第二章 矩阵及其运算 《工程数学线性代数》课件PPT
合集下载
线性代数 矩阵及其运算优秀PPT
排成的m行n列的数表
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
称m行n列矩阵，简称 m×n矩阵。记作
am1 am2 ... amn
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
am1 am2 ... amn3
由于方阵Ak、Am、E对乘法是可交换的，所
以矩阵A的多项式的乘法也是可交换的，即
f (A)g(A) g(A)f (A)
从而A的多项式可以象数x的多项式分解因式.
如： A2 3A 2E ( A 2E)( A E)
( A E)3 A3 3A2 3A E
22
5.矩阵的转置
定义2.6 A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所 得矩阵如果 A是一个 m×n 阶矩阵， AT 是一个 n×m 阶矩阵。
而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,…,ajs 正
好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元 素。故
( AB )T = AT BT
24
6. 对称矩阵与反对称矩阵
设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A，
即
aij = aji (i,j=1,2,…,n)，
32
§2.3 逆矩阵
1、可逆矩阵的定义（定义2.8）
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵, 或非奇异矩阵；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A－1 = B 。
2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
线性代数课件_第二章_矩阵及其运算——2
amn
称为A 矩 的 负 阵矩 . 阵
4 A A 0 , A B A B .
2019/11/12
课件
6
二、数与矩阵相乘
1、定义
数 与A 矩 的阵 乘 A 或 积 A ,规 记 定 作 为
a11 a12 a1n
2019/11/12
课件
31
运算性质
（设A, B 为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）: 1 A B A B ;
2AA ;
3A B AB .
2019/11/12
课件
32
五、小结
a31 a32 a33b3
b 1
=( a1b1 1a2b1 2a3b1 3 a1b2 1a2b22a3b23 a1b31a2b32a3b33） b 2
b 3
a 1 b 1 2 1 a 2 b 2 2 2 a 3 b 3 2 3 2 a 1 b 1 b 2 2 2 a 1 b 1 b 3 3 2 a 2 b 2 b 3 . 3
am2 bm2
a1nb1n a2nb2n amnbmn
2019/11/12
课件
4
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1 121 38 59 13 11 4 16 95 04 7 4 4 . 33 62 81 6 8 9
等. 如果 ATA则矩 A称 阵为反.对称的
2019/11/12
课件
27
例6 设列矩阵 X x 1 ,x 2 , ,x n T 满足 XTX1,
工程数学第二章矩阵课件
68 34
上页
下页
返回
结束
例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
上页
下页
返回
结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
上页
下页
返回
结束
矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2
线性代数 矩阵及其运算PPT精品文档67页
10
22
1 1
3
6
注意: 这里BA无意义.
例3 设矩阵
Aai1 ai2 ... ain ,
求AB和BA. 解
b1j
B
b.2..j
bnj
b1jai1 b1jai2 L b1jain
n
AB aikbkj k 1
,
BA
b2
jai1 M
bnjai1
b2 jai2 M
bnjai2
L O L
行数和列数相等的矩阵称为方阵. nn阶矩阵称为n阶
方阵. 和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也
两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
二、加法
设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij
=aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B.
即
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
（ ⅲ ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A( kB);
五 矩阵的转置
设矩阵A=(aij)m×n, 则矩阵B=(bij)n×m(其中bij =aji , i=1,2,…,n, j=1,2,…,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A, 即
a11 a12 ... a1n
A
a21
a22
...
a2n
解
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 3 31 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 3 3 3 ( ( ( 1 1 1 1 ) ) )1 1 1 ( ( ( 1 1 1 ) ) ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 0 0 0 A A A B B B 4 1 5 0 6 34 0 5 1 6 ( 1 )4 ( 1 ) 5 2 6 0
线性代数第2章 矩阵PPT课件
行矩阵(Row Matrix):
只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
列矩阵(Column Matrix):
a 1
只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
a n
暨大珠院
方阵(Square Matrix):
n 行数与列数都等于 的矩阵，称为 n阶方阵.也可记作 An .
排成m的 行n列的数表，
称为 m行n列矩. 阵 简m 称 n矩.阵
a11
记作A
a21
a12 a22
a1n a2n
暨大珠院
am1 am2 amn
简记为
Aa ijm n
或 Amn
实矩阵: 元素是实数;复矩阵:元素是复数.
规定:
Aa a 11
例如： 1 0 3 5 是一个 24
9 6 4 3
1
En
1
1 nn
暨大珠院
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，
其余元素全为零的矩阵。
k
kEn
k
k nn
暨大珠院
二. 矩阵的基本运算 1. 矩阵相等.
