柯西收敛准则充分性的两种证明法(老黄学高数第79讲)
用确界原理证明柯西收敛准则
用确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则，它是由法国数学家柯西所提出的。
它的表述是：如果数列 ${a_n}$ 满足对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|a_n-a_m|<varepsilon$，则称数列 ${a_n}$ 是柯西收敛的，或者称其为基本收敛的。
柯西收敛准则是收敛概念的一种等价表述，其证明可以通过极限的定义或确界原理等多种方式进行。
本文将以确界原理为基础，详细阐述柯西收敛准则的证明过程。
二、确界原理在证明柯西收敛准则之前，我们先来介绍一下确界原理。
确界原理是数学分析中的一个基本原理，它是指：非空有上界的实数集合必有上确界，非空有下界的实数集合必有下确界。
具体来说，如果实数集合 $S$ 非空且有上界，则存在一个实数$M$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xleq M$；这个实数 $M$ 被称为 $S$ 的上确界。
类似地，如果实数集合 $S$ 非空且有下界，则存在一个实数 $m$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xgeq m$；这个实数 $m$ 被称为 $S$ 的下确界。
在数学证明中，确界原理常常被用来证明一些重要定理，例如最大值定理、中值定理等。
三、柯西收敛准则的证明在进行柯西收敛准则的证明之前，我们先来说明一个引理：引理1：若数列 ${a_n}$ 满足对于任意 $nin mathbb{N}$，都有 $a_nleq a_{n+1}$，则 ${a_n}$ 收敛当且仅当 ${a_n}$ 有上界。
证明：设 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-a|<varepsilon$。
因为 $a_nleq a_{n+1}$，所以 $a_Nleqa_{N+1}leq cdots leq a_nleq a$。
柯西收敛准则充分性的两种证明法(老黄学高数第79讲)
证明：数列{an}收敛，43;1= (an+ )两边令n→∞取极限得A=
，
解得A=± ；由保号性定理知，A= an= .
由迫敛性定理知， {an}收敛.
设a>0, σ>0, a1= (a+ ), an+1= (an+ ), n=1,2,…
证明：数列{an}收敛，且其极限为 .
证：an+1= (an+ )=
≥ ; {an}有下界；
an+1= (an+ )= 由单调有界定理可知{an} 收敛.
≤an;{an}递减；
设a>0, σ>0, a1= (a+ ), an+1= (an+ ), n=1,2,…
∴{an}收敛于η.
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[充分性]已证{an}有界. (2)令xn=sup{an+p|p=1,2,…}， yn=inf{an+p|p=1,2,…}， 则xn单调减且有界，yn单调增且有界.
由单调有界定理知{xn}, {yn}收敛，设极限分别为a,b. 又yn≤an≤xn, n=1,2,…且当n>N时有，xn-yn<ε. ∴a-b≤ε，由ε的任意性，有a=b.
则{ank}单调有界，∴收敛，设收敛于η，因此
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. ∀ε>0, ∃K,使得当nk>K时, 有|ank-η|<ε/2， 又∃N, 使得当n,m>N时，有|an-am|<ε/2.
