[工学]信号与系统答案 西北工业大学 段哲民 信号与系统1-3章答案

[工学]信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统
1-3章答案
第一章习题
-t1-1 画出下列各信号的波形:(1) f(t)=(2-e)U(t); (2) 1-
tf(t)=ecos10πt×[U(t-1)-U(t-2)]。

2
答案
f(t)1 (1)的波形如图1.1(a)所示.
,2T,,0.2sf(t)cos10,t,102(2) 因的周期,故的波形如图题1.1(b)所示.
1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。

答案
f(t),t[u(t),u(t,1)]，u(t,1)1
f(t),,(t,1)[u(t),u(t,1)]2
f(t),(t,2)[u(t,2),u(t,3)]3
1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。

答案
11,(t，2),t，1,2,t,0,22f(t),,1110,t,2,(,t，2),,t，1
22,
f(t),u(t)，u(t,1)u(t,2)2
,f(t),,sint[u(t，2),u(t,2)]32
f(t),u(t，2),2u(t，1)，3u(t,1),4u(t,2)，2u(t,3)4
21-4 画出下列各信号的波形:(1) f(t)=U(t-1); (2) f(t)=(t-1)U(t-1); 1222(3) f(t)=U(t-5t+6); (4)f(t)=U(sinπt)。

34
答案
f(t),u(t,1)，u(,t,1)1 (1) ,其波形如图题1.4(a)所示.
f(t),(t,1)[u(t,1)，u(,t,1)],(t,1)u(t,1)，(t,1)u(,t,1)2(2)其波形如图题1.4(b)所示.
f(t),u(,t，2)，u(t,3)3(3) ,其波形如图1.4(c)所示.
f(t),u(sin,t)4(4) 的波形如图题1.4(d)所示.
1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T。

,,2(1)f(t),2cos(2t,)(1)f(t),[sin(t,)]1246; ; (3) f(t),3cos2,tU(t)3。

答案
t,R 周期信号必须满足两个条件:定义域,有周期性,两个条件缺少任何一个,则就不是周期信号了.
2,T,s3 (1) 是, .
,12,f(t),3，[1,cos(2t,)]T,,,s223 (2),故为周期信号,周期.
t，0f(t),0, (3) 因时有故为非周期信号
1-6 化简下列各式:
,d,，，dt，，
cos(t，)(t),[cost,(t)]sintdt,,,(2,,1)d,1,,,,dt4，，,,dt(1); (2) ; (3)。

答案
tt11111,[2(,,)]d,,,(,,)d,,u(t,)2,,,,,,2222 (1) 原式 =
,d2,[cos,,(t)],,(t)dt42(2) 原式 =
,,,,(t)sintdt,[,sin(t)],,cos,,1t,0t,0,,, (3) 原式 =
,,jwtcos[(t,3)(t,2)]dte(t，3)dt,,,,,001-7 求下列积分:(1);
(2); ,,2te，(t,t)dt,0,0(3)。

答案
cos[,(2,3)],cos(,,),cos, (1) 原式 =
,,j,3,j3,e(t，3)dt,e，0,0,,0 (2) 原式 =
,,2t,2t,2t00e(t,t)dt,e，1,e,0,0 (3) 原式 =
1-8 试求图题1-8中各信号一阶导数的波形，并写出其函数表达式，其中
,f(t),cost[U(t),U(t,5)]32。

答案
,,f(t)f(t),2u(t，1),3u(t)，u(t,2)1 (a) ，的波形如图题1。

8(d)所示。

,,f(t),u(t，1),2u(t,1)，3u(t,2),u(t,3)f(t)22 (b) ，的波形如图题1。

8(e)所示。

,,f(t),,sint[u(t),u(t,5)]，,(t)3,f(t)32 (c) ,的波形如图题1.8(f)所示.
1f()21-9 已知信号的波形如图题1-9所示，试画出y(t)=f(t+1)U(-t)的波形。

答案
y(t),f(t，1)u(,t) 的波形如图题1.9(b)所示。

tf(2,,)d,,,,1-10 已知信号f(t)的波形如图题1-10所示，试画出信号与信d[f(6,2t)]号的波形。

dt
答案
tf(2,)d,,f(2,t),,, (1) 的波形与的波形分别如图题1.10(b),(c)所示。

d[f(6,2t)]f(6,2t)dt (2) 的波形与的波形分别如图题1.10(d),(e)所示。

d[f(6,2t)],,(t,2)，,(t,2.5),2,(t,3)dt 且
1-11 已知f(t)是已录制的声音磁带，则下列叙述中错误的是(__)。

A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号
B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放
C.f(2t)表示磁带放音速度降低一半播放
D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放
答案
C
1-12 求解并画出图题1-12所示信号f(t), f(t)的偶分量f(t)与奇分量12e f(t)。

o
答案
11 因式中f(t),f(t)，f(t),[f(t)，f(,t)]，[f(t),f(,t)]e022
11。

故可画出各待求偶分量 f(t),[f(t)，f(,t)],f(t),[f(t),f(,t)]e022 与奇分量的波形，相应如图题1.12中所示。

1-13 已知信号f(t)的偶分量f(t)的波形如图题1-13(a)所示，信号e
f(t+1)×U(-t-1)的波形如图题1-13(b)所示。

求f(t)的奇
分量f(t)，并画出f(t)的波形。

oo
答案
因 f(t),f(t)，f(t) e0
故有 f(t)u(,t),f(t)u(,t)，f(t)u(,t)e0
右移1 将信号的f(t，1)u(,t,1),,,,f(t,1，1)u(,t,1，
1),f(t)u(,t),f(t)u(,t)波形如图题1。

13(c)所示。

又有
f(t)u(,t),f(t)u(,t),f(t)u(,t)0e
的波形如图题1.13(d)所示。

f(t)u(,t)0
因为是奇函数，关于坐标原点对称，故的波形如图题1.13(e)f(t)f(t)u(t)00 所示。

最后得
f(t),f(t)u(,t)，f(t)u(t),u(,t,1),u(t,1)000
的波形如图题1.13(f)所示。

f(t)0
1-14 设连续信号f(t)无间断点。

试证明:若f(t)为偶函数，则其一阶导数f′(t)为奇函数;若f(t)为奇函数，则其一阶导数
f′(t)为偶函数。

答案
,,,f(,t),f(t)f(,t),,f(t)f(t)f(t) (1)若为偶函数，则有.故.故为奇函数。

,,f(,t),,f(t)f(,t),,f(t)f(t) (2)若为奇函数，则有.故，
即,,,,,f(t),,[f(,t)],,[,f(t)],f(t)f(t) .故为偶函数。

