等差等比数列综合问题

等差等比数列综合问题

一、基础知识：

1、等差数列性质与等比数列性质：

等差数列{}n a

等比数列{}n b

递推公式 ()1n n a a d n N *+-=∈

()1

n n

b q n N b *+=∈ 通项公式 ()11n a a n d =+-

1n n b b q =⋅

等差（比）中项

122n n n a a a ++=+

212n n n b b b ++=

m n p q +=+

m n p q a a a a +=+

m n p q b b b b =

等间隔抽项 仍构成等差数列

仍构成等比数列

相邻k 项和

232,,n n n n n S S S S S --成等差数

列

232,,n n n n n S S S S S --成等比数

列

2、等差数列与等比数列的互化：

（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}n

a c 成等比数列

证明：设{}n a 的公差为d ，则1

1n n n n a a a d a c c c c

++-==为一个常数

所以{}n

a c 成等比数列

（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则1

1log log log log n c n c n c c n

a a a q a ++-==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：

例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1-或2 C. 2 D. 1- 思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得

2q =或1q =-，经检验均符合条件

答案：B

例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）

A. 140,0a d dS >>

B. 140,0a d dS <<

C. 140,0a d dS ><

D. 140,0a d dS <> 思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：

()()()2

2438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d =-，所以

135d a =-，则2

11305

a d a =-<，且()2141646025a dS d a d =+=-<，所以B 符合要求 答案：B

小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到

1,a d （或1,a q ）的关系

例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则

1220ln ln ln a a a ++

+=_______________

思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}

n a

为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：

1011

12201011ln ln ln ln ln 2010ln 502

a a a a a a a +++

+=

⋅== 答案：50

例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________

思路：可设这三个数为,,a a aq q

，则有3=512512a a aq a q

⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为8

2,8,82q q

--，所以有：

()816282q q ⎛⎫

=-+- ⎪⎝⎭

，即22252520q q q q +=⇒-+=，解得2q =或者12q =，

2q =时，这三个数为4,8,16，当1

2

q =

时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16

小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。设为,,a

a aq q

（或,,a d a a d -+），这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。

例5：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且

()01,2,3,,i b i n >=，若111111,a b a b ==，则有（ ）

A. 66a b =

B. 66a b >

C. 66a b <

D. 66a b >或

66a b <

思路：抓住111,a a 和111,b b 的序数和与66,a b 的关系，从而以此为入手点。由等差数列性质出发，111111111111,a b a b a a b b ==⇒+=+，因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，所以利用均值不等式可得：