柯西收敛原理
柯西收敛原理
柯西收敛原理是数学分析中一个重要的收敛准则。
它描述了一个数列收敛的条件，即当数列中的每一项都趋近于无穷小的时候，这个数列就收敛。
具体地说，对于一个实数数列{an}，如果对于任意一个正实数ε，存在一个正整数N，当n>N时，有|an - a| < ε，其中a是柯
西收敛的极限值，那么这个数列就是柯西收敛的。
柯西收敛原理假设一个数列中的每一项都趋近于极限值，从而推出整个数列的收敛性。
它进一步扩展了数列收敛的判断条件，使得我们能够更加准确地判断一个数列的收敛性。
柯西收敛原理具有很高的实用性和广泛的应用领域。
在实际问题中，我们常常需要判断一个数列是否收敛，从而确定其极限值。
柯西收敛原理提供了一种可行的方法，通过数列中每一项的趋近性来判断其收敛性，并计算其极限值。
总之，柯西收敛原理是数学分析中的一个重要原理，它描述了数列收敛的条件，并提供了判断数列收敛性和计算极限值的方法。
通过该原理，我们能够更加准确地确定一个数列的收敛性，并推导出其极限值。
用柯西收敛准则证明数列收敛
用柯西收敛准则证明数列收敛1. 引言：数列收敛的魅力大家好，今天咱们来聊聊数列收敛这个话题，听上去有点高深，但其实它就像是一个老朋友，陪伴我们在数学的世界中游历。
想象一下，数列就像是一列火车，每一个车厢都是一个数。
当这列火车在轨道上稳定前进时，我们就说这个数列是收敛的。
而如果火车摇摇晃晃，东倒西歪，那就可能是发散了。
那么，怎么知道它究竟收敛没收敛呢？这里就不得不提到柯西收敛准则了。
今天就来给大家普及一下这个准则，让我们一起揭开这个神秘面纱吧！2. 柯西收敛准则的背景2.1 什么是柯西收敛准则？先给大家科普一下，柯西收敛准则是由一个叫做柯西的大哥提出来的，听起来是不是特别牛？这位大哥说，数列收敛的一个重要特征是：对于任意的小的正数 (epsilon)，总能找到一个足够大的自然数 (N)，使得对于所有的 (m, n > N)，都有 (|a_m a_n| < epsilon)。
这句话翻译成通俗话，就是说：如果数列收敛的话，那么它的后面那一大堆数字就得互相靠得很近，像是一群小伙伴在一起团结一致，互相抱团取暖。
2.2 为啥柯西收敛准则重要？那么，柯西大哥这条准则为什么如此重要呢？简单来说，它不需要知道数列的极限值是什么，只要能验证数列的“靠近度”，就能判断收敛性。
就像我们在生活中，朋友之间的关系，也不一定非要天天见面，只要彼此心灵相通，关系就会越来越紧密，对吧？所以，柯西收敛准则就像是为我们提供了一种新思路，解决了不少麻烦事儿。
3. 用柯西收敛准则证明数列收敛3.1 实际例子为了更直观地理解，我们可以用一个简单的数列来举个例子，假设我们有一个数列((a_n))，其中 (a_n = frac{1{n)。
大家一看就知道，随着 (n) 的增大，这个数列的值越来越小，最终会接近零。
我们想要证明它收敛，就得拿出柯西准则来过过招。
首先，我们得设定一个小小的 (epsilon)，比如说 (epsilon = 0.01)。
柯西收敛准则充分性的两种证明法
柯西收敛准则充分性的两种证明法
一、证明法一：有界性
该方法是以有界性的条件来证明收敛准则，即对应的序列可以取到一
些有限正值。
换句话，就是证明该序列的每一项都可以取到一些有限正值，从而证明序列收敛，而非指数级增长。
假设有序列$\{a_{n}\}$，假定$\forall n>N_{0}$，$a_{n}\ge 0$，
且有$M=\max \{a_{n}\}$，则根据有界定理，该序列收敛，将
$M+\epsilon$取为上界，即可使序列全部取到一些有限正值，必然可以收敛。
二、证明法二：相等定理
该方法是以相等定理来证明收敛准则，此方法要求序列
$\{a_{n}\}$必须满足，$\forall n\ge N_{0}$：$a_{n+1}\le a_{n}$，
即序列必须是下降的，当$a_{n}=a_{n-1}$时，由相等定理可知，
$a_{n}$以后的值都等于此值，即$\forall a_{n}\ge N_{0}$，$a_{n}=a$，该序列收敛。
比较两种证明方法，可见有界性证明法要求序列中每项可以取到一些
有限正值，而相等定理证明法则要求序列必须是下降的，当$a_{n}=a_{n-1}$时可以收敛，明显两种方法都较为宽松，此两种证明方法都可以证明
柯西收敛准则的充分性。
柯西收敛准则
1
a
例5
a
0,
x1
0.
xn1
2
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
西 南 科
xn1
3
xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
xn21
lim(3 n
xn ),
技
大 学 品 牌
A2 3 A, 解得 A 1 13 ,
2
A 1 13 2
(舍去)
ห้องสมุดไป่ตู้
课
程
1 13
lim n
0, N 0,当n N时, 对p N有 an p an
西 南 科 技 大 学 品 牌 课 程
•定理2.10 的几何解释
柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼
此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对
值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛
数列的各项越到后面越是挤在一起.