1-15 试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系统。

式中f(t)为激励，y(t)为响应。

dy(t),f(t)dt(1) (2) y(t)=f(t)U(t)
(3) y(t)=sin[f(t)]U(t) (4) y(t)=f(1-t)
2(5) y(t)=f(2t) (6) y(t)=[f(t)]
t5ty(t),f(,)d,y(t),f(,)d,,,,,,,(7) (8)
答案
(1) 线性，时不变，因果系统
f(t)y(t)(2) 线性，时变，因果系统。

因为当激励为时，其响应;当激励为
f(t,t)y(t),f(t,t)u(t)010时，其响应为，但是
y(t,t),y(t)01，所以系统为时变系统。

(3) 非线性，时变，因果系统。

y(0),f(1)t,0(4) 线性，时变，非因果系统。

因为当时有，即系统当前时刻的响应决定于未来时刻的激励，故为非因果系
统。

(5) 线性，时变，非因果系统。

y(t)f(t)(6) 非线性，时不变，因果系统。

因为当激励为时，响应为;当激2kf(t)y(t),[kf(t)]1励为时，响应为，但
y(t),ky(t)1，故该系统为非线性系统。

(7)线性，时不变，因果系统。

(8) 线性，时变，非因果系统。

t,t,y(t),ef(,)ed,,,,1-16 已知系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为，则该系统为(__)。

A线性时不变系统 B线性时变系统
C非线性时不变系统 D非线性时变系统
答案
A
1-17 图题1-17(a)所示系统为线性时不变系统，已知当激励f(t)=U(t)时，1其响应为y(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。

1
若激励为f2(t)=U(t)-U(t-2)，求图题117(b)所示系统的响应y(t)。

2
答案
y(t),u(t),2u(t,1)，u(t,2),2[u(t,1),2u(t,2)，u(t,3)]，2
2[u(t,3),2u(t,4)，u(t,5)],[u(t,4),2u(t,5)，u(t,6),u(t),4u(t,1)，
5u(t,2),5u(t,4)，4u(t,5),u(t,6)
的波形如图题1.17(c)所示. y(t)2
1-18 图题1-18(a)所示为线性时不变系统，已知h(t)=δ(t)-δ(t-1),
1h(t)=δ(t-2)-δ(t-3)。

(1)求响应h(t); 2
(2) 求当f(t)=U(t)时的响应y(t)(见图题1-18(b))。

答案
(1) h(t),h(t),h(t),,(t),,(t,1),,(t,2)，,(t,3)12
tf(t),u(t),()d,,,(2) 因，故根据现行系统的积分性有 ,,,
tty(t),h((d,[(),(,1),(,2)，(,3)]d,u(t),u(t,1),u(t,2)，
u(t,3),,,,,,,,,,, ,,,,,,
1-19 已知系统激励f(t)的波形如图题1-19(a)所示，所产生的响应y(t)的波形如图题1-19(b)所示。

试求激励f(t) 1
(波形如图题1-19(c)所示)所产生的响应y(t)的波形。

1
答案
f(t)用表示即 f(t)1
f(t),f(t，1),f(t,1)1
故在同一系统中所产生的响应为 f(t)1
y(t),y(t，1),y(t,1)1
y(t，1),y(t,1),y(t)故的波形分别如图题1.19(d),(e),(f)所示。

1-20 已知线性时不变系统在信号δ(t)激励下的零状态响应为h(t)=U(t)-U(t-2)。

试求在信号U(t-1)激励下的零状态
响应y(t)，并画出y(t)的波形。

答案
tu(t)u(t),()d,,,因有，故激励产生的响应为 ,,,
tty(t),h()d,[u(),u(,1)]d,,,,,, 1,,,,,,
ttu()d,u(,1)d,,,,, ,,,,,,
0t，1,
,tu(t),(t,1)u(t,1),t,11,t，3 ,
,2t,3,
u(t,1)故激励产生的响应为
y(t),y(t,1),(t,1)u(t,1),(t,2)u(t,2)1
y(t)的波形如图题1。

20所示。

1-21 线性非时变系统具有非零的初始状态，已知激励为f(t)时的全响应为-
ty(t)=2eU(t);在相同的初始状态下，当激励为 1
-t2f(t)时的全响应为y(t)=(e+cosπt)U(t)。

求在相同的初始状态下，当激2 励为4f(t)时的全响应y(t)。

3
答案
f(t)设系统的零输入响应为，激励为时的零状态响应为， y(t)y(t)fx
故有
,ty(t),y(t)，y(t),2eu(t) 1xf
,ty(t),y(t)，2y(t),(e，cos,t)u(t) 2xf故联解得
,t y(t),(3e,cos,t)u(t)x
,ty(t),(,e,cos,t)u(T) f
故得
第二章习题 2-1. 图题2-1所示电路，求响应u(t)对激励f(t)的转移算子
H(p)及微分方程。

2
答案
解其对应的算子电路模型如图题2.1(b)所示，故对节点?，?可列出算子形式的KCL方程为
,,,111,,，(),(),()ututft,12,,3pp,,,,,,111,,,,()，，，
(),0utput12,,,1pp,,,
即
,1,,pututpft，1(),(),(),,,123,,,
2,ut，，pput,()，，，1(),012,
联解得
3u(t),f(t),H(p)f(t)22p，4p，4
故得转移算子为
u(t)32H(p),,2f(t)p，4p，4
u(t)对f(t)的微分方程为 2
2，，p，4p，4u(t),3f(t)2
2ddu(t)，4u(t)，4u(t),3f(t)2222dtdt即
2-2图题2-2所示电路，求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。

答案
解其对应的算子电路模型如图2.2(b)所示。

故得
f(t)10p，10i(t)f(t),,22p，11p，302，p1，0.1p，22，p 故得转移算子为i(t)10p，10H(p),,2f(t)p，11p，30
i(t)对f(t)的微分方程为
2(p，11p，30)i(t),(10p，10)f(t)
2dddi(t)，11i(t)，30i(t),10f(t)，10f(t)2dtdtdt即
--2-3 图题2-3所示电路，已知u(0)=1 V, i(0)=2 A。

求t>0时的零输入响应C
i(t)和u(t)。

C
答案
解其对应的算子电路模型如图题2.3(b)所示。

故对节点N可列写出算子形式的KCL方程为
,,p13,,，，u(t),0C,,2p2,,
又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为
2,(p3p2)i(t)0，，,
,，,i(0)i(0)2,,,
,，,u(0)u(0)1,,cc,
电路的特征方程为
2p，3p，2,0
故得特征根(即电路的自然频率)为p=-1，p=-2。

