集合论
数学中的集合论研究
数学中的集合论研究数学一直以来都是一门具有严密性和抽象性的学科，而其中集合论则是数学中的一个重要分支。
集合论是研究集合的性质、关系和运算的学科，既具有理论的基础性，也具备广泛的应用领域。
本文将介绍集合论的基本概念、运算规则及其在数学中的应用。
一、集合论的基本概念集合是集合论中的基本概念，可以理解为具有某种共同特性的事物组成的整体。
集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示，并用花括号 {} 表示。
例如，集合 A 可以表示为 A = {a, b, c}，表示 A包含了元素 a、b 和 c。
在集合论中，还有一些基本的概念需要介绍：1. 子集：集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素时，称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B。
2. 包含关系：如果 A 是 B 的子集，并且 B 也是 A 的子集，则 A 和B 相等，记作 A = B。
3. 并集：两个集合 A 和 B 的并集是包含 A 和 B 中所有元素的集合，表示为 A ∪ B。
4. 交集：两个集合 A 和 B 的交集是同时属于 A 和 B 的元素组成的集合，表示为A ∩ B。
5. 差集：集合 A 中去掉属于集合 B 的元素后，得到的新集合称为A 减去 B，表示为 A - B。
二、集合论的运算规则集合论中的运算规则包括交换律、结合律、分配律等，这些规则体现了集合运算的性质和特点。
1. 交换律：对于任意两个集合 A 和 B，交集和并集满足交换律，即A ∩B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足结合律，即(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)。
3. 分配律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足分配律，即A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)。
高一数学知识点集合论
高一数学知识点集合论集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是元素的集合以及它们之间的关系和运算。
在高中数学中，我们将会接触到一些基础的集合概念和运算规则。
本文将系统地介绍高一数学中的集合论知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、集合与元素在集合论中，集合是由一些特定元素组成的整体。
一个集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合A = {1, 2, 3}表示由元素1、2和3组成的集合A。
集合可以用描述法表示，即通过给出元素的特定性质来确定集合的成员。
例如，描述集合B = {x | x是正整数，且x < 5}，表示集合B由小于5的正整数组成。
二、集合的运算1. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含两个集合中所有元素的集合。
即A∪B = {x | x ∈ A或x ∈ B}。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。
2. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是同时属于两个集合的所有元素组成的集合。
即A∩B = {x | x ∈ A且x ∈ B}。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。
3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
即A-B = {x | x ∈ A 且x ∉ B}。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。
4. 互斥事件：在概率论中，给定两个事件A和B，如果它们的交集为空集（即A∩B = ∅），则称这两个事件是互斥事件。
三、集合的性质1. 子集：给定两个集合A和B，如果集合A的所有元素都属于集合B，即A中的每个元素都在B中出现，则称集合A是集合B的子集（记作A⊆B）。
例如，如果A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，则A⊆B。
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
