《魔方与数学建模》网易公开课作业

魔方和数学建模选修课作业
作业要求：每个视频小结800字论文字数不限N5-214 14周二，三
该课程以魔方问教学模型，主要讨论如何用现有的科学概论和理论来描述魔方，如何用魔方来描述已知和未知的科学问题，帮助学生及公众体会到如何提出一个科学问题，如何解决一个科学问题。

视频小结
第一讲魔方的文化内涵
魔方英文名为Rubik’s Cube ，近期被某权威杂志评为20世纪前100项发明，2014年时魔方被发明的40周年，魔方在世界已拥有巨大影响力及众多爱好者。

魔方是从课堂走出来的，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的。

三阶魔方系由富有弹性的硬塑料制成的6面正方体，共有26块小立方体。

魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一块被称为智力游戏界的三大不可思议。

而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹。

魔方很美观，6种颜色的方块可以组成绚丽的花纹，魔方也很复杂复杂，它的状态可达到10的19次方。

魔方数学模型的现状：只计算了魔方状态的1/40，前15步的状态数给出了准确数字，由此可见魔方状态的多样性。

第一讲从魔方的演化方面介绍了它的由来。

老师是从《洛书》讲起这堂课的，《易传》上说过：“河出图，洛出书，圣人则之”，在古代神话图腾龙马身上的斑点的排列可以看出雏形：一六在左，二七在右，三八居上，四九位下，五十居中。

这一哲学思想和理念成为了《周易》的主要来源。

《洛书》在汉代叫做九宫图，最早把九宫图引入数学是汉代。

公元557年，北周数学家已经对洛书做出了注释。

后人持续性地对它进行了研究。

并作出了丰富的研究成果—南宋数学家杨辉在九宫图的基础上发明了三阶幻方，这已经是某种意义上的魔方前身。

（三阶幻方的口诀为：九子斜排上下对易左右相更四维挺出相加为十五）
清代学者保其寿又在幻方的基础上发明了立体幻方，这种幻方的特点为体对角上的数，用大数减去小数余数都为四。

而各面四个数相加为18 元代的华容道游戏：是元代之前的重排九宫游戏棋的发展，随着中国文化的传播传到西方，走向世界外国人在此基础上发明了15字棋。

在1939年，一位波兰数学家在他的著作《数学万花镜》提出了由他发明的组合魔方游戏。

这种游戏与魔方已经非常接近。

若我们用三个1，在考虑负号的情况下，有八个排列方式，这与魔方的八个角相对应。

而1.1.0三个数，考虑负号则有12中排列方式，这对应着魔方的12个边。

第二讲魔方的科学隐喻
什么是隐喻：不是语文科的修辞，而是一种思维模式。

它的主要特点是：跨学科跨领域。

借助魔方进行跨越性思维：在微观世界中，物质可以一步步分解为原子-原子核-质子-夸克。

目前认为夸克是最小物质单位。

在哲学上物质是无限可分的。

但在科学上，有一个方法的问题和能不能分开的问题。

这里再一次强调了“15子棋和魔方”的关系，也算是“从洛书到魔方演化”的一个补充论据。

1964年，美国科学家戴尔曼提出夸克模型：两个夸克组成一个介子，而
三个夸克组成一个重子。

该模型中有三种夸克：上夸克u带有2/3的正电荷下夸克d 带有1/3的负电荷奇异夸克s 带有1/3负电荷。

这三种夸克进行有重复的组合，有9种情况
Uuu uud uus udd uss uds ddd dds dss sss 戴尔曼因此获得1969物理学诺贝尔奖。

现在用夸克禁闭模型解释解释夸克不能单独存在的原因。

魔方和此模型存在关系：一个角扭动1/3圈后无法复位，而两个角就可以复位，三个也可以。

魔方和遗传基因密码：四种碱基A C G T 。

生物遗传信息中这四种碱基排列组成基因。

把四个元素拿出三个进行组合有20种情况，而自然界恰恰有20种氨基酸。

需要强调的是：“有重复的组合”与“有重复的排列”是严格的数学定义。

魔方和准晶体，正20面体有30条边，若每个顶点放一个原子，在中心放一个，就是准晶体模型。

足球黑色部分为五边形，白色为六边形。

五边形有12 个，六边形有20个
从数学对称性看足球结构与准晶体是一样的，经过变化可互相转换。

用魔方将将20面体每个顶点的坐标表示出来，其中一个正根为0.618为黄金分割法，数学上叫做斐波那契数。

魔方和循环：任何操作序列对处于原始态的魔方进行操作，必然还能回到原始状态
循环是宇宙间最基本的模式，比如太阳系各个行星的自传和公转，而魔方通过转动也能实现某种循环。