故得零输入响应的12通解式为
ptpt,t,2t12i(t),Ae，Ae,Ae，Ae1212
,t,2t,i(t),,Ae,2Ae12又
故
，i(0),A，A,212有 (1)
，,i(0),,A,2A12
又因有
,u(t),Li(t)c
，，,(0)(0)u,Lic故
L(,A,2A),112即
,A,2A,112即 (2)
式(1)与式(2)联解得A=5,A=-3。

故得零输入响应为 12
,t,2ti(t),5e,3eAt,0
又得
di(t)d,t,2t,t,2t,,u(t),L,15e,3e,,5e，6eVt,0cdtdt
解其对应的算子电路模型如图题2.3(b)所示。

故对节点N可列写出算子形式的KCL方程为
,,p13,,，，u(t),0C,,2p2,,
又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为
2,(p3p2)i(t)0，，,
,，,i(0)i(0)2,,,
,，,u(0)u(0)1,,cc,
电路的特征方程为
2p，3p，2,0
故得特征根(即电路的自然频率)为p=-1，p=-2。

故得零输入响应的12
通解式为
ptpt,t,2t12i(t),Ae，Ae,Ae，Ae1212
,t,2t,i(t),,Ae,2Ae12又
故
，i(0),A，A,212有 (1)
，,i(0),,A,2A12
-2-4图题2-4所示电路，t<0时S打开，已知u(0-)=6 V, i(0)=0。

(1) 今于t=0C
时刻闭合S，求t>0时的零输入响应u(t)和i(t);(2) 为使电路在临界阻尼C 状态下放电，并保持L和C的值不变，求R的值。

答案
解 (1)t>0时S闭合，故有
，,,u(0),Li(0),6Vc
，,i(0),i(0),0
t>0时的算子电路模型如图题2.4(b)所示。

故得t>0电路的微分方程为
111u(t),(2.5，p)i(t),(2.5，p)(,pu),cc444
2.512,pu(t),pu(t)cc416 12.5,,2p， p，1u(t),0,,c164,,即
2,(p 10p16)u(t)0，，,c,，,u(0)u(0)6,,,cc
,，,i(0)i(0)0,,,即 2其特征方程为p+10p+16=0，故得特征根(即电路的自然频率)为p=-2,p=-8。

12
故得零输入响应u(t)的通解形式为 c
,2t,8tu(t),Ae，Aec12
,2t,8t,u(t),,2Ae,8Aec12又有
,2t,8t,Cu(t),C(,2Ae,8Ae)12故
1,2t,8t,i(t),(,2Ae,8Ae),124即 V 1,2t,8t,Ae,2Ae122
1,2t,8ti(t),Ae，2Ae122即
，,u(0),A，A,612c,,1，i(0),A，2A,0,122,故有
联解得A-=8,A=-2。

故得 12
,2t,8tu(t),8e,2eVt,0c
du,2t,8tci(t),,C,4e,4eAt,0dt又得
2-5图题2-5所示电路，(1) 求激励f(t)=δ(t) A时的单位冲激响应u(t)和Ci(t);(2)求激励f(t)=U(t) A时对应于i(t)的单位阶跃响应g(t)。

答案
解 (1)该电路的微分方程为
2dLdLCi(t)，i(t)，i(t),f(t)2Rdtdt
代入数据并写成算子形式为
2(p，5p，4)i(t),4f(t),4,(t)
故得
4i(t),(t),,2p，5p，4
44,,,,,414133,,，,，,，,(t),(t),(t)，，，，p1p43p13p4,,,,,,
44,,,t,4ti(t),e,eU(t)A,,33,,故得
进一步又可求得u(t)为 c
()416dit,,,t,4t()0.25ut,L,,e，e,,,c33dt,,
14,,,t,4t,e，eU(t)V,,33,,
tU(t),,(,)d,,,,(2)因有，故根据线性电路的积分性有
tt44,,,,,4,g(t),i,()d,,e,eU(,)d,,,,,,,,,33,,
41,,,t,4t1,e，eU(t)A,,33,,
2-6图题2-6所示电路，以u(t)为响应，求电路的单位冲激响应h(t)和单位阶C
跃响应g(t)。

答案
解电路的微分方程为
2dduc，3uc，2u,2f(t)c2dtdt 写成算子形式为
2(p，3p，2)u(t),2f(t)c
u(t),h(t)f(t),,(t)Vc? 当时，有。

故得单位冲击响应为
22h(t),,(t),,(t),2，，，，p，1p，2p，3p，2
2,2,(t),,(t),p，1p，2
,t,2t,t,2t2e,2e,2(e,e)U(t)V ? 当f(t)=U(t) V时，有uc(t)=g(t)。

故得tt,,,2,g(t),h()d,2(e,e)U()d,,,,,,,,,,,
t,,,,2,,,2,2(e,e)d,(,2e，e，1)，U(t)V,,0
2-7 求下列卷积积分
-3t’(1) t[U(t)-U(t-2)]*δ(1-t); (2) [(1-3t)δ(t)]*eU(t) 答案
,,tU(t),U(t,2),,(t,1),解 ? 原式=
(t,1),,U(t,1),U(t,3)
,3t,3t,,,(t),eU(t),3t,(t),eU(t), ? 原式=
,,,3t,3t,,,,,,eU(t),3t,(t),,(t),eU(t),
,3t,3t,3eU(t)，,(t)，3eU(t),,(t)
2-8已知信号f(t)和f(t)的波形如图题2-8(a), (b)所示。

求
y(t)=f(t)*f(t)，1212并画出y(t)的波形。

答案
f(t),1，U(t,1)1解 (a)
,(t，1)f(t),eU(t，1)2
y(t),f(t),f(t),112故
,(t，1),,1，u(t,1),eU(t，1),
,,,(1)(,1),，,，eU(，1)d，U(t,,1)eU(，1)d,,,,,,,,,,,,
,t,1,,(，1),(,，1)ed，ed,,,,,,1,1
,1,t0,,,t，,,1(1e)U(t),,t,,2e,t0, y(t)的波形如图.2.8(c)所示 1
f(t),sintU(t),f(t),U(t,1)12(b) ,故
y(t),f(t),f(t),sintU(t),U(t,1),212
,sinU()U(t,,1)d,,,,,,,,
t,1，，sin,d,U(t,1),,,1,cos(t,1)U(t,1),,,0，， y(t)的波形如图.2.8(d)所示 2
2-9图题2-9(a), (b)所示信号，求y(t)=f(t)*f(t)，并画出y(t)的波形。