同型矩阵： 两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 设 矩 阵 A m n 与 B m n 是 同 型
33 62 81 6 8 9
暨大珠院
负矩阵：称- A 为矩阵 Aaij 的负矩阵。
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n
a 2n
aij
am1
am1
am
n
减法: A B A ( B )
线性代数21-22.ppt
第一节 矩阵的概念
一、矩阵的引入
1、某班级同学早餐情况
姓名 周星驰 张曼玉 陈水扁
馒头 4 0 4
包子 2 0 9
鸡蛋 2 0 8
稀饭 1 0 6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图
n p
b21
b12
b22
b1p
b2
p
B1
B2
B p
bn1 bn2 bnp
其中 Ai i 1,2,m 表示A的第i行，B j j 1,2, p表示B
的第j列，那么A与B的乘积AB是m p 一个矩阵C。
A1
A1B1 A1B2 A1B p
AB
A2
B1
Am
B2
... ka1n ... ka2n
... “k遍amn
乘”
kA=0
k=0 或 A=0
矩阵的加法与数乘称为矩阵的线性运算， 它满足下列运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数, 则：
(1) k(lA) = (kl) A;（结合律） (2) k(A + B) = kA + kB;(k + l)A = kA + lA. （分配律） (3) 1A = A; 0A = 0;
并且行列式的行数和列数是相等的。 2 而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和
列数可以不同.
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
2.两个矩阵 A aij 与B=bij 为同型矩阵,并
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
x
§2 矩阵的运算
例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1, a2 ,L , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
M
称为列矩阵(或列向量)
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
( )A A A (A B) A B
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
a31 a32 a33 a34
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j L aisbsj aikbkj k 1 (i 1, 2,L m; j 1, 2,L , n)
ym am1 x1 am2 x2 L amn xn .
表示一个从变量 x1 , x2 ,L , xn 到变量 y1, y2 ,L , ym 线性变换， 其中aij 为常数.
y1 a11 x1 a12 x2 L a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 L a2n xn , LLLLLLLLL
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物
数量可用数表表示为：
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
am1 am1 L
a1n
a2n
L
amn
a11
A
a21 L
a12 L a22 L LL
am1 am1 L
a1n
a2n
L
amn
简记为 A Amn (aij )mn (aij ) 这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
.
an
3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
0 0
O22
0
0
O14 0 0 0 0
1 0 L
4.
形如
0
L
2
L
L L
0
0L
0
0 L
的方阵称为对角阵．记作
n
A diag(1, 2 , , n )
1 0 L 0
0
1L
0
特别的，方阵
L
L
L
L
称为单位阵．记作
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
b11
b21
b3311 b4411
b12 b11
b22
b21
b3322 b4422
b3311 b4411
b12
b22
b3322 b4422
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
二、数与矩阵相乘
定义：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为
ym am1 x1 am2 x2 L amn xn .
LL
a11
A
a21
L
a12 L a22 L LL
am1 am1 L
a1n
a2n
L
amn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
例 线性变换
y1 x1 ,
y2 L
L
x2 , L
称为恒等变换.
yn xn
二、矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2,L , m排; j成的1, 2m,L行, nn) 列的数表
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
MM
M
am1 am2 L amn 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．
解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量
a11
a21
a12 a22
a13 a23
a1144 a2244
c11
c21
c12 c22
c13 c23
c14 c24
a31 a32 a33 a3344
始发地
B C
√ √
√ √
D
√
B C
D
其中√ 表示有 航班
A
B
CD
A
√√
B√
√
C√
√
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为：
a11 a21
矩阵加法的运算规律
a, b, c R
设 A、B、C 是同型矩阵
交 换 abba 律
A B B A
结 合 (a b) c a (b c) 律
(A B) C A (B C)
设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵．
显然 其 他
A ( A) 0, A B A (B)
0 0 0 0
例如
00Βιβλιοθήκη 0 00 00
0
0 0 0 0.
0 0 0 0
注意：不同型的零矩阵是不相等的.
四、矩阵与线性变换
n 个变量 关系式
x1 , x2 ,L , x与n m 个变量 y1 , y2 ,L , y之m 间的
y1 a11 x1 a12 x2 L a1n xn ,
y2 a21 x1 a22 x2 L a2n xn , LLLLLLLLL
例 2阶方阵
1 0
0
0
对应
例 2阶方阵
cos sin
sin
cos
y
x1 y1
x, 0.
0
投影变换
P(x, y)
P1( x1 , y1 )
x
对应
x1 y1
cos x sin x
sin cos
y, y.
y
P1( x1 , y1 )
以原点为中心逆时针
旋转 角的旋转变换
P(x, y)
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11 a21
b12 b22
a13 a23
2aa1111 2aa2121
aa1212b1b212 aa2222b2b222
aa122233aa1233
a31 a32 a33 a31 b32 a33 2aa3131 aa3232b3b232 a233a33
(i 1, 2, 3; j 1, 2)
可用矩阵表示为
a11
a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
b11 b21 b31 b41
b12 b22 b32 b42
c11 c21 c31
c12
c22
c32
一、矩阵与矩阵相乘
定义：设 A (ai，j )ms B， 那(bi么j )s规n 定矩阵 A 与矩阵 B 的乘 积是一个 m×n 矩阵 ，其中C (cij )
行列式
矩阵
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n