三角函数公式推导大全

三角函数公式推导及应用
两角和的正弦与余弦公式：
（1） sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（2） cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，
根据两点间的距离公式推导：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。

则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。

∵ OA=OB=OC=OD=1
∴ CD=AB。

∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；
=cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；
=2-2 cos（α+β）。

AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β；
=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ
∴ sin（α+β）= cos（90°-α-β）
=cos[（90°-α）+（-β）]
=cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ
()
()
()()()()()()()[
]
()()()()[
]
()1
cos 2cos 1cos sin 21sin sin 1sin cos sin 2/cos cos 2/sin 2/sin 2cos 22222222-=--=-=--=-=-----=--=ααααααααααπααπααπα
又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = （sinα·cosβ-cosα·sinβ）/（cosα·cosβ+sinα·sinβ） 同除cosα·cosβ,得tan (α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
正弦、余弦的和差化积公式
指三角函数中的一组恒等式
以上公式可用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。

证明：由和角公式有，
两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。

正切的和差化积
（附证明)
cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ）
tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ）
tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】
证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ）
=sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边
∴等式成立
2注意事项编辑
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥[1]
帅-帅=哥帅
哥+哥=哥哥
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
语文老师教的口诀：
口口之和仍口口cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
另一口诀：
正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
另另一种口诀（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：
正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
3记忆方法编辑
和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。

如何只记两个公式甚至一个
我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

而第二个公式中的-sinβ=sin（β+π），也就是sinα-sinβ=sinα+sin（β+π），这就可以用第一个公式解决。

同理第四个公式中，cosα-cosβ=cosα+cos（β+π），这就可以用第三个公式解决。

如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。

用的时候想得起一两个就行了。

结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。

sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos（α-β）-cos（α+β）
=[(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。

只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。

这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。

熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是（α+β）/2和（α-β）/2，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。

使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”（α-β）/2的三角函数名。

是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

（α-β）/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos（α-β）/2的形式出现；反之，以sin（α-β）/2的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把（α-β）/2替换为（β-α）/2，结果应当是一样的，从而（α-β）/2的形式是cos（α-β）/2；另一种情况可以类似说明。

余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如（0，π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。

但是这时对应的（α+β）/2和（α-β）/2在（0，π）的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。

积化和差
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]
=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]
其他的3个式子也是相同的证明方法。

三角函数
1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：
{}
Z k k ∈+⨯=,360
|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+⨯=,90180|
ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-⨯=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180
π≈0.01745（rad ）
3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：21
1||22
s lr r α==⋅扇形
4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则
=αsin r
x
=αcos ； x y =
αtan ； y
x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
8、同角三角函数的基本关系式：αα
αtan cos sin =
αα
α
cot sin cos =
1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α
1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式：
2
k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 x x k x x k x
x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ
公式组三
x x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组一sin x ·csc x =1tan x =x
x cos sin sin 2x +cos 2x =1
cos x ·sec x x =x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x =1(3) 若 o<x<2
,则sinx<x<tanx
16. 几个重要结论:
公式组四 x x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ
公式组五
x
x x x x
x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ
公式组六
x
x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α
αα2tan 1tan 22tan -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2
cos 12
sin
α
α-±
= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ 2
cos 12cos α
α+±=
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 公式组三 公式组四 公式组五
2tan 12tan 2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22
ααα+-= ()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21
cos cos sin sin 21
sin cos sin sin 21cos sin 2
cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+α
α
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-
2tan 12tan
2tan 2
α
αα-=
4
2675cos 15sin -=
=
, ,3275cot 15tan -== ,. 3215cot 75tan +== 4
2615cos 75sin +=
=
2
sin
2
cos
2sin sin βαβαβα-+=-2
cos 2cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+2sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-α
απcos )2
1
sin(=+α
απcot )21
tan(-=+
注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.
②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ω
π
2=
T .
2tan x
y =的周期为2π（πω
π2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.
④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+
=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的
对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2
1ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（
0,2
π
k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称
⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+
=+π
πβα；αtan ·,1tan -=β)(2
Z k k ∈+
=-π
πβα.
⑥x y cos =与⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则
)cos()2
1
sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
x y tan =为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3
1
tan(π+=x y 是非奇非偶.（定
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）
⑨x y sin =
不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）
y=|cos2x +1/2|图象
x y cos =是周期函数（如图）
；x y cos =为周期函数（π=T ）； 2
12cos +
=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =
+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||
T πω=，频率1||2f T ωπ
==，相位;x ωϕ+初相ϕ
（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）
由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω
倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx
替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)
由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。