12
答案
t,f(t)和f()d,,12,,,解利用卷积积分的微分积分性质求解最为简便。

的波形分别如图2.9 (c),(d)所示。

故
t,y(t),f(t),f(t),f(t),f()d,,122,,,
y(t)的波形如图题2.9(e)所示.
2-10. 已知信号f(t)与f(t)的波形如图题2-10(a), (b)所示，试求
y(t)=f(t)*f(t)，1212并画出y(t)的波形。

答案
y(t),f(t),f(t),f(t),,,,,(t，1)，,(t,1),1121解 (a).
,f(t，1)，f(t，1)11
y(t)的波形如图题2.10(c)所示 1
y(t),f(t),f(t),212 (b).
f(t),,,,(t,1),,(t,2)，,(t,3),1
f(t,1),f(t,2)，f(t,3)111
y(t)的波形如图题2.10(d)所示 2
2-11( 试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质，即若激励f(t)产生的响ddtf(t)y(t)f()d,,,,,dtdt应为y(t)，则激励产生的响应为(微分性质)，激励产
ty(,)d,,,,生的响应为(积分性质)。

答案
解 (1)设系统的单位冲激响应为h(t)，则有
y(t),f(t),h(t)
对上式等号两端求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质，故有
ddy(t),h(t),f(t)dtdt (证毕
y(t),f(t),h(t)(2)
对上式等号两端求一次积分，并应用卷积积分的积分性质，故有
tty()d,h(t),f()d,,,,,,,,,, (证毕)
-t2-12. 已知系统的单位冲激响应h(t)=eU(t)，激励f(t)=U(t)。

(1). 求系统的零状态响应y(t)。

(2).如图题2-12(a), (b)所示系统，
11,,,,h(t),h(t)，h(,t),h(t),h(t),h(,t)1222 求响应y(t)和y(t) 12
(3). 说明图题2-12(a), (b)哪个是因果系统，哪个是非因果系统。

答案
,ty(t),h(t),f(t),eU(t),U(t)解 (1)
,ty(t),(1,e)U(t)
y(t),f(t),,,h(t),h(t),112(2)
11,,,,,,U(t)，,h(t)，h(,t),h(t),h(,t),,,22,,
t,e,t,0tU(t),h(,t),U(t),eU(,t),,1,t,0,
y(t),f(t),,,h(t)，h(t),212
11,,,,,,U(t),h(t)，h(,t)，h(t),h(,t),,,22,,
,tU(t),h(t),(1,e)U(t)
(3)因f(t)=U(t)为因果激励，但 y(t)为非因果信号，y(t)为因果信号，故12图题2.12(a)为非因果系统，图题2.12(b)为因果系统。

,5ty(t),sin,tU(t)f(t),eU(t)2-13. 已知激励产生的响应为，试求该系统的单
位冲激响应h(t)。

答案
解因有y(t)=f(t)*h(t)，即
,5tsin,tU(t),eU(t)*h(t)
对上式等号两端同时求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质有
,5t,,,cos,tU(t),,5eU(t)，,(t)*h(t),
,5t,5eU(t)*h(t)，h(t),
,5sin,tU(t)，h(t)
故得系统的单位冲激响应为
h(t),(5sin,t，,cos,t)U(t)
,,,y(t)，3(t)，2y(t),f(t) 已知系统的微分方程为。

2-14.
(1). 求系统的单位冲激响应h(t);
,tf(t),eU(t)2). 若激励，求系统的零状态响应y(t)。

(
答案
解 (1)其算子形式的微分方程为
2，，p，3p，2y(t),f(t)
1y(t),f(t)2p，3p，2故得
f(t),,(t)y(t),h(t)当时，则有。

故上式变为
11,1h(t),(t),(，)(t),,,(p，1)(p，2)p，1p，2
11,t,2t,(t),,(t),(e,e)U(t)p，1p，2
(2)零状态响应为
,t,2t,ty(t),h(t),f(t),(e,e)U(t),eU(t),
,1t,2t,t(,e，e，te)U(t)
2-15. 图题2-15所示系统，其中h(t)=U(t)(积分器)，h(t)=δ(t-1)(单位延12-t时器)，h(t)=-δ(t)(倒相器)，激励f(t)=eU(t)。

3
(1). 求系统的单位冲激响应h(t);
(2). 求系统的零状态响应y(t)。

答案
f(t),,(t)y(t),h(t)解 (1)当时，，故
h(t),h(t)，h(t),h(t),123
U(t)，,(t,1),,,,,(t),U(t),,(t,1)
,ty(t),f(t),h(t),eU(t),,,U(t),,(t,1),(2)
,t,teU(t),U(t),eU(t),,(t,1),
,t,(t,1),(1,e)U(t),eU(t,1)
2-16. 已知系统的微分方程为
2dddy(t)，2y(t),f(t)，3f(t)，3f(t)2dtdtdt 求系统的单位冲激响应h(t)和单位阶跃响应g(t)。

答案
解 (1)系统算子形式的微分方程为
2(p，2)y(t),(p，3p，3)f(t)
2p，3p，3y(t),f(t)p，2故
f(t),,(t)y(t),h(t)当时，故得单位冲激响应为
2p，3p，31h(t),,(t),(p，1，),(t),p，2p，2
,2t,,(t)，,(t)，eU(t)
(2)系统的阶跃响应为
t1,2tg(t),h(,)d,,(1,e)U(t)，,(t),,,2
2-17. 图题2-17所示系统，h(t)=h(t)=U(t)，激励f(t)=U(t)-U(t-6π)。

求12
系统的单位冲激响应h(t)和零状态响应y(t)，并画出它们的波形。

答案
解 (1).求单位冲激响应h(t)。

由图题2.17(a)得
,,f(t),y(t),h(t),h(t),y(t)21
,,f(t),y(t),U(t),U(t),y(t)即
f(t),U(t),y(t),U(t),U(t),y(t)即对上式等号两端求一阶导数有
,f(t),,(t),y(t),(t),U(t),y(t)
,f(t),y(t),U(t),y(t)即
,,,f(t),y(t),,(t),y(t)再求一阶导数有
,,,y(t)，y(t),f(t)故得系统的微分方程
2(p，1)y(t),pf(t)写成算子形式为
py(t),f(t)2p，1故得
f(t),,(t)当时，有y(t)=h(t)。

