（）。
●注意到题目给出的数列是二级等差数列，据此可将数列各项拆分为2＝2＋0、3＝2＋1、5＝2＋1＋2、8＝2＋1＋2＋3、12＝2＋1＋2＋3＋4、17＝2＋1＋2＋3＋4＋5，据此可知第2012个数可以写成2＋1＋2＋3＋……＋2011，而连续5个整数之和必能被5整除，因此1＋2＋……＋2010能被5整除，第2012个整数除以5的余数即等于2＋2011除以5的余数，此余数为36.两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？●甲派所83%X，答案被100整除。
二、工程问题（一）交替问题1．有一只青蛙在井底，每天上爬10 米，又下滑6 米，这口井深20 米，这只青蛙爬出井口至少需要多少天？2．有46 名学生需要到河对岸去参观明清时期的古民居。
现只有一条船，每条船最多载6 人（其中 1 人划船），往返一次需要7 分钟，如果早晨8 点钟准时开始渡河，到8 点38 分时，至少还有多少人在等待渡河？●注：这种交替问题，往往在最后一次出现问题，其它是一个周期。
九江招警行测答题技巧：“3”和“9”的整除思想
招警行测答题技巧：“3”和“9”的整除思想在招警行测考试中，整除思想是常考的一种题型，而整除思想中，3和9的整除思想考的居多，下面中公招警考试网专家就来介绍下关于3和9的整除特性。
一、整除的概念两个数相除，被除数、除数以及商都为整数，没有余数，就叫做整除。
二、3和9的整除特性方法一：各位数字加和法一个数能够被3整除，必须满足这个数的各位数字之和是3的倍数，同理，能被9整除的数，也必须满足各位数字之和能够被9整除。
例如：12345能被3整除，但不能被9整除，因为1+2+3+4+5=15,15是3的倍数，所以12345除以3能够整除，但15不是9的倍数，所以12345除以9不能够整除。
方法二：“消三法”和“消九法”所谓“消三法”就是看到3以及3的倍数我们就给它消掉，如果全部消掉，没有剩余，说明该数能够被3整除，如果有剩余说明该数不能够被3整除并且能够判定余数;判断9同理。
我们看1+2+3+4+5的和，1+2、3、4+5都能直接被3整除，那么我们直接忽略他们，也就是直接消掉，因为都能够消掉，就说明12345是3的倍数，能够整除。
如果判断9，则，4+5是9的倍数可以消掉，而剩下的1+2+3=6消不掉，就说明12345不是9的倍数并且除以9余6。
【例1】某人出生于 20 世纪 70 年代，某年他发现从当年起连续10 年自己的年龄均与当年年份数字之和相等(出生当年算 0 岁)。
问他在以下哪一年时，年龄为 9 的整数倍?A.2006 年B.2007 年C.2008 年D.2009 年中公解析：因为“从当年起连续10年自己的年龄均与当年年份数字之和相等”，则其中必有一个年份与年龄均能被9整除，即各位数字之和能被9整除，则年龄又被9整除时，年份也能被9整除，结合选项，只有B符合，选B。
【例2】某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号，凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少?A.9B.12C.15D.18中公解析：排名第三的员工工号能被3整除，则排名第三的员工工号所有数字之和应该能被3整除，这个结论不能排除任何一个选项。
数量关系必考之数字整除特性
数量关系必考之数字整除特性作者：科信教育专家刘妍数字的整除特性也是行测考试中考查的重要知识点之一，很多比较复杂的题目可以通过一些特殊数字的整除特性快速得出答案，避免了一些复杂的数学运算以及解方程的过程；从而为广大考生在考场上节省了宝贵的时间。
我们分以下两个部分来帮助考生掌握利用数字整除特性解题。
一、一些常用数字的整除判定1、局部看(1)一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除(2)一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除(3)一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除2、整体看(1)整体做和一个数各位数数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
(2)整体做差①7、11、如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。
②11奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被11整除。
（3）截尾法①7：把个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
②11：依次去掉最后一个数字并减去末数字能被11整除。