它起源于19世纪末的数学基础危机中，由德国数学家乔治·康托尔创立。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括康托尔的贡献、集合论公理化、集合论的扩展以及应用领域。
2. 康托尔的贡献乔治·康托尔是集合论的奠基人，他首次提出了集合的概念，并研究了无穷集合的性质。
他首先定义了集合的基本概念，即由一些确定的对象组成的整体。
康托尔还引入了集合的基数概念，用来比较集合的大小。
他证明了有些无穷集合的基数比自然数集合的基数还大，从而引发了数学界的震动。
3. 集合论公理化为了确立集合论的严密性，数学家们开始努力将集合论公理化。
在20世纪初，数学家弗雷格和罗素分别提出了集合论的公理系统，但后来发现存在悖论，即罗素悖论。
这一悖论揭示了集合论的一些困难，迫使数学家们重新审视集合论的基础。
在此基础上，数学家祖尔菲提出了集合论的公理化方法，他通过限制集合的构造方式，避免了悖论的产生。
他的公理化系统成为了后来集合论的基础。
此后，数学家们不断完善集合论的公理系统，确立了集合论的严密性和可靠性。
4. 集合论的扩展随着集合论的发展，数学家们开始研究更为复杂的集合结构。
例如，康托尔研究了连续统假设，即不存在介于可数集合和实数集合之间的集合。
此外，数学家还研究了集合的运算、拓扑学中的集合论、模型论中的集合论等等。
5. 集合论的应用领域集合论在数学中有广泛的应用，同时也渗透到其他学科领域。
在数学中，集合论被用于数理逻辑、代数、拓扑学、数论等各个分支中。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于算法设计、数据库理论、人工智能等领域。
在物理学、经济学和社会科学中，集合论被用于建立数学模型和分析问题。
6. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了从康托尔的奠基到公理化的发展过程。
通过严密的公理化系统，集合论的基础得以确立。
随着集合论的发展，它在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。
集合论的相关资料
集合论的相关资料集合论是数学中的一个重要分支，研究集合及其之间的关系和性质。
它在数学中有着广泛的应用，也是构建数学基础的基石之一。
本文将介绍集合论的基本概念、运算和定理，以及一些应用领域。
我们来了解一下集合的基本概念。
集合是由确定的元素所组成的整体。
元素可以是任意事物，可以是数字、字母、词语、人、动物等等。
集合用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
例如，{1, 2, 3, 4, 5}就是一个集合，表示包含了数字1、2、3、4、5这五个元素。
集合之间的关系和运算是集合论的重要内容。
常见的集合关系有包含关系和相等关系。
如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B 的元素，那么称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
如果集合A既包含于集合B，又不等于集合B，那么称A为B的真子集，记作A⊂B。
如果两个集合A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A，那么称A等于B，记作A=B。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起的操作，用符号∪表示。
交集是指两个或多个集合中共同元素的集合，用符号∩表示。
差集是指从一个集合中减去另一个集合中的元素得到的集合，用符号-表示。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素的集合，用符号′表示。
集合论中还有一些重要的定理，如德摩根定律、包含-等于原则、幂集定理等。
德摩根定律是指对于任意两个集合A和B，有(A∪B)′=A′∩B′和(A∩B)′=A′∪B′。
包含-等于原则是指对于任意两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，则A=B。
幂集定理是指对于任意一个集合A，它的幂集是指包含A的所有子集的集合，记作P(A)。
根据幂集定理，如果一个集合A有n个元素，那么它的幂集有2^n个元素。
集合论在数学中有着广泛的应用。
在数学分析中，集合论被用于描述实数集、函数集等。
在代数学中，集合论被用于定义群、环、域等代数结构。
在概率论和统计学中，集合论被用于定义事件、样本空间等概念。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