故得单位冲激响应为
h(t),costU(t)
h(t)的波形如图题2.17(b)所示
(2).系统的零状态响应为
y(t),f(t),h(t),,,U(t),U(t,6,),costU(t),
U(t),costU(t),U(t,6,),costU(t),
U(t),costU(t),U(t,6,),costU(t),
6tt,,cosd,cosd,sint,,U(t),U(t,6),,,,,,,00 y(t)的波形如图题2.17(c)所示。

1,4th(t),eU(t)A22-18. 图题2-18(a)所示系统，已知，子系统B和C的单位阶
,t,3tg(t),(1,e)U(t),g(t),2eU(t)Bc跃响应分别为。

(1) 求整个系统的单位阶跃响应g(t); (2) 激励f(t)的波形如图题2-18(b)所示，求大系统的零状态响应y(t)。

答案
解 (1)系统B的单位冲激响应为
dd,t,t,,h(t),g(t),(1,e)U(t),eU(t)BBdtdt 设系统C的单位冲激响应为
h(t)。

故大系统的单位冲激响应为 C
h(t),h(t),,,h(t)，h(t)cAB
故大系统的单位阶跃响应为
tg(t),h()d,g(t),,,h(t)，h(t),,,cAB,,,
1，，,3t,4t,t2eU(t),eU(t)，eU(t),,,2，，
,3t,4t,3t,teU(t),eU(t)，2eU(t),e(t),
,t,4t(e,e)U(t) (查卷积积分表) (2) 激励f(t)的函数表达式为
f(t),U(t),2U(t,2)，U(t,4)，2,(t,4) 大系统的单位冲激响应为
ddd,t,4t,t,4t,,h(t),g(t),(e,e)U(t),eU(t),eU(t),dtdtdt
,t,4t,4t,t,(t),eU(t),,(t)，4eU(t),(4e,e)U(t) 故零状态响应为
t,y(t),h(t),f(t),h()d,f(t),,,,,,
,,,g(t),,(t),2,(t,2)，,(t,4)，2,(t,4),
,t,4t,(t,2),4(t,2),,(e,e)U(t),2e,eU(t,2)，
,4(t,4),(t,4),,7e,eU(t,4)
,2t
e2-19. 已知系统的单位阶跃响应为g(t)=(1-)U(t)，初始状态不为零。

,t,tee (1)若激励f(t)=U(t)，全响应y(t)=2U(t)，求零输入响应yx(t);
(2) 若系统无突变情况，求初始状态yx(0-)=4，激励f(t)=δ′(t)时
的全响应y(t)。

答案
解 (1).系统的单位冲激响应为
,2t,h(t),g(t),2eU(t)
故零状态响应为
,t,2t,t,2ty(t),f(t),h(t),eU(t),2eU(t),2(e,e)U(t)f 故得系统的零输入响应为
y(t),y(t),y(t),xf
,t,t,2t,2t2eU(t),2eU(t)，2eU(t),2eU(t)
故得系统的初始状态为
,，y(0),y(0),2xx
,f(t),(t), (2).当的零状态响应为
,2t,,,y(t),,(t),h(t),,(t),h(t),h(t),2,(t),4eU(t)f
-根据零输入响应的线性性质，当y(0)=4的零输入响应为 x
,2t,2t,,y(t),22eU(t),4eU(t)x
,,y(0),4f(t),(t),x故得激励，初始状态时的全响应为
,2t,2ty(t),y(t)，y(t),,2(t),4eU(t)，4eU(t),2,(t)fx
,y(t)，2y(t),f(t)2-20. 已知系统的微分方程为,系统的初始状
态,,tf(t),eU(t)y(0),2y(t)11.(1)求激励时的全响应;(2)求激励,tf(t),5eU(t)y(t)22时的全响应.
答案
解将微分方程写成算子形式为
(p，2)y(t),f(t)
1y(t),f(t)p，2故
y(t)p，2,0x(1) 求系统的零输入响应.系统的特征方程为,故特征根为p,,2.故得零输入响应的通解形式为
,2ty(t),Aex
,,y(0),y(0),A,2x故
故得系统的零输入响应为
,2ty(t),2eU(t)x
,ty(t)f(t),eU(t)f(t),,(t)f11(1) 求激励时的零状态响应.当激励时,有
y(t),h(t),故得单位冲激响应为
1,2th(t),,(t),eU(t)p，2
故得系统的零状态响应为
,t,2t,t,2ty(t),f(t),h(t),eU(t),eU(t),(e,e)U(t)f1 故得系统的全响应为
,2t,t,2ty(t),y(t)，y(t),2eU(t)，(e,e)U(t),1xf
,2t,t(e，e)U(t)
,tf(t),5eU(t)2(1) 激励时的零状态响应为
,t,2ty(t),5(e,e)U(t)f 故得此时系统的全响应为
,2t,t,2ty(t),y(t)，y(t),2eU(t)，5(e,e)U(t),2xf
,t,2t(5e,3e)U(t)
,,,,y(t)，3y(t)，2y(t),f(t)，3f(t)2-21. 已知系统的微分方程为系统零输
，，,y(0),2y(0),1xx入响应的初始值为,，激励
,3t+f(t),eU(t).试求系统的全响应y(t),并求全响应的初始值y(0).
答案
解 (1)求零输入响应y(t)。

将微分方程写成算子形式为 x
2(p，3p，2)y(t),(p，3)f(t)
p，3y(t),f(t)2p，3p，2故系统的特征方程为
2p，3p，2,0
y(t)x故得特征根为p=-1,p=-2。

故得零输入响应的通解形式为 12
,t,2ty(t),Ae，Aex12
,t,2t,y(t),,Ae,2Aex12又
，,y(0),A，A,1,x12,，,,y(0)A2A2,,,,x12,故有
A,4A,,312联解得,。

故得零输入响应为
,t,2ty(t),(4e,3e)U(t)x (2) 求单位冲激响应h(t)
p，3p，3h(t),,(t),,(t),2(p，1)(p，2)p，3p，2
2,1,t,2t,(t)，,(t),(2e,e)U(t)p，1p，2 (2) 求零状态响应y(t). f
,3t,2t,2t,,y(t),f(t),h(t),eU(t),2e,eU(t),f
,3t,t,3t,2teU(t),2eU(t),eU(t),eU(t),
1,3t,t,3t,2t2(,)(e,e)U(t)，(e,e)U(t),2
,t,2t(e,e)U(t)
(2) 全响应为
y(t),y(t)，y(t),xf
,t,2t,t,2t(4e,3e)U(t)，(e,e)U(t),
,t,2t(5e,4e)U(t)
，y(t)y(t)y(0),1(2) 全响应的初始值为。