又
an
1
1 22
1 n2
收敛．
西
南
科
技
大 学
所以
有上界，
品
牌
课 程
于是由单调有界定理知
收敛．
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
列。递增和递减数列统称为单调数列．
即： an n, an an1;
数项级数的柯西收敛原理
数项级数的柯西收敛原理
柯西收敛原理是数项级数收敛的重要原理之一，它同样适用于无穷级数的收敛判断。
柯西收敛原理的表述如下：
若数列${a_n}$满足对于任意正整数$k$，都存在正整数$N_k$，使得当$n,m>N_k$时，有
$$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+k}|<\varepsilon_k,$$其中
$\varepsilon_k$是任意小的正数，则数列${a_n}$收敛。
该定理的直观解释是，如果对于任意大小的区间，级数中加和的结果都可以被控制在一定的差距范围内，则这个级数收敛。
注意到这里的柯西收敛原理仅能用于数项级数，而无法用于一般的函数级数。
对于一般的函数级数，还需要考虑一些其他的因素，比如单调性等。
柯西收敛准则与绝对收敛的判定
柯西收敛准则与绝对收敛的判定在数学分析中，收敛是一个十分重要的概念。
在讨论数列（或者函数）的极限值时，我们经常需要考虑该数列是否收敛，以及如何判断其收敛性。
在这个过程中，柯西收敛准则和绝对收敛是两个关键的概念。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是收敛性的一个基本准则。
它告诉我们，如果一个数列满足满足“任意小的正数都存在一个正整数N，使得当n,m>N时有|an-am|<ε”，那么这个数列就收敛。
这个定义可能有些抽象，我们可以通过一个例子来解释。
假设有一个数列an=1/1+1/2+…+1/n，我们要证明该数列收敛。
我们任取一个小数ε，不妨设ε=0.001。
现在我们要证明存在一个正整数N，当n,m>N时，有|an-am|<0.001。
具体地，我们可以这样做：首先，由于an是一个递增数列，所以我们取n>m，不妨设n=m+k（其中k是一个正整数）。
于是我们有：|an-am|=|(1/1+1/2+…+1/n)-(1/1+1/2+…+1/m)|=|1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/n|<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)下面我们用一个定理来证明这个式子小于0.001。
定理：对于任意一个正整数m，有1/2+1/3+…+1/m<=lnm证明：我们考虑一个递增的几何级数：1/2, 1/2^2, 1/2^3,…。
显然，该级数的和是1，即：1/2+1/2^2+1/2^3+…=1我们将每一项分别乘以2，得到：1+1/2+1/2^2+1/2^3+…=2令x=1/2，则上式为：1+x+x^2+x^3+…=2由于x<1，所以该级数在一般意义下收敛。
因此，我们可以对上式两边取极限，得到：1/(1-x)=2即：x=1/2因此，我们可以得到：1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/3+1/4+1/5+…<=1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/4+1/5+1/6+…<=1/3+1/4+1/5+…<=1/2……1/m+1/m+1/m+…<=ln(m-1)于是我们有：1/2+1/3+…+1/m<=lnm由此可得：1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<= 1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/m-1/(m+k)<=ln(m)-ln(m-k)接下来，我们再来证明一个常用的不等式：lnn>=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…+((-1)^(n-1))*(1/n)证明：由于lnx=∑((-1)^(k-1))*(x-1)^k/k因此，ln(1+x)=x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4+…取x=1/2，得到：ln(3/2)=1/2-1/8+1/24-1/64+…因此，ln3>=2*(ln(3/2)+1/8+1/24+1/64+…)这是一个调和级数，可以证明级数收敛，因此这个式子有一个上界。