自从19世纪末由德国数学家Georg Cantor创立以来，集合论经历了多个阶段的发展。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理化建立、发展阶段等方面进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到古希腊的数学思想，如毕达哥拉斯学派的无理数概念。
然而，真正系统化的集合论始于19世纪末的德国。
1874年，Cantor首次提出了集合的概念，并开始研究无限集合的性质。
他的工作为集合论的发展奠定了基础。
三、集合论的基本概念1. 集合：集合是指由确定的对象组成的整体。
可以用描述性的方式或罗素概括法来定义一个集合。
2. 元素：集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物，包括数、字母、其他集合等。
3. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
4. 并集：两个集合的并集是指包含两个集合中所有元素的集合。
5. 交集：两个集合的交集是指包含两个集合共有元素的集合。
6. 补集：对于给定的全集，一个集合的补集是指全集中不属于该集合的元素构成的集合。
四、集合论的公理化建立为了确保集合论的严密性，20世纪初，数学家们开始尝试对集合论进行公理化建立。
在此过程中，提出了多个集合论公理系统，如Zermelo-Fraenkel公理系统和von Neumann-Bernays-Gödel公理系统。
这些公理系统为集合论提供了一套严格的逻辑基础，确保了集合论的内在一致性。
五、集合论的发展阶段1. 初步发展阶段：Cantor的工作为集合论的初步发展奠定了基础，他提出了无限集合的概念，并研究了不同无限集合之间的势（基数）的比较。
2. 公理化建立阶段：20世纪初，集合论开始进行公理化建立，确立了集合论的基本概念和公理系统。
3. 集合论的危机：20世纪初，罗素悖论的出现引发了集合论的危机。
罗素悖论是指由Bertrand Russell提出的一个关于自指的集合的悖论，揭示了集合论的潜在矛盾性。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，研究集合及其性质、运算和关系。
它在数学领域的发展对于推动数学的发展起到了重要作用。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理系统以及一些重要的发展阶段进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪，当时数学家们开始研究一些集合的性质和运算规律。
然而，在集合论的发展初期，由于集合的概念不够清晰，数学家们在集合论的研究中遇到了一些难点。
三、基本概念1. 集合集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数、字母、图形等等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示由元素1、2、3组成的集合A。
2. 元素元素是集合中的对象，可以是任意类型的对象。
元素可以属于一个或者多个集合。
3. 子集如果一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，那末集合A是集合B的子集。
用符号“⊆”表示。
例如，集合A={1, 2}是集合B={1, 2, 3}的子集。
4. 并集两个集合A和B的并集是包含了A和B中所有元素的集合，用符号“∪”表示。
例如，集合A={1, 2}，集合B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
5. 交集两个集合A和B的交集是包含了A和B中共同元素的集合，用符号“∩”表示。
例如，集合A={1, 2}，集合B={2, 3}，则A∩B={2}。
四、公理系统为了解决集合论中的一些难点，数学家们提出了一套公理系统，用于定义集合的基本性质和运算规律。
这套公理系统被称为Zermelo-Fraenkel公理系统，简称ZF公理系统。
ZF公理系统包括了一些基本公理和推理规则，通过这些公理和规则可以构建出整个集合论的体系。
五、集合论的发展阶段1. Cantor的集合论19世纪末，德国数学家Georg Cantor提出了集合论的第一个系统化理论。
他通过引入无穷集合和基数的概念，研究了不同基数的集合之间的关系。
他的工作奠定了集合论的基础，并为后来的数学发展提供了重要的工具。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，它研究集合及其性质、关系和操作。