全响应的一阶导数为
,t,2t,y(t),(,5e，8e)U(t)
，,y(0),,5，8,3故
第三章习题
f(t)3.1 图题3.1所示矩形波，试将此函数用下列正弦函数来近似
f(t),Csint，Csin2t，？，Csinnt12n。

f(t)
1
,t
,,0
-1
图题3.1
答案
任一函数在给定的区间内可以用在此区间的完备正交函数集表示，但若只取函数集中的有限项，或者正交函数集不完备，则
只能得到近似的表达式。

,
f(t)sinntdt,,,C,n,2sinntdt,,,
(,,,,) 由于分母与分母中的被积函数在区间内是偶函数，故有,
1,ntcosntdt,sin2,n0n,,C,,,(,1),1n,211n,，，
ntdtsintnt,sin2,0,,22,，，0
故得
44C,,,C,0,C,,,C,0,？1234,,3
f(t)3.2 求图题3.2(a)所示周期锯齿波的傅里叶级数。

f(t)
1
((((((
t-2T -T 0T 2T 3T
(a)图题 3.2
答案
'''f(t)f(t)f(t)将求导得，的波形分别如图3.2(b)，(c)所示。

,,,f(t)f(t)
1/T
-2T -T 0T 2T
tt-2T -T 0T 2T(((((((((((((1)(1)(1)(1)(1)(c)
(b)图题 3.2 ''f(t)于是得的傅立叶系数为
TT,22,,,,'''jntjnt22A(jn,),f(t)edt,,,(t)edt,2TT,,,,TT22 TTT222jn,,,，,,，0'0'jnjn222,,,e,(t)，
jn,e,(t)dt,,,(t)dt,,(t)dt,TTT,,,,,,TTT222
2jn,2jn,0,,,TT
f(t)故得的傅立叶系数为
jn2,,,Ajn(,),2,2,12TA,,,,,,n22jnTjn,jn,,2jnjn(,)(,)(n,0)
TT221A,f(t)dt,tdt,10,,00TTT
f(t)于是得的傅立叶级数为
,,,,A11111jntjntjnt0,,,f(t),Ae,，Ae,，
(,)enn,,,,22222jnnnn,,,,,,,,,n0n0,,
,1111111,,(sin,t，sin2,t，sin3,t，？),,sinn,t,,,2232nn1,
f(t)(a)所示信号的傅里叶级数。

3.3 求图题3.3
f(t)
1
((((((
t-T -T/2 0T/2T
(a)图题 3.3
答案
'''''f(t)f(t)f(t): ，的波形如图3.3(b),(c)所示。

于是得的傅立叶系数为,f(t),,f(t)
2/T2/T
((((((((((((
tt-T -T/2 0T/2T-T -T/2 0T/2T
(1)(1)(1)(c)
(b)
图题 3.3
2,,,TT,T2222TT，，,,,,'''jntjnt22,,,,,,A(jn)f(t)edt,(t),(t),(t)edt2T T,,,,,,,TTTT22，，22
442jn,nn (1)(1),,,,,22TTT f(t)故得的傅立叶系数为
,,A(jn,)1j2nn,,A,,(,1),1，(,1) n,0n222n,(jn,)n,
又
TT22212()A,ftdt,tdt,0,,002TTT f(t)故得的傅立叶级数为
,,A1jnt0,()ft,，Aen,22n,,,n0,
f(t)T,1s3.4 求图题3.4(a)所示信号的傅里叶级数，。

f(t)
E ((((((
t -T 0T 2T 3T
图题 3.4(a)
答案
'''''f(t)f(t)f(t) ，的波形如图题3.4(b),(c)所示。

于是得的傅立叶系数为,,,f(t)f(t) Et,cos,
,E(2,E)(((((((((((( -T 0T 2Ttt
2,,f(t),E, (c)(b)
图题 3.4
T,T22''2,jn,t,jn,t2,,A(jn,),f(t)edt,2,E,(t),,f(t)edt1T,,,0,TT2
,TT,E224jntjnt22,,,,,,E,tedt,,ftedt,,,A 2()()n,,,,00TTT
其中
,T2,jn,tA,f(t)edtn,,0T
,f(t)f(t)An为的傅立叶系数。

故的傅立叶系数可求得如下:
,,,,E422jn,A,Ajn,,,,A()()nn2T
即
,E4,22jnA,,，,,(),nT 今
T,1s 故
,2,,,2,T 代入上式得
,222,,,,4,nA,4,En 故得
,4EA,,n2,(4n,1)
f(t)于是得的傅立叶级数为
,,,,114E2Ejn,tjn,2tjn2,tftAeee(),,,,,,,,n2222,(4n,1),(4n,1),,,,,, f(t)f(t)f(t)ir3.5 设为复数函数，可表示为实部与虚部之和，即
f(t),f(t)，jf(t)f(t),F(j,)ri，且设。

证明:
,1，，,，,,,Ff(t)F(j,)F(j,)r,,2，，
,1，，,,,,,Ff(t)F(j,)F(j,)i,,2j，，其中
,,，，,,F(j,)Ff(t),,，，
答案
因
f(t),f(t)，jf(t) (1)ri 故
,
f(t),f(t),jf(t) (2)ri 式(1)+式(2)得
,1，，,，f(t)f(t)f(t)r,,2，，式(1)-式(2)得
,1，，,,f(t)f(t)f(t)i,,2j，，
故得
,1，，,，,,,Ff(t)F(j,)F(j,)r,,2，，
,1，，,,,,,Ff(t)F(j,)F(j,)i,,2j，，
F(j,)f(t)3.6 求图题3.6所示信号的。

f(t)
A
,t
,,0
-A
图题3.6
答案
,,,,j,jj,j，，,,,,,,,,,,2222F(j),ASa()e,ASa()e,ASa()e,e,,,,,,,222，，
2,,,,，，
sin()sin(),,,,,,,,22222jAsin(),2jA,jASa(),,,,,,,,,,222,,,,22，，故
,,22F(j),ASa(),,,2
f(t)F(j,)3.7 求图题3.7所示信号的频谱函数。

f(t)
1
t,1/201/2
图题 3.7 答案
方法一用时域积分性质求解。

因有
'f(t),G(t)1 故
,'f(t),G(j),Sa(),12 又因有
tt'f(t),f()d,G()d,,,,1,,,,,, 故得
,Sa(),G(j)12,,,,,,,,F(j),G(j)()，,()，1,jj,
方法二用卷积性质求解。