③13：逐次去掉最后一个数字并加上末尾数字的4倍能被13整除。
④17：逐次去掉最后一个数字并减去个位数字的5倍能被17整除。
⑤19：逐次去掉最后一个数字并加上个位数字的2倍能被19整除二、真题示例免费网校视频课.找QQ3066264721要账号密码我们以2013年的一道国考真题为例，向广大考生示例如何利用整除的方法快速解答。
【例】（国家2013）两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17％是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理（）起非刑事案件？A.48B.60C.72D.96【科信教育解析】首先就甲派出所而言，受理的刑事案件：案件总数=17：100，可推出甲派出所受理的案件总数能被100整除。
根据"两个派出所共受理案件160起"可知，甲派出所受理的案件总数为100起，乙派出所受理的案件总数为60起，故乙派出所在这个月中共受理的非刑事案件数为48起。
行测数量关系题目解题技巧：常用的数字特性汇总
行测数量关系题目解题技巧：常用的数字特性汇总一、整除性整除性在公考中用的非常的频繁，更多体现在速算上，结合公考数算的特性，根据选项，不通过计算，直接出答案，整除性更大程度上是一种思维，而不是方法；带余除法可以结合到这里，理论依据为同余问题，剩余定理。
1、（国家2007-52）某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：A、84 分B、85 分C、86 分D、87 分解析：此题的方法很多，有常规的方程法，也有稍微好点的十字交叉法，但这些都不是这里所要表述的利用数字的整除性。
因“女生的平均分比男生的平均分高20%”，即女生的平均分是男生的1.2倍。
在一般情况下（特别是公考），分数只会是整数，所以我们只需要在选项中找一个12的整数倍的数即可，只有84符合题意。
2、（国家2006 一类-40）有甲、乙两个项目组。
乙组任务临时加重时，从甲组抽调了四分之一的组员。
此后甲组任务也有所加重，于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。
此时甲组与乙组人数相等。
由此可以得出结论（）。
A. 甲组原有16人，乙组原有11人B. 甲、乙两组原组员人数之比为16∶11C. 甲组原有11人，乙组原有16人D. 甲、乙两组原组员人数比为11∶16解析：此题的最佳思路还是利用数字的整除性，从“甲组抽调了四分之一的组员”，推出甲组的人数为4的倍数，排除掉CD，然后结合逻辑学的包含关系，排除掉A，选B。
因为A成立的话，B也成立，答案只会是1个的，所以A是错的。
3、（天津2008-7）农民张三为专心养猪，将自己养的猪交于李四合养，已知张三，李四共养猪260头，其中张三养的猪有13%是黑毛猪，李四养的猪有12.5%是黑毛猪，问李四养了多少头非黑毛猪？A.125头B.130头C.140头D.150头解析：还是数的整除性的典型题目。
张三养的猪有13%是黑毛猪，猪必须是整数头，所以张三职能养100头或者200头，这样李四只能是60头或160头。
行测：整除的性质
数的整除判定性质表
数的整除性质
1.如果数a能被b整除，数b能被c整除，则a能被c整除。
72能被9整除，9能被3整除，则72能被3整除。
2.如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整
除。
56能被8整除，16能被8整除，则56+16=72能被8整除。
3.如果数a能被c整除，m为任意整数，则a*m能被c整除。
39能被13整除，所以39*15能被13整除。
4.如果数a能被b整除，同时能被c整除，且b和c互质，则数a
能被b*c整除。
162能被2整除，也能被9整除（1+6+2=9），且2和9互为质数，所以162能被2*9=18整除。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数：如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是
a、b的公约数。
一般来说，公约数不止一个，我们把
其中最大的一个称作最大公约数。
互质：如果两个数的最大公约数为1，则称这两个数互质。
最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c为a和b的公倍数。
两个数的公倍数有很多，我们把最小
的那个称为这两个数的最小公倍数。
祝愿大家考试成功！。
公务员行测考试整除法说明
公务员行测考试整除法说明数量关系是在行测中对大多数考生来说都比较难的部分，但是如果我们能够掌控一类题型的做题思路，相对来说就会对没有那么强的畏难情绪。
下面作者给大家带来关于公务员行测考试整除法说明，期望会对大家的工作与学习有所帮助。
