实数 第二课时 教学设计

实数 第二课时·教学设计

（一）创设情境，导入新课 复习导入：

1．用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律． 2．用字母表示有理数的加法交换律和结合律． 3．平方差公式．完全平方公式． 4．有理数的混合运算顺序． （二）合作交流，解读探究

自主探索 独立阅读，自习教材．

总结 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． 讨论 下列各式错在哪里？如何改正？

1．－32×3÷9×31

＝9×3÷3＝9； 2．21212

－＝）－（；

3．

6565－｜＝－｜

4．当x ＝2 时，22

2

－－x x ＝0．

【点拨】 1．－32表示3的平方的相反数，为－9，另外，在运算顺序上也出现错误． 2．1＜2，因而1－2＜0，而一个数的算术平方根应是非负数． 3．5＜6，因而5－6＜0，而一个数的绝对值应是非负数．

4．要使22

2

＋－x x 的值为0，必须要有x 2

－2＝0，且x ＋2≠0，故只有x ＝2． 【练一练】 计算下列各式的值：

（1）（3＋2）－2； 解：（1）（3＋2）－2

＝3＋（2－2）（加法结合律） ＝3＋0＝3；

（2）33＋23． （2）33＋23． ＝（3＋2）3（分配律） ＝53．

总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的． 试一试 计算：

（1）5＋π（精确到0.01）；

（2）3·2（结果保留3个有效数字）． 解：（1）5＋π≈2.236＋3.142≈5.38；

（2）3·2≈1.732×1.414≈2.45． 总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【练一练】 计算：

（1））－）（＋（2323；（2）33

12－；（3）（2－1）2．

【提示】 （1）式的结构是平方差的形式；（3）式的结构是完全平方的形式． 解：（1））－）（＋（2323＝（3）2－（2）2＝1；

（2）

；＝－＝）

－（＝

－11231433

3

12

（3）（2－1）2＝（2）2－2·2·1＋12＝3－22．

总结 在实数范围内，乘法公式仍然适用． （三）应用迁移，巩固提高

例1 a 为何值时，下列各式有意义？

（1）2

a ；（2）a －；（3）2＋a ；

（4）3

1－a ；（5）a a －＋；（6）

．＋3

1

2a a

解：（1）∵ a 为任何实数时，a 2≥0，∴ a 为任意实数时，2

a 有意义．

（2）∵ 要使a －有意义，必须使－a ≥0，即a ≤0，∴ 当a ≤0时，a －有意义． （3）∵ 要使2＋a 有意义，必须使a ＋2≥0，即a ≥－2，所以当a ≥－2时，2＋a 有意义； （4）∵

3

1－a 有意义，a －1可取任意实数，即a 为任意实数，所以当a 为任意实数

时，3

1－a 有意义；

（5）∵ 要使a 有意义，必须使a ≥0，要使a －有意义，必须使－a ≥0，即a ≤0，∴ 要使a a －＋有意义，a 必须等于0．因此仅当a ＝0时，a a －＋有意义；

（6）∵ a a 1

2＋是分式，当a ≠0时有意义，∴ 当a ≠0时，

3

1

2a a ＋意义．

例2 计算：

（1）求5的算术平方根与2的平方根之和；（保留三位有效数字） （2）｜＋｜－｜－｜2552；（精确到0.01）

（3）|a －π|＋|2－a |（2＜a ＜π）．（精确到0.01）

解：（1）∵ 5的算术平方根为5，2的平方根为±2，∴ 5的算术平方根与2的平方根之和为5±2又因为5≈2.235，2≈1.414，所以 5±2≈2.236＋1.414＝3.65

5－

2≈2.236－1.414≈0.82

（2）因为2＜5，所以2－5＜0，所以 |2－5|－|5＋2|＝5－2－5－2 ＝－22≈－2×1.414≈－2.83． （4）因为2＜a ＜π，所以

|a －π|＝－（a －π）＝π－a ，|2－a |＝－（2－a ）＝a －2

因此|a －π|＋|2－a |＝π－a ＋a －2＝π－2＝3.142－1.414＝1.73．

例 3 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图10—3—3所示．化简|a |＋|b |＋|a ＋b |－

2

2

2c a c －）－（的值．

解：由数轴可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，且a ＋b ＞0． 所以|a |＋|b |＋|a ＋b |－2

2

2c a c －）－（

＝a ＋（－b ）＋（a ＋b ）－（a －c ）－2（－c ） ＝a －b ＋a ＋b －a ＋c ＋2c ＝a ＋3c ．

例4 （学案点击中考）（2005年·宁波）

计算

20

2

322322－－－＋－⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

【评析】 有理数数域扩充到实数数域内后，所有的运算律及运算方法都是适合的．

解：原式＝42

＋1－49

＝－43

． 【备选例题】

实数p 在数轴上的位置如图10—3—4所示，化简

()()2211－

＋－p p 的值．

【点拨】 （1）1＜p ＜2 （2）算术平方根的非负性．－＝）－（，－＝）－（p p p p 22112

2

【答案】 1

（四）总结反思，拓展升华

总结 1．实数的运算法则及运算律． 2．实数的相反数和绝对值的意义． （五）课堂跟踪反馈 夯实基础

1．a 、b 是实数，下列命题正确的是（D ）

A ．a ≠b ，则a 2≠b 2

B ．若a 2＞b 2

，则a ＞b C ．若|a |＞|b |，则a ＞b D ．若|a |＞|b |，则a 2＞b 2

2．如果3962

＝＋－＋a a a 成立，那么实数a 的取值范围是（B ） A ．a ≤0 B ．a ≤3 C ．a ≥－3 D ．a ≥3

3．|3

1－|＝1，|π－3.14|＝π－3.14，|2－1.42|＝242.1－． 4．23－的相反数是32－，3

9－的相反数是39．

5．当a ＞17时，|a －17|＝17－a ，2

17）－（a ＝17－a ．

6．当m ＝－1时，2

m ＋|m |＋2m ＝0． 7．比较下列各数的大小：

（1）－3和－1.7；（2）π和722

．