因有
f(t),G(t),U(t)1
故得
,Sa(),，，12,,,,,,,F(j),Sa()，()，,()，,,2,jj,，，
F(j,)f(t)3.8 求图题3.8所示信号的。

f(t)
1
t-3 -2 -1 0 1 2 3
图题 3.8 答案
方法一因
f(t),G(t，2)，G(t,2),22 又有
,,G(t),Sa(),,2 取
,,,,2
故得
,,2
故
G(t),2Sa(,)2
j2,G(t，2),2Sa(,)e2
,j2,G(t,2),2Sa(,)e2 故得
j2,,j2,F(j,),2Sa(,)e，2Sa(,)e,4cos2,,Sa(,)
方法二因有
f(t),G(t),,(t，2)，G(t),,(t,2)22
故
j2,,j2,F(j,),2Sa(,)e，2Sa(,)e,4cos2,,Sa(,)
f(t),F(j,)3.9 设。

试证:
1,,(1) F(0),f(t)dt ; (2) f(0),F(j,)d, ,, ,,,,2,答案(1)因有
,,j,tF(j,),f(t)edt,,, ,,0取，则得
,F(0),f(t)dt,,,
(2)因有
,1j,tf(t),F(j,)ed,,,,2, t,0取，则得
,1f(0),F(j,)d,,,,2,
f(t),F(j,)3.10 已知，求下列信号的傅里叶变换。

(1) tf(2t) (2) (t,2)f(t)
df(t)(3) (t,2)f(,2t) (4) t dt
(5) f(1,t) (6) (1,t)f(1,t)
(7) f(2t,5) (8) tU(t)
答案
(1)因有
1,f(2t),F(j)22
又有
d11,,，，',jtf(2t),F(j),F(j),,d2222,，，
故
1,'tf(2t),jF(j)22
'(2) (t,2)f(t),tf(t),2f(t),jF(j,),2F(j,)
1d1,,，，(3) (t,2)f(,2t),tf(,2t),2f(,2t),jF(,j),2，F(,j),,2d222,，，故
1,,'(t,2)f(,2t),jF(,j),F(,j)222
(4) 因有
,dF(j),jtf(t),d,
则有
df(t)d,,,jt,j,F(j,)dtd,
故
df(t)',,t,,,F(j,)，F(j,)dt
(5) f(1,t),f,,,(t,1) 因有
,j,，1f(t,1),F(j,)e
故有
,j,,,f(1,t),f,(t,1),F(,j,)e
(6) (1,t)f(1,t),f(1,t),tf(1,t)
d,,,,j,,j',j,,, ,F(,,j)e,jF(,j,)e,,jF(,j,)e,,d,,, 5,j,51,，，2 (7) f(2t,5),f2(t,),F(j)e ,,222，，，，d11' ,,,,,, (8) tU(t),j()，,j(), ,,2,,,dj，，F(j,)f(t)3.11 求图题3.11(a)所示信号的。

f(t)
E
t
图题 3.11(a) 答案
1，，f(t),Esin,tU(t),U(t,),,2，，
2,,,T
'''f(t)f(t)，的波形如图题3.11(b)，(c)所示。

,,f(t),f(t)
E,(E,)(E,)
tt0T/2
2,E,,E,(c) (b) 图题 3.11 故有
T，，''2(),,,()，,()，(,),,ftftEtt,,2，，故有
T,,，j，222(,j)F(j,),,,F(j,)，E,1，e,,
，，
故得
T,,jE,2,F(j),(1，e)22,,,
F(j,)f(t)3.12 求图题3.12所示信号的。

f(t)
2
1
t10
图题 3.12(a)
答案
f(t)f(t)f(t)12将分解为与的叠加。

即
f(t),f(t)，f(t)12
'f(t)2如图题3.12(b)，(c)所示;的波形如图题3.12(d)所示，故得1,j,1,2F(j),F(j)，F(j),3()，Sa()e,,,,,,12j2,
f(t)f(t)1
21.5
1
tt100
(b)(a)
,f(t)f(t)22
10.5t1t-0.510
(d)(c)
图题 3.12
3.13 求下列各时间函数的傅里叶变换。

11n(1) (2) , (3) t2,,tt 答案
1
t (1)方法一由于为奇函数，故
,11，，F,,2jsin,tdt,,,0tt，，今
,,,,0,,,sint2,dt,,0,t,,,,02, 故
,,,,0j,1，，,F,,,j,,,0t，，, 又得
,,1,0j,1，，,F,,,1,0j,,t，，, 即
1，，F,,jsgn(,),,t,，，
2sgn(t),j,方法二利用傅立叶变换的对称性求解。

因已知有，故有
11jsgn(t),,2 故
112jsgn(,),,,2t 故得
1,,jsgn(,)t, (2)因
11',,()2,,tt 故
,,,1,,0，，,,,,,,sgn(),sgn(),Fj,,j,,,2,,,,,,t,0,，，, (3)因有
1,,(,)2,
根据频域微分性质有
1n(n)(,jt),,,(,)2,
故得
nn(n)t,2,j,(,)
f(t)F(j,),a(,),jb(,)a(,)3.14 已知图题3.14(a)所示信号的频谱函数,b(,),和均为的实函数。

试求
x(t),,,f(t，1)，f(t,1)cos,tf(t),f(t)，f(,t)X(j,)0000的频谱函数。

，其波形如图题3.14(b)所示。

f(t)f(t)
EE
tt -1 0 1
(a) (b)
图题 3.14 答案
x(t),f(t，1)cos,t，f(t,1)cos,t0000 今
f(t),F(j,),a(,),jb(,) 故
f(,t),F(,j,),a(,,),jb(,,),a(,)，jb(,)
f(t),F(j,),Fj,)，F(,j,),2a(,)00
j,,j,f(t，1)，f(t,1),2a(,)e，2a(,)e,4a(,)cos,00 故得1,,,,X(,j),4a(,)cos,,2,,(,，,)，,(,,,)002,
,2a(,，,)cos(,，,)，2a(,,,)cos(,,,)0000
F(j,)3.15 已知的模频谱与相频谱分别为
,,F(,j),2U(,，3),U(,,3)
3,(,),,,，,2 F(j,)f(t),0f(t)求的原函数即时的值。

t
答案
33j,,,,j()j,,,,22F(,j),F(,j)e,2,,U,(，3),U(,,3)ee,,2G(,)e6 因有
,,,,G(t),Sa,,,,2,, 故
66t3,,,，，G(),Sa,Sa3t,,6,,22,, 故
6,，，,2G(),,Sa3t6, 故
3,,6，3，,,2,2()3,,,,GeSat,,6,,,2,,，，
故得
，，63,,f(t),,Sa3t,,,,,,2,,，，
f(t)3.16 求下列各频谱函数所对应的时间函数。