第三讲魔方的复位
循环是是宇宙间的基本状态，通过循环人们找到了魔方复位的方法。

魔方复位需要三种能力：记忆力，注意力，直觉力，通过复位魔方可培养着三种能力
老师在课堂上举了一个关于记忆力的例子。

圆周率π的3.1415926535897932384626433832795。

教授靠的是魔方的隐喻魔方复位
魔方复位时左右手分工，分别建立空间直角坐标系。

魔方坐标系不但强调魔方与坐标轴的关系，还强调坐标系原点在魔方的中心；方位坐标系只强调魔方与坐标轴的关系，而不关心坐标系原点的位置。

魔方的复位步骤：复位一个面
第一层角块运动
第二层：“牛郎织女来相会”
两边块块位：1对边关联角块2邻边关联角块
边块1.两两对边2两两相邻3三角形4四边翻转5相邻翻转6对边翻转
角块1两两对角2两两相邻3三角形4三角翻转5相邻翻转6对角翻转
发现魔方复位操作的可运算性：三角翻转1次+相邻=对角
三角翻转两次+相邻=相邻
第四讲魔方转动的数学描述
魔方的转动方程：
（h’k’l’）=T-1(h,k,l) 第一个方程描述魔方转动之后小块的位置变换
（i’,j’,k’）=T(i,j,k,) 第二个方程描述小块颜色取向的变换
在通常的复位公式中，用h k l 来表示魔方小块的位置，也叫块位。

用i j k 表示魔方小块的颜色取向，也叫色位。

h＇k’l’表示转动后的块位。

Ｔｘ表示ｘ轴转动９０度。

Tx的平方表示魔方沿X轴方向旋转１８０度。

Ｔy 和Ｔｚ则表示另外两个方向的转动。

如何描述描述魔方小块的颜色取向关系
小块的编码与色位的关系：魔方有８个角块，每个有特定的色位坐标
块位色位
ＲＹＭＲＹＭ
ＲＹＳＲＹＳ
ＧＹＭＧＹＭ
ＧＹＳＧＹＳ
ＧＢＭＧＢＭ
ＧＢＳＧＢＳ
ＲＢＭＲＢＭ
ＲＢＳＲＢＳ
人认为镜子中的自己没有变化是因为人是对称的
镜像处理举例：角块
第五讲数学模型和程序设计
本堂课从计算机程序设计角度讨论，在此只讨论一个框图，用数学语言来表示程序。

N阶魔方小块的总数=N3-(N-2)3
N为奇数时Hmax =（N-1）/2 Hmin =0
N为偶数时Hmax=N/2 min=1
以三阶魔方为例说明公式的用法，三阶魔方max=1 min=0 对 1 和0进行排列
组合为（111）（110）（100）带入得27-1=26。

说明该数学模型是自洽的
计算机程序框架
N→（h，k，l）根据阶数确定小块的方向指数 1
（i,j,k）镜像处理和右手化处理 2
Nx nkl ny J→hnl nz →hkn根据转层选择小块 3
（h’k’l’）=T-1（hkl）
(i’,j’,k’)=T(i,j,k) 4
结束语和展望：
1研究魔方需要的数学工具是群论
《魔方与数学建模》学习心得体会
数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。

这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。

不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。

数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。

建模应用数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。

数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。

经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。

培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。

这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。

这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。

我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。

数学模型一般是实际事物的一种数学简化。

它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。

要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。

为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。

使用数学语言描述的事物就称为数学模型。

有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。

建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。

魔方不仅是一个令千万人着迷的有趣玩具,同时也是能够展示许多群论该概念及相关性质的有力工具.如置换,作用,轨道,传递性,本原性,同态等诸多概念在魔方中的体现,如共轭和换位在复原魔方的过程中起到的化繁为简的作用. 共轭和互换子.
魔方复原是一个复杂的过程,因牵扯到大量的置换运算.如果没有策略乱转一通.很可能把魔方状态弄得更加混乱.
共轭在魔方复原中是一种常用的手段,如果把G把I变成J，则G的共轭G的H 次方则把H（I）变到了H(J).了解这一点对于魔方复原十分有用。

换位子在魔方复原中起到化繁为简的作用。

魔方的每次转动是由五个长度为四的不相交循环所合成的。

当复原魔方的时候，每转动一次,就有5*4=20个小面重新分布,使得无规律连续转动几次后的魔方状态十分混乱.人们总是希望在保留已经复原的那部分魔方的基础上,尽可能少改变魔方的状态,这样,换位子的重要性凸显了出来.
本来魔方的解决方法有很多种的，利用建模方法，就可以省我们的精力，我们就能很好的学习与研究魔方，让魔方的这种解决方法，一一展现在我们的面前。