公务员行测考试整除法说明一、整除与除尽的概念1、整除若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除。
2、除尽两数相除，没有余数，这时就说被除数能被除数除尽。
整除是除尽的一种情形。
二、常用小数字的整除判定1、局部看(1)一个数的末位能被2或5整除，这个数就可以被2或5整除;(2)一个数的末两位能被4或25整除，这个数就可以被4或25整除;(3)一个数的末三位能被8或 125 整除，这个数就可以被8或125整除;2、整体看(1)整体作和一个数各位数数字和能被3或9整除，这个数就可以被3或9整除。
(2)整体作差如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。
三、整除的运用环境1、文字描写整除：明显整除字眼、显现“每”“平均”“倍数”;2、数据体现整除：显现分数、百分数、比例等。
四、整除的运用例1.若干学生住若干房间，如果每间住4人，则有20人没地方住;如果每间住8人，则有一间只有4人住，问共有多少学生?A.30B.34C.40D.44【答案】D。
解析：题干中显现“每”，可以推敲用整除。
每间住4人，则有20人没地方住，说明(总人数-20)能被4整除，20能被4整除，也意味着总人数能被4整除，排除A、B选项。
每间住8人，则有一间只有4人住，说明(总人数-4)能被8整除，排除C选项，故挑选D选项。
例2.公司四名促销员某月共推销新产品100件，甲与丁共推销64件，甲与乙销量的比例为5:3，丙与丁销量的比例为1:2，则甲该月推销了多少件?A.20B.28C.38D.40【答案】D。
解析：题干中显现比例，可以推敲用整除。
行测数量关系——数字整除特性的终极探究(上)
公考数量关系中数字整除特性的终极探究（上）有考生反映，明明在考前已经对某些知识点进行了有针对性的记忆，但是在考试的时候，还是记不住，那这是什么原因呢?归根究底就是对知识点并不了解，就比如整除特性，考前死记硬背的背过了，但是在用的时候，就给忘记了，那我们怎么才能加深这部分的记忆呢?现在就对整除特性进行终极探究。
数字的整除特性归根结底，比较常用的就是2、3、4、5、6、7、8、9、11、13这些数字，那我们怎么样才能加深印象呢?在这我们就把整除特性分为三大类：(1)分析末几位数字;(2)分析数字和值;(3)对数字拆分处理。
那为什么要进行这样的分类呢，我们先看下面的分析。
一、分析末几位数字这种情况主要针对于2、5这样的数字，就拿“2”为例，我们知道，只要是偶数就必然能被2整除，为什么呢?我们知道对于任意一个数字abcd，是不是就可以写作abc×10+d，由于abc×10，必然能被2、5整除，所以最终只需要分析d是不是能被2、5整除即可，并且abcd除以2或者5的余数，就是d除以2或者5的余数。
那对于4、25呢?我们知道4×25=100，所以对于abcd来说，由于abcd=ab×100+cd，并且ab×100必然能被4或者25，所以abcd能不能被4或者25整除，就转化为cd，也就是最后两位能不能被4或者25整除，并且abcd除以4或者25的余数，就是cd除以4或者25的余数。
【引申】我们从上面这个分析来看，由于4=22，25=52，是不是就是说对于22，或者52来说，只要分析整数的末两位能不能被22、52整除即可。
同理，那对于8、125呢?我们知道8×125=100，所以对于abcd来说，由于abcd=a×1000+bcd，并且a×1000必然能被8或者125整除，所以abcd能不能被8或者125整除，就转化为bcd，也就是最后三位能不能被8或者125整除，并且abcd 除以8或者125的余数，就是bcd除以8或者125的余数。
国家公务员考试行测备考数量关系：个例独解之数字特性法之整除特性
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特性法之整除特性
公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。
觉的题型有：数字推理、数学运算等。
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【例1】一块长方形菜地长与宽的比是5:3，如果长增加2米，宽减少1米，则面积增加1平方米，那么这块长方形菜地原来的面积是多少平方米?
A.100
B.135
C.160
D.175
[答案]B
本题考核整除特性，因为长方形的宽是3份，则长方形的面积一定是3的倍数，所以答案是B。
【例2】某公司为客户出售货物，收取3%的服务费;代客户购置设备，收取2%的服务费。
某客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备。
已知公司共收取该客户服务费200元，客户收支恰好平衡，则自产的物品售价是多少元?