12,(1) (2) 2,
(3) ,,(,2) (4) 2cos,
5a,,,,,(5) eU(,) (6) 6()，(j,,2)(j,，3) 答案(1)
22',,,(j,)，1,,,(t)
故
'f(t),,,(t)
(2)因有
2
,1111j,F(j),,,,,,,2,jj,2j,,
故根据时域积分性得
t111(),,sgn(),,sgn(),,ft,d,ttt,,,222 (3)因有1,2,,(,) 则有
1,,(,)2, 故有
1j2te,,(,,2)2, 得
1j2t()ft,e2, (4)因有
,,cos1t,,,(w,1)，,(w，1) 则有
1cos1t,,(,,1)，,(,，1), 故
12,，cos,,,(t,1)，,(t，1),
即
2cos,,f(t),,(t,1)，,(t，1)
awF(j,),eU(,,)(5)的图形如图题3.16所示，
F(j,)
,,1eU(,,)
,0
图题3. 16
故得
,0111,jta,j,t,,,f(t),F(j)ed,eed,,,,,t,,,,,,,,,,,222(a，jt) (6)由于51,1,,,,,,,F(j),6()，,6()，，(,j,2)(,j，3)j,,2j,，3 故
2t,3tf(t),3,eU(,t),eU(t)
F(j,)f(t)3.17 的图形如图题3.17(a)，(b)所示，求反变换。

F(j,),(,)A
,t0
,,,,0,,,000
(a) (b)
图题 3.17 答案
方法一用基本定义式求解。

因已知有
,j,t()j,,0F(,j),F(,j)e,Ae,,,,,,,00 故有
,,,A1A0,,()jtjtt,jt,,000f(t),Aeed,,ed,,Sa[,(t,t)]00,,,,,,022,,, f(t)的波形如图题3.17(c)所示。

方法二利用傅立叶变换的对称性求解。

因已知有
jt,,0F(j,),AG(,)e2,0 又因有
,,G(t),Sa(),,2 ,,2,0取，有
,,20G(t),2,Sa(),2,Sa(2,,)2,00002
2,G(,),2,Sa(,t)2,000
,0G(,),Sa(,t)2,00,
,A0AG(,),Sa(,t)2,00,
,A,jt,00AG,()e,Sa[,(t,t)]200,0,
故得
,A0f(t),Sa[,(t,t)]00,
f(t)
,A/, 0
t，,/,0 t0t0
图题 3.17
f(t)3.18 用傅立叶变换法求图题3.18(a)所示周期信号的傅立叶级数。

f(t)
1
((((((
t-T -T/2 0T/2T
图题 3.18(a)
答案
f(t)f(t)f(t)0从中截取一个周期信号，如图题3.18(b)所示。

这样，就可理解为
''f(t)f(t)00是的周期延拓。

于是得为
22TT'''(),(),(),()ft,t,t,,t,022TT ''f(t)0图形如图题3.18(d)所示，故有
TT,,,,jj22222,jFj,,,e,j,e()()0TT 于是得
TT,,,,,,jj2T,22,,()1,,，Fjeje,02,,2T,,,
f(t)故周期信号的傅立叶系数为
.2,A,F(j)n0T,,,n
TT,,,,,,,jnjn22jn,T222,, ,e,1，e,,2,,T2TT(n,),,
1nn,,, ,(,1),1，jn(,1)22,n
11nn,, ,(,1),1，j(,1),n,022n,n,
TTT2222212A,f(t)dt,tdt,tdt, 0,,,000TTTTT2 f(t)故得的傅立叶级数为
,,A1jn,t0f(t),，Ae,n,0,022n,,,
,f(t),,f(t)f(t)000
2/T(2/T)1
ttt 0T/2 0T/2(b)
(1)
(c)(d)
图题 3.18
f(t)3.19 已知信号的傅立叶变换为
,1,2,,4,(),()，Fj,,,,0,其它,
2Y(jw),,f(t)求的傅立叶变换。

答案
F(j,)的图形如图题 (a)所示。

F(j,)
1
(1)
,-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(a)
F(j,)1又设的图形如图题 (b)所示。

F(j,)1
1
,-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(b)
则有
12,,,Y(j),Ff(t),F(j),F(j),,,,2
1,,,,,, ,()，F(j),()，F(j),,,,11,2
1,, ,,,()，2F(,j)，F(j,),F(j,)1112, F(j,),F(j,)11而的图形如图题 (c)所示
F(j,)*F(j,)11
4
2
,-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
(c) Y(j,)故得的图形如图题 (d)所示。

Y(j,)
(1/2,)
2,/2
,-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
(d)
3.20 应用信号的能量公式
2,,12W,f(t)dt,F(j,)d,,,,,,,2,
求下列各积分。

,2(1) f(t),Sa(at)dt ,,,
,4(2) f(t),Sa(at)dt ,,,
,1ft,dt(3) () 222,,,a，t() 答案
(1)因有
,,,,,a,,a()()Saat,Fj,,
,0,,,a,
故得
2,a1,,2Saatdtd(),(),,,,,,,aaa2,
(2)利用傅立叶变换的对称性可得
,,,,(1,),,2a,,Sa(at),F(j),a2a,
,,0,,2a, 故
22,，02，
a14a2,,,,,,422Sa(at)dt()(1)d()(1)d,，，,,，,,,,,2,,,,,,20a2a2aa2a33a2a,，，
)因有 (3
1,,a,,F(j),e,22aa，t 故得
220，，,,11,,,22a,,a,dt()edw()edw,，,,,2223,,,0,,,,2aa(at)2a，,，，
3.21 已知信号
22sintf(t),cos1000tt 求其能量W。

答案
令
2sintf(t),,2Sa(2t)1t 故
F(j,),2,G(,)14 故
11F(,j),F,,f(t),Fj(,,,,1000)，Fj(,，1000,,),,G(,,1000)，,G(,，1000)114422
故得
2,112W,F(j,)d,,8,,4,,,,22,,
3.22 已知信号
2sin5tf(t),cos997t,t 求其能量W。

答案
10f(t),Sa(5t)cos997t,
因有
10Sa(5t),2,G(,),2,,,U(,，5),U(,,5)10 故
11,,,,F(j),Ff(t),，2G(,997)，G(，997),,,,1010,2
,U,(,992),U,(,1002)，U(,，1002),U(,，992) 故得信号能量22,10021110,,,W,Fjd,d,()1,,0992,,,。