自从19世纪末由德国数学家康托尔创立以来，集合论经历了不断的发展和完善。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理系统以及一些重要的发展和应用方面进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪末，当时康托尔开始研究无穷集合的性质，并提出了一系列的理论。
他的研究引起了当时数学界的广泛关注，也引起了一系列的争议。
康托尔的集合论为数学领域带来了新的观点和方法，为后来的发展奠定了基础。
三、集合论的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
2. 子集与真子集：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。
若A是B的子集且A不等于B，则称A是B的真子集。
3. 并集与交集：若A和B是两个集合，则A和B的并集是包含A和B的所有元素的集合，用符号∪表示。
A和B的交集是包含A和B共有元素的集合，用符号∩表示。
四、集合论的公理系统为了确保集合论的严密性，数学家们提出了一系列的公理系统，用以定义集合论的基本概念和运算规则。
其中最著名的是ZF公理系统，它由四个公理和八个公理模式组成，确保了集合论的一致性和完备性。
五、集合论的发展1. 康托尔的连续统假设：康托尔提出了连续统假设，它是关于无穷集合大小的一个假设。
然而，康托尔并没有证明这个假设，而是留下了一个数学难题。
直到1938年，哥德尔证明了连续统假设在ZF公理系统下是不可证伪的，从而引起了对集合论基础的深入思量。
2. 集合论的公理化：20世纪初，数学家们开始对集合论进行公理化的研究，旨在建立集合论的一套完备的公理系统。
这项工作由伯恩斯坦、弗雷格、冯·诺依曼等人完成，为集合论的发展奠定了坚实的基础。
3. 集合论的应用：集合论在数学和其他学科中有着广泛的应用。
在数学中，集合论为其他数学分支提供了基础，如数学分析、代数学、拓扑学等。
集合论的发展
集合论的发展引言概述：集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和运算等。
自从集合论的提出以来，它在数学领域的应用和发展取得了巨大的成就。
本文将从集合论的起源和基本概念开始介绍，然后探讨集合论的发展过程，最后总结集合论在现代数学中的重要性。
一、集合论的起源和基本概念1.1 集合论的起源- 集合论的起源可以追溯到19世纪末20世纪初，由数学家康托尔首次提出。
- 康托尔的研究使集合论成为一门独立的数学学科，并奠定了其基本概念和原则。
1.2 集合的概念- 集合是由确定的元素组成的整体，可以是数字、字母、词语等。
- 集合的元素是无序的，每个元素在集合中只出现一次。
- 集合可以用各种方式表示，如列举法、描述法和符号表示法。
1.3 集合的运算- 集合论中常见的运算有并集、交集和补集。
- 并集是将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
- 交集是两个集合中共有的元素构成的新集合。
- 补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素构成的新集合。
二、集合论的发展过程2.1 康托尔的工作- 康托尔通过研究无穷集合的势（大小）提出了集合的不同势的概念。
- 康托尔的工作引发了对无穷集合和连续统假设的深入研究。
2.2 集合论的公理化- 在20世纪初，数学家们开始对集合论进行公理化的研究，以确保集合论的一致性和严谨性。
- 约瑟夫·冯·诺伊曼和阿尔弗雷德·怀特海是公理化集合论的主要贡献者。
2.3 集合论的应用- 集合论在数学的各个领域有广泛的应用，如数学逻辑、代数、拓扑学等。
- 集合论为其他数学学科提供了基础和工具，推动了数学的发展。
三、集合论在现代数学中的重要性3.1 集合论与数学基础- 集合论是现代数学的基础之一，它提供了数学推理和证明的基本工具。
- 集合论的概念和原则被广泛应用于其他数学学科中，如数学分析和代数学。
3.2 集合论与数理逻辑- 集合论与数理逻辑有着密切的联系，它们相互支持和补充。
集合论的起源和含义
集合论的起源和含义1. 嘿，你知道集合论是咋来的吗？就像搭积木一样，从一块一块开始慢慢堆积起来的呀！比如说，把一群可爱的猫咪看作一个集合，每只猫咪就是集合里的一个元素呢！集合论就是研究这些集合的学问呀！2. 集合论的含义可深了去了！这就好比是一个神秘的宝藏盒子，里面装着各种奇妙的东西。
想想看，把各种水果放在一起组成一个集合，这多有趣呀！3. 哇塞，集合论的起源可是很有意思的哦！它就像是一场智慧的冒险之旅开始啦！比如我们把所有红色的东西归为一个集合，这就是集合论在发挥作用呀！4. 集合论呀，那可是超级重要的呢！就好像是建房子的基石一样。