无穷级数的柯西收敛准则
无穷级数的柯西收敛准则无穷级数是高等数学中一个重要的概念，它指的是无限个数的和，可以分为收敛和发散两种情况。
对于无穷级数的收敛，有很多判别法，而柯西收敛准则是其中一种重要的方法，本文将对此进行详细介绍。
一、柯西收敛准则的概念柯西收敛准则是由19世纪的法国数学家柯西提出的。
在介绍这个概念之前，我们需要先了解一下柯西序列的概念。
柯西序列是指在实数或复数集合中，满足任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n，m大于等于N时，它们的差的绝对值小于ε，即|an - am| < ε。
那么，对于无穷级数来说，如果它的部分和(an + ... + ak)是一个柯西序列，那么这个无穷级数是收敛的。
具体来讲，对于一个无穷级数∑an，如果对于任意的ε > 0，都存在一个正整数N，使得当n > m > N时，它们的部分和之差的绝对值小于ε，即|∑an - ∑am| < ε，则这个无穷级数是收敛的。
这个条件也被称为柯西收敛准则。
二、柯西收敛准则的证明柯西收敛准则的证明可以分为两步。
第一步是证明如果一个无穷级数收敛，则其部分和构成的序列是柯西序列。
第二步是证明如果一个无穷级数的部分和构成的序列是柯西序列，则这个无穷级数收敛。
对于第一步，可以采用分离法和三角不等式共同完成。
分离法是指首先分离出前几项的有限和，将其余项看成一个整体，用三角不等式将其估计，最终得出一个有限的上界。
对于无穷级数∑an来说，假设它的部分和为Sn，则|Sn - Sm| = |an+1 + an+2 + ... + am|≤ |an+1| + |an+2| + ... + |am|根据无穷级数的定义可知，∑an是收敛的，即它的部分和有一个上界M，即|an+1| + |an+2| + ... + |am| ≤ M。
因此，|Sn - Sm| ≤ M，即Sn构成柯西序列。
对于第二步，可以采用反证法和取极限的方法完成。
假设一个无穷级数的部分和构成的序列是柯西序列，但这个无穷级数发散。
柯西收敛准则的3种不同证法
柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则证明：必要性:易知，当{ an }有极限时(设极限为a)，{ an}一定是一个柯西数列。
因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。
使得当n ，m>N时，有| an-a|< ε， | am-a|<ε∴| an - am|≤| a n -a|+| a m -a|<ε，即{ a n }是一个柯西数列。
充分性:先证明柯西数列{ an }是有界的。
不妨取ε=1，因{ an}是柯西数列，所以存在某个正整数N0，当n > N时有| an–aNo+1|<1，亦即当n ，N> N时| an|≤| a No+1 |+1即{ a n }有界。
不妨设{ a n }⊂[a ，b]，即a≤a n≤b，我们可用如下方法取得{ an }的一个单调子列{ ank}：(1)取{ ank}⊂{ a n }使[a，a nk ]或[a nk，b]中含有无穷多的{ a n }的项；(2)在[a，ank ]或[ank，b]中取得ank+1∈{ an}且满足条件(1)并使nk+1>nk；(3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。
由数列{ an }的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ ank}⊂{ a n}且{ ank }是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{ an}收敛于a。
因为limn→∞ank=a,则对ε>0，正整数K，当k >K时| ank-a|<2ε。
另一方面由于{ ank }是柯西数列，所以存在正整数N，使得当n ，m>N时有| an– am|<2ε，取n0=max(k+1，N+1)，有n0≥n N+1>N以及 > k+1 >k。
所以当n >N时| a n-a|≤| a n– am |+| am-a|<ε。
