一类非线性微分方程极限环的不存在性

（ （ ） ｇ ） ｈ ， ）一ｈ ， ） ） ｙ ｙ ＋Ｙ （ ［ （ ０ （ Ｙ ］＞０ 。 注意 到 Ｐ＝（ ， ）∈Ｂ ， 而 式 （ ） 点 Ｐ ０ Ｋ。 。从 １过 （ ， ０ Ｋ ）的 负 半 轨 一（ Ｂ ， 因 为 Ｂ ＝ Ｐ） 。又
（ ）存 在 Ｗ＞０ 满 足 ０＜ｈ ，） ２ ， （ Ｙ ≤Ｗ对 （ ， Ｙ Ｒ 成立 ， ）∈ 。 并且 当 ∈［ ，］ ａ ｂ 时 （ ＜ 。 ） ０
记 Ｋ ＝ ｉ｛ Ｔ ） ２ （） ， ＝ ｉ ｍｎ ， ￣０ ， Ｇ ｂ ｝ ／ ２ ，
０＜ 并且 ｛ （ ｝ ＝ｍ ｘ｝ｇ ｘ Ｉ， ＜ ， 一 ） ， ａ ｊ（ ） ｝
Ｙ ）一
【 （ ）＝ ｒｏ
件 ， 用和 发展 了文 献 ［３ 中 的结果 。全文 均假 运 １］ 设各 函数都 连续 ， 满足初 值解 的存在 唯一性 ， 并且
满足下面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件 ：
ｘ（ ） （ ｇ ｘ ＞０ ｘ≠ ０ ） （） ２
（） ３
牧稿 日期 ：０ ９—１ ２ ． ２０ ｌ一 ８ 作者简介 ： 吕宝红（ ９ ８ ） 男 ， １７ 一 ， 山东德州人 ， 甲兵工程学院基 础部讲师 装
第３ ２卷
第 ３期
吕宝红 ， ： 等 一类非线性微分 方程 极限环的不存在性
一
３７ ９
由条件 （ ） ３ 司知初 值 问题 式 （ ） 在 唯 一 解 ３ 存
－ ，） ＋ Ｙ （ ［ （ ，） 一 ｈ ，） ≥ 厂 ｙｙ （ ｇ ） ｈ ｘ０ （ Ｙ］
一
Ｙ＝ （ 。下 面证 明 ， Ｙ ） 当 ＞０时 ， （ Ｙ ）＞Ｋ ， 曲 且
时 砂 ） Ｗ； （， ）＞
，
借助于 Ｈ ｍｌｎ ａ ｉｏ 系统 ， ｔ 利用 Ｍ ｌ ｉ ｖ ｅ ｎ ｏ 函数的零点 ｋ 与 闭轨的关 系构建 方程 闭轨不存 在 的条件 。
笔者 利用第 二种方 法研 究一类 非线性 微分 方程 ：
＋
．
厂 ） （ ， ｘ＋ｇ ） ， （ （ ）＝０
中 图分 类 号 ： １５ Ｏ ７ Ｄ Ｉ１ ．９ ３ｊｉ ｎ １０ １４ ．０ ００ ． １ Ｏ ：０ ３６ ／． ｓ．０７— ４ Ｘ ２ １ ．３０ ４ ｓ
１ 极限环不存在 的条件
在 常微 分方程 定 性 理 论 的研 究 中， 限环 的 极
为 了叙述方 便 ， 记
Ｇ ）＝ ｇ ｓ ｓＯ ｄ （ （） ， ） ｓ （
因此 人 们 开 始 寻 找 一 些 特 殊 类 型 的 方 程 ， 如 Ｌ６ ａｄ方程 ＋厂 ） ＋ｇ ） ＝０不存在 极 限 ｉｎｒ Ｉ ， （ （
２ 主 要结 果 和 证 明
给 出式 （ ） 存 在 极 限 环 的两 个充 分 条 件 ， １不 假 设式 （ ） １ 满足 下列条 件 ： （ ） 在 ａ＜ １存 ０＜ｂ （ ， （ ）∈Ｃ（ ［ ｙ ， ）ｑ ｙ Ｊ Ｒ） （ ） ＞（ ０ ≠０ ］ 得 在 ［ ，］×Ｒ上 满 足 ，）≤ ）使 ａｂ Ｙ
摘
要： 利用 Ｃ ｕｈ ａｃｙ问题解 的唯一性研究了一类非线性微分方程 ＝ｙ ＝一 （ Ｙ Ｙ （ ｈ ｘ Ｙ 极 限环 的 ， ， ，） —ｇ ） （ ，）