好比把所有的星星看作一个集合，多神奇呀！5. 你晓得不，集合论的起源有着不一般的故事呢！它就像一把神奇的钥匙，能打开好多知识的大门。
像把所有的书籍放在一起成为一个集合，这就是集合论的魅力所在呀！6. 集合论的含义，真的很值得我们去好好探究呀！就如同在探索一个未知的奇妙世界。
比如把所有的乐器组成一个集合，是不是很有意思呢！7. 哎呀呀，集合论的起源真的太神奇啦！就好像是夜空中突然绽放的烟花。
想想把所有喜欢运动的人归为一个集合，这就是集合论的应用呀！8. 集合论，那可是有着深厚底蕴的呀！仿佛是一座古老的城堡等待我们去发掘。
像把所有的花朵集合起来，多美妙呀！9. 集合论的起源可别小瞧哦！就跟发现了新大陆似的。
比如把所有的汽车看作一个集合，这就是集合论在生活中的体现呀！10. 集合论的含义真的是太丰富啦！简直就像一个无尽的宝藏。
想想把所有会唱歌的人组成一个集合，多有意思呀！我的观点结论：集合论真的是非常有趣且重要的一门学问，它在我们的生活和学习中都有着广泛的应用和深远的影响。
集合论的种类
集合论的种类集合论是数学的一个重要分支，主要研究集合及其性质、关系以及操作等。
根据研究对象和内容的不同，集合论可以分为几个不同的种类。
一、基础集合论：基础集合论是集合论的基础，研究集合的基本概念和性质。
它包括集合的定义、集合的元素关系、集合的操作、集合的包含关系等基本内容。
基础集合论是其他种类集合论的基础，为后续研究提供了理论基础。
二、无穷集合论：无穷集合论是研究无限集合的特性和性质的集合论分支。
它关注无限集合的大小和计数问题，探讨无限集合与有限集合的不同之处，并研究无穷集合之间的对应关系。
无穷集合论在数学的发展中起到了重要的推动作用。
三、拓扑集合论：拓扑集合论是研究集合上的拓扑结构的集合论分支。
它研究集合上的开集、闭集、连通性、紧致性等概念和性质，研究集合之间的映射和同胚等关系。
拓扑集合论在数学和物理等领域有广泛的应用，如几何、流体力学等。
四、模型论：模型论是研究模型及其性质的集合论分支。
它关注结构的语义性质和语法性质，研究结构的可满足性、公理系统的完备性、模型的稳定性等问题。
模型论在数理逻辑、计算机科学等领域有着重要的应用。
五、公理集合论：公理集合论是研究集合论的公理化基础的集合论分支。
它通过一系列公理和规则来构建集合论的理论体系，并从公理出发推导和证明集合论中的各种结论。
公理集合论在数学的基础研究中占据着重要地位，为数学的严密性和一致性提供了保证。
六、模糊集合论：模糊集合论是研究模糊概念和模糊集合的集合论分支。
它通过引入模糊度的概念，研究模糊集合的性质和操作，探讨模糊集合与经典集合之间的关系。
模糊集合论在人工智能、控制理论等领域有广泛的应用。
七、概率集合论：概率集合论是研究概率和随机性在集合论中的应用的集合论分支。
它研究集合中事件的概率、随机事件的运算和性质，以及概率空间和随机变量等概念和性质。
概率集合论是概率论的数学基础，对于研究概率和随机性具有重要意义。
总结起来，集合论是数学中重要的一个分支，涵盖了基础集合论、无穷集合论、拓扑集合论、模型论、公理集合论、模糊集合论和概率集合论等多个种类。
集合论
例2：求出在1和90之间(包括90)能被2，3，5 任一 数整除的整数个数。 解：设A1，A2，A3分别为表示1和90之间能被2，3，5 任一数整除的整数集合。
90 90 90 | A1 | 45 | A2 | 30 | A3 | 18 2 3 5 90 90 | A1 A2 | 15 | A1 A3 | 9 2 3 2 5 90 90 | A2 A3 | 6 | A1 A2 A3 | 3 3 5 2 3 5 可得 | A1 A2 A3 | ＝ | A1 | ＋ | A2 | ＋ | A3 | － | A1 A2 | － | A2 A3 | － | A1 A3 | | A1 A2 A3 | ＝45＋30＋18－15－9－6＋3＝66
28
3.2 关 系
定理2：设A, B, C，D是任意四个集合；则 若AB且CD，则A×CB×D 规定： A×A×A … ×A,记为An＝An-1×A
例：A＝{1,2}
A3=A2×A= {1,2}2 ×{1,2}
={ <<1,1>,1>, <<1,1>,2>, <<1,2>,1>,<<1,2>,2>,
25
笛卡儿积运算的性质:
1. 若A，B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集, 即 ×A＝A×＝ A
2. 当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A。 所以,笛卡儿积运算不满足交换律。
3. 当A,B,C都不是空集时,有
(A×B)×C≠A×(B×C).