∴{ an}收敛于a。
方法二:用定理3证明柯西收敛准证证明：必要性显然。
极限的柯西收敛准则
极限的柯西收敛准则一、极限的柯西收敛准则是啥呢？极限的柯西收敛准则就像是一个超级厉害的工具，用来判断一个数列是不是收敛的。
你想啊，就好比一群小蚂蚁在排队走，如果它们最后都能聚集到一个点附近，那这个数列就是收敛的，柯西收敛准则就是来看看这群小蚂蚁有没有这种趋势的。
它说的是，对于一个数列｛an｝，如果对于任意给定的正数ε（这个ε就像是一个超级小的尺子，可以想象成那种特别特别小的毫米级别的尺子），存在正整数N，使得当m，n都大于N的时候，am - an < ε。
这就好比说，当队伍排到足够远的时候，任意两只蚂蚁之间的距离都超级小。
二、怎么理解这个准则呢？你可以把数列想象成一场长跑比赛。
刚开始的时候，选手们（也就是数列里的数）可能跑得乱七八糟的，距离拉得很开。
但是随着比赛的进行（也就是n越来越大），如果到了某个点之后（这个点就是N），所有选手之间的距离都变得很小很小，那这个比赛（数列）就是有个确定的终点（收敛）的。
要是不满足这个准则呢，就好像选手们一直乱跑，距离怎么也拉不近，那这个数列就不收敛啦。
三、柯西收敛准则的重要性这个准则超级重要呢！它就像是数列收敛这个大王国里的一把钥匙。
在很多数学证明里，如果要证明一个数列收敛，柯西收敛准则就可以派上大用场。
比如说在研究一些复杂的函数序列或者级数的时候，通过这个准则就能快速判断它有没有收敛的可能。
它让我们不用先猜出这个数列收敛到哪个具体的值，只要看后面的数之间的距离就好啦，是不是很神奇呢？就像我们不用知道小蚂蚁要聚集到哪里，只要看它们之间的距离在后面变得很小就知道它们会聚集到一起了。
四、一些例子1. 比如数列an = 1 / n。
我们来看看它是不是满足柯西收敛准则。
对于任意的ε>0，我们来找这个N。
假设m，n>N，那么 am - an = 1/m - 1/n 。
因为m，n都很大的时候，1/m和1/n都超级小，只要我们让N 足够大，就可以保证 1/m - 1/n <ε。
柯西审敛原理
柯西审敛原理
这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是:对于任
意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间
的距离小于ε。
注意：柯西收敛原理标明，由实数构成的基本数列一定存在实数极限，这个性质被称为是实数系的完备性。
但是要注意有理数集不具备完备性。
扩展资料
柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收
敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：
（1）数列
（2）数项级数
（3）函数
（4）反常积分
（5）函数列和函数项级数
每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进
行说明。
一致收敛的柯西准则
一致收敛的柯西准则一、一致收敛的柯西准则是什么呢？哎呀，宝子们，这个一致收敛的柯西准则呀，就像是一个很严格的小管家一样呢。
简单来说呢，它是用来判断函数序列是不是一致收敛的一个超棒的工具哦。
如果对于任意给定的一个超级小的正数，就叫它ε吧，存在一个正整数N，只要n和m都比这个N大，那么对于定义域里的所有x，函数序列的第n项和第m项的差的绝对值都小于这个ε，那这个函数序列就是一致收敛的啦。
比如说，我们有一个函数序列fn(x)，按照这个准则，如果对于任何的x在它的定义域里，不管这个x是啥，只要n和m足够大， fn(x) - fm(x) 就会变得超级小，小到比那个ε还小呢。
这就好像是一群小蚂蚁，只要队伍排得足够长（n和m足够大），每两只蚂蚁之间的距离（函数值的差）就会变得特别小。
二、它在数学里的重要性宝子们，这个一致收敛的柯西准则可重要啦。
它就像是数学大厦里的一块超级重要的基石呢。
在分析学里呀，它给我们提供了一种很方便的方法去判断函数序列的收敛性质。
如果没有它的话，我们要判断函数序列是不是一致收敛可就麻烦死啦。
就像在黑暗里摸瞎一样，不知道从哪里下手。
有了这个准则呢，我们就像是有了一个小灯笼，能够照亮我们在函数序列这个神秘小世界里探索的道路呢。
而且呀，在很多数学证明里，它都是一个必不可少的小助手哦。