不存在性 ， 到了在奇点唯一 的情况下不存在极 限环 的充分条件 ， 得 所得结果可用于方程 ＋ （ ） ＋ｇ ｘ ， ， ｘ （ ）・ ｈ ｘ ０不存在非零周期解 的判别条件。 （ ，）＝ 关键词 ： 非线性微分方程 ； 限环 ；不存在 极
西（ （ ） ） Ｙ 。
环 的方法 ， 并取 得 了较 多 的研 究成 果 。其 基 本方 法有 ３种 ， 一种是 找到 方程 的一条 积分 曲线 ， 第 使 得这 条 曲线 的一 端趋 向无 穷 远 ， 另一 端 趋 向原 而 点， 然后 由解 的唯 一性得 出方 程没 有极 限环 Ｉ ； ９ 第二 种 是利 用 Ｆｌ ｐｖ变换 ， 得 该方 程 组 的轨 ｉｐｏ ｉ 使 线没 有对称 性 ， 而 没有 极 限环 ＿ 从 】 ； 三 种是 第
Ｊ ｎ２ １ ｕ ．０ ０
文章编号 ： ０ １ ７—１４ ２ １ ） ３－ ３ ６一 ３ ０ ４ Ｘ（０ ０ ０ ０ ９ ｏ
文 献 标 志 码 ： Ａ
一
类 非线 性微 分 方 程极 限环 的不存 在 性
吕宝 红 ， 品红 龙
（ 装甲兵工程学 院 基础部 ， 北京 １０ ７ ） ０ ０ ２
．
Ｇ ） （ ＝Ｇ（ ５ Ｋ ）＝ｍｎ Ｇ ０ ， （ ） 。 ｉ｛ （ ） Ｇ ６ ｝ 定 理 １ 如果 式 （ ） １ 除满 足 条 件 式 （ ） 上 ２和 述 条件 （ ） （ ） ， １ ， ２ 外 还满 足 ： （ ） （ ） 局 部 Ｌｐｃｅ ３ Ｙ 是 ｉｓｈｔ ， ｚ的 并且 当 Ｙ ， ≥Ｋ
或其 等价 系统 ：
Ｊ Ｙ
ｔ ＝一 ｒ
，
ｒ） １
（（ ４ ）
≤， 当 ≠ ６ 且 。 并
Ｙ Ｙ—ｇ ） （ Ｙ ） （ ｈ ，） 在奇点唯一的情况下不存在极限环的充分条
时 ，ｙ ｈ ｘ０ ｈ ｘＹ ］＞ 。 ｘ ［ （ ，）一 （ ，） ０ 则 式 （ ） 存在 极 限环 。 １不 证 明 ： 虑下述 初值 问题 考
存在性 和个 数 问题 一 直是 大 家关 注 的课 题 ， 近年 来关 于极 限环不 存 在 的条 件 的讨 论 ， 引起 了大 家 的注 意 ， 基 本 的 方 法 是 找 到 合 适 的 Ｄ ｌ 最 ｕａ ｃ函 数 ＿ 。但 在应 用 中 ， ｕａ １ ］ Ｄｌ ｃ函数 的选 取 十 分 困难 ，
第 ３ 卷 第３ ２ 期
２１年 ６ ００ 月
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武 汉 理 工 大 学 学 报 ・信 息 与 管 理 工 程 版
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ （ Ｆ Ｒ Ａ ＩＮ＆Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ Ｎ ＩＥ ＲＮ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＷ Ｔ Ｉ Ｏ Ｍ ＴＯ Ｎ Ａ Ａ Ｅ Ｅ ＴＥ ＧＮ Ｅ Ｉ Ｇ
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ３ １３ ．