A. 3880
B. 4080
C. 3920
D. 7960
[答案]B
【易错点】考生最大的问题出现在读不懂题目，找不到题目中隐含的等量关系。
本题考核整除特性，难度适中，97/100售价=102/100购价，进而可以得到售价是102的倍数。
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2015年福建大学生村官考试行测技巧：数量秒杀整除特性
2015年福建大学生村官考试行测技巧：数量秒杀整除特性整除特性属于数字特性思想当中的一种，在历年的大学生村官考试中整除特性解题对于考生是高效而实用的。
那什么是整除特性：整除就是两个整数相除，得到的商也是整数的过程我们称为整除。
2的整除特性：末一位数能被2整除，那么这个数就能被2整除;4的整除特性：末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除;8的整除特性：末三位数能被8整除，那么这个数就能被8整除;3的整除特性：一个数的各个位数字之和能被3整除，则这个数字就能被3整除;9的整除特性：一个数的各个位数字之和能被9整除，则这个数字就能被9整除;7，11，13的整除特性：能被7，11或13整除的数的特征是这个数的末三位数字与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除。
利用整除特性解题，能大大缩短做题速度提高做题精度。
下面我们就通过几个例子来具体介绍一下整除特性的一个应用。
【题目1】师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成了师傅生产数量的一半，此时还有100个没有完成，师徒二人已经生产多少个?A.320B.160C.480D.580【答案】C【解析】本题如果通过列方程来解决稍费时间，但如果利用整除特性会更快。
由于徒弟完成的数量是师傅的一半，则师徒二人已经生产的零件个数是3的倍数，因此答案选C。
【题目2】某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。
如果每辆车坐20人，还剩下2名员工;如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。
问该单位共有多少名员工?( )A.244B.242C.220D.224【答案】B【解析】这道题是道余数问题，如果运用常规方法也就是列方程法，会增加考生的做题时间，不利于考生的发挥。
根据题意，这道题可以采用整除特性思想，也就是总人数减去2后是应该是20的倍数。
四个选项只有第二个选项即242满足条件，所以选择B。
来源：福建大学生村官考试：/html/cunguan/?wt.mc_id=bk5379。
行测数量关系快速解题技巧
行测数量关系快速解题技巧在公务员行测考试中，数量关系一直是让众多考生头疼的部分。
但实际上，只要掌握了一些有效的解题技巧，就能在考试中快速准确地解答数量关系题目，从而提高整体成绩。
接下来，我将为大家分享一些行测数量关系的快速解题技巧。
一、整除特性整除特性是解决数量关系问题的常用技巧之一。
当题目中出现“整除”“倍数”“平均分”等字眼时，往往可以考虑运用整除特性来解题。
例如，如果题目中说“某班级学生人数能被 5 整除”，那么我们就可以知道这个班级学生人数的尾数可能是 0 或 5。
再比如，“甲的钱数是乙的 3 倍”，那么甲的钱数一定能被 3 整除。
通过对题中数据整除特性的分析，可以快速排除一些不符合条件的选项，缩小解题范围。
二、特值法特值法是将题目中的某些未知量设为特殊值，从而简化计算的方法。
比如在工程问题中，如果题目中只给出了工作时间，而没有给出工作总量和工作效率，我们就可以将工作总量设为时间的最小公倍数，从而求出工作效率。
又如在利润问题中，如果题目中只给出了利润率，而没有给出成本和售价，我们可以假设成本为 100，这样就能方便地计算出售价和利润。
特值法能够使复杂的问题变得简单直观，提高解题速度。
三、比例法比例法是根据题目中给出的比例关系，通过设未知数或直接计算来求解的方法。
例如，“甲、乙的速度比为 3∶4，相同时间内甲、乙所走的路程比也为 3∶4”。
当我们知道其中一个人的路程或速度时，就可以根据比例关系求出另一个人的路程或速度。
在浓度问题、行程问题等中，比例法都能发挥很大的作用。
四、尾数法当计算量较大时，我们可以通过观察选项的尾数来快速得出答案。
例如，在加法或减法运算中，只计算个位数字就能排除一些选项。
在乘法运算中，我们可以先计算个位数字相乘的结果，从而判断答案的尾数。
五、方程法方程法是解决数量关系问题的基本方法之一。
当题目中的等量关系比较明显时，可以通过设未知数、列方程来求解。
在设未知数时，要注意选择合适的未知数，尽量使方程简单易解。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。