比如说在证明一些关于函数级数的性质的时候，它就会大显身手，让那些原本看起来很复杂很头疼的证明变得有条有理，就像把一团乱麻给梳理得整整齐齐的一样。
三、一些例子来帮助理解1. 咱们来看一个简单的例子吧。
假设有一个函数序列fn(x) = x / n，这里x是属于实数集的哦。
那我们来看看它是不是一致收敛的呢。
根据柯西准则呢，我们取任意的ε > 0，然后找那个正整数N。
对于任何的n 和m都大于N，还有对于所有的x，我们来看看 fn(x) - fm(x) 。
fn(x) - fm(x) = x / n - x / m = x 1 / n - 1 / m 。
柯西收敛准则的3种不同证法
柯西收敛准则的3种不同证法柯西收敛准则是数学分析中用来判断无穷数列的收敛性的重要方法之一、柯西收敛准则指出，对于一个数列{an}来说，当对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，an - am，< ε成立，则该数列为柯西收敛数列。
证法一：基于序列收敛的定义根据数列收敛的定义，可以设该数列的极限为L，即lim(n->∞) an =L。
首先给定任意正数ε>0，由数列极限的定义，存在正整数N1，使得当n>N1时，有，an - L，< ε/2成立。
然后，由数列的极限定义，存在正整数N2，使得当m>N2时，有，am - L，< ε/2成立。
取N=max{N1, N2}，对于任意的n,m>N，根据三角不等式，有，an - am，≤ ，an - L， + ，am - L，< ε/2 + ε/2 = ε。
因此，数列{an}满足柯西收敛准则。
证法二：基于Cauchy-Schwarz不等式假设数列{an}满足柯西收敛准则。
给定任意正数ε>0，根据柯西收敛准则，存在正整数N，使得当n,m>N时，有，an - am，< ε。
根据Cauchy-Schwarz不等式，有，an - am，^2 ≤ (，an，^2 + ，am，^2)。
因此，有，an - am，< ε等价于，an - am，^2 < ε^2而，an - am，^2 = (an - am)^2 = an^2 - 2anam + am^2因此，有an^2 - 2anam + am^2 < ε^2整理得到an^2 + 2anam + am^2 < ε^2 + 4anam。
由于n,m>N，可令M=max{an, am}，则有an^2 + 2anam + am^2 <ε^2 + 4MN。
因此，当ε^2+4MN>0时，选择正整数N使得ε^2+4MN<ε^2/2得到N。
幂级数收敛的柯西判别法
幂级数收敛的柯西判别法
柯西判别法是判断幂级数收敛的一种方法。
设幂级数为∑(a_n*x^n)。
柯西判别法的判别条件如下：
1.计算极限lim┬(n→∞)〖(|a_n|/|a_(n+1)|) 〗或lim┬(n→∞)〖√[n]{|a_n|} 〗。
2.如果该极限存在且小于1，则幂级数在区间收敛。
3.如果该极限存在且大于1，则幂级数在区间发散。
4.如果该极限等于1，则判别不出结果，需要进一步使用其他方法。
需要注意的是，柯西判别法判断的是幂级数在区间的收敛性，而不是收敛到具体的函数值。
所以如果柯西判别法得出幂级数在某个区间收敛，仍需进一步讨论边界点处的收敛性。
柯西准则
2n+ + 1
2n+p +..+
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性13
1 (1 1 )
2n 2p = . . 1
2n <
ε >0, N ε1 ,
=.. ..
. .
1 . <n
对任意取当n > N时, 对任意正整数
p, 有
. n p n x x ε + . <
→+∞
= .
总有
1 2 当x , x > X时，
0
lim ( )
x x
f x A
→
= .
总有
1 0 当0 < x . x <δ ,
2 0 0 < x . x <δ时，
0
lim ( )
x x
f x A
→
= .
总有
1 0 当0 < x . x <δ ,
n p n x x + . 1 2
1 2
2 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
n n n p
n n n p
+ + +
= + + + +..+ +
1
1
2n+ ≤ ( ) 1 2 1
1 1 1 1 1
2n+ 2 2 2p. 2 = + + +..+
故数列{ } n x 收敛.
