函数的性质综合应用

一、选择题

1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x |

C ．y ＝x 1

2

D ．y ＝x 3

2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x

－1，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2 0152等于( )

＋1

－1 C ．－3－1

D ．－3＋1

3．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，

f (x )＝ln x ，则有( )

A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13

B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

⎪⎫13

D ．f (2)

⎪⎫13

4．已知函数f (x )＝log 13(x 2

－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，2]

B ．[2，＋∞)

5．(2016·威海模拟)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则

f (2－x )>0的解集为( )

A ．{x |x >2或x <－2}

B ．{x |－2

C ．{x |x <0或x >4}

D ．{x |0

6．(2016·杭州高三联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．可能为0 B ．恒大于0 C ．恒小于0

D ．可正可负

7．(2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字

命名的函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q 被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，现

有关于函数f (x )的如下四个命题：

①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：

①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足

f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数y ＝1

x ＋1

与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )

＝

1

x －1

.其中正确的个数是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题

9．(2016·孝感模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2

－2x ，则当10≤x ≤12时，f (x )＝________________.

10．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －

x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是________．(把正确的序号都填上)

①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝x 2

；③f (x )＝sin x ； ④f (x )＝cos 2x .

11．(2016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

－x 2

＋4x －3，1≤x ≤3，

x －3，x >3，若

在其定义域内存在n (n ≥2，n ∈N *

)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得

f x 1x 1＝f x 2

x 2

＝…＝f x n x n ，则n 的最大值是________；若n ＝2，则f x n

x n

的最大值是________． 12．(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数

F (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

f x ，x >0，

－f

x ，x <0，

给出下列命题：

①F (x )＝|f (x )|； ②函数F (x )是奇函数；

③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立； ④当a <0时，函数y ＝F (x 2

－2x －3)存在最大值，不存在最小值． 其中所有正确命题的序号是________．

答案解析

1．D

3．C [由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，

所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32

⎪⎫53

⎪⎫13

－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 13t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log

13(x 2

－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2

－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2

－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧

－－a 2

≤1，g 1>0，

所以⎩

⎪⎨⎪

⎧

a ≤2，a >－1

2，即－1

2

5．C [由题意可知f (－x )＝f (x )，

则(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，即(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a .则

f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．

又函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a >(2－x )>0，即ax (x －4)>0， 解得x <0或x >4.故选C.]

6．C [由x 1x 2<0，不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.

由f (x )＋f (－x )＝0，知f (x )为奇函数， 又由f (x )在(－∞，0)上单调递增，得

f (x 1)

∴f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.]