3
例4 若xn+1.xn <cn, 且sn=c1+c2+..+cn,
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记1.柯西(Cauchy)积分判别法认为：如果正项级数以n→∞收敛，则其和sum(sn)=lim(n→∞)得到的结果为它的积分sum(Sn).2.证明柯西(Cauchy)积分判别法：首先，用反证法：假设正项级数Sn不收敛，那么lim(n→∞)Sn != sum(Sn).其次，我们假设正项级数Sn一定会收敛，此时我们可以证明lim(n→∞)Sn=sum(Sn)。
首先，我们用数学归纳法证明：令n=1，令M是该正项级数的极限，如果S1<M，则总和sum(Sn)<M；如果S1=M，则总和sum(Sn)=M。
其次，我们用数学归纳法证明：令N>1，令S1,S2,...,Sn-1<M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M；如果S1,S2,...,Sn-1=M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M。
最后，综上所述，无论Sn怎么变化，sum(Sn)的最终结果都小于极限M，因而满足总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn。
由此可知，如果正项级数Sn收敛，那么总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn，从而证明了柯西(Cauchy)积分判别法。
综上所述，柯西(Cauchy)积分判别法是完备的，即如果正项级数Sn收敛，则sum(Sn) = lim(n→∞)Sn; 如果正项级数Sn不收敛，则sum(Sn) !=lim(n→∞)Sn。
因此，柯西(Cauchy)积分判别法可以有效地确定积分是否收敛。
如果有多个级数收敛，那么我们可以将多个级数收敛表示成一个函数f(x)，将f(x)在正项级数收敛的区间[a,b]上进行积分，即sum(Sn)=∫f(x)dx；由柯西(Cauchy)积分判别法可知，积分的值sum(Sn)等于极限lim(n→∞)Sn；因此，我们可以用柯西(Cauchy)积分判别法来确定多个级数收敛的总和。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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设a>0, σ>0, a1= (a+ ), an+1= (an+ ), n=1,2,…
证明：数列{an}收敛，且其极限为 .
证：an+1= (an+ )=
≥ ; {an}有下界；
an+1= (an+ )= 由单调有界定理可知{an} 收敛.
≤an;{an}递减；
设a>0, σ>0, a1= (a+ ), an+1= (an+ ), n=1,2,…
则{ank}单调有界，∴收敛，设收敛于η，因此
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. ∀ε>0, ∃K,使得当nk>K时, 有|ank-η|<ε/2， 又∃N, 使得当n,m>N时，有|an-am|<ε/2.
取n0=max(K+1, N+1)，则有n, n0>N且n0>K. ∴|an-η|≤|an-an0|+|an0-η|<ε.
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[充分性]已证{an}有界. (1)可设a<an<b (或a≤an≤b)， 如下取得单调子列{ank}： i. 使[a,ank]或[ank,b]中含有{an} 的无穷多项； ii. 在[a,ank]或[ank,b]中取得ank+1∈ {an} 且满足i； iii. 取项时方向一致，即由a→b或由b→a.
证明：数列{an}收敛，且其极限为 .
设 an=A.
对an+1= (an+ )两边令n→∞取极限得A=
，
解得A=± ；由保号性定理知，A= an= .
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老黄学高数
第79讲 柯西收敛准则
充分性的两种证明法
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：必要性易证！
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[充分性]取ε0=1，则∃N0，使当n>N0时，有 |an-aN0+1|<1，即|an|<|aN0+1|+1，∴{an}有界.
∴{an}收敛于η.
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[充分性]已证{an}有界. (2)令xn=sup{an+p|p=1,2,…}， yn=inf{an+p|p=1,2,…}， 则xn单调减且有界，yn单调增且有界.
由单调有界定理知{xn}, {yn}收敛，设极限分别为a,b. 又yn≤an≤xn, n=1,2,…且当n>N时有，xn-yn<ε. ∴a-b≤ε，由ε的任意性，有a=b.