所以,笛卡儿积运算不满足结合律。
26
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和运算等基本概念。
本文将从集合论的起源、发展历程、基本概念和应用等方面进行详细介绍。
二、起源与发展历程1. 集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪，由法国数学家乔治·康托尔首先提出。
他在研究无理数时，发现了一种全新的数学对象——集合。
康托尔将集合视为数学研究的基本对象，并开始系统地研究集合的性质和运算规律。
2. 集合论的发展历程（1）康托尔的集合论康托尔在集合论的发展中做出了许多重要贡献。
他首次提出了集合的基本概念，如无穷集合、等势集合等，并证明了不同基数的集合存在数量上的差异。
康托尔的集合论奠定了集合论的基础，为后续的研究打下了坚实的基础。
（2）罗素悖论的出现在集合论的发展过程中，出现了一些困扰人们的问题，其中最著名的是罗素悖论。
罗素悖论指的是“自指的集合”，即一个集合中包含了自身作为元素的集合。
这个悖论引起了人们对集合论的基础和公理体系的重新思考。
（3）公理化集合论的建立为了解决罗素悖论等问题，20世纪初，数学家们开始尝试建立公理化的集合论体系。
在公理化集合论中，通过引入一系列公理来定义集合的性质和运算规律，从而避免了悖论的出现。
著名的公理化集合论体系有ZF公理系统和NBG公理系统等。
（4）集合论的拓展和应用随着时间的推移，集合论在数学中的应用范围不断拓展。
它不仅在数学的各个分支中发挥着重要作用，如数理逻辑、代数学、数论等，还在其他学科中得到了广泛应用，如计算机科学、经济学、物理学等。
三、基本概念与性质1. 集合的基本概念（1）集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
（2）空集与全集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示；包含所有可能元素的集合称为全集。
2. 集合的关系与运算（1）包含关系：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么前者称为后者的子集，用符号⊆表示。
集合论、组合论方法
集合论与组合论的区别
研究对象
集合论主要研究集合和集合之间的关系，而组合论主要研究组合数 学中的问题，如排列、组合、组合恒等式等。
研究方法
集合论注重公理化、形式化、抽象化的研究方法，而组合论则更注 重具体的数学计算和证明。
应用领域
集合论在数学、物理学、计算机科学等领域有广泛应用，而组合论在 计算机科学、统计学、信息理论等领域有广泛应用。
集合的表示方法
总结词
集合的表示方法包括列举法、描述法、图示法等。
详细描述
列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合。描述法是用数学符号和语 言来描述集合的性质和特征，适用于元素数量较多或无法一一列举的集合。图示法是用图形来表示集 合，适用于表示集合之间的关系和结构。
02
集合论的应用
在统计学中，组合被用来解决各种统 计问题，例如样本选择、回归分析、 方差分析等。通过组合计数，可以计 算出各种可能的结果和概率，从而进 行有效的统计分析。
组合在统计学中还可以帮助我们理解 数据的分布和结构，例如通过组合计 数可以研究概率分布的性质和规律， 通过组合优化可以研究统计决策和推 断的问题等。
05
集合论与组合论的关联
集合论与组合论的联系
集合论和组合论都是数学的重要分支，它们在某些概念和方法上存在交叉和重叠。集合论主要研究集 合、集合之间的关系和性质，而组合论主要研究组合数学中的问题，如排列、组合、组合恒等式等。
在某些方面，集合论和组合论可以互相借鉴和引用。例如，集合论中的一些概念和定理可以应用于组 合论中，反之亦然。
集合论与组合论的发展趋势
集合论与组合论的发展趋势是相互融合和交叉的。随着数学的发展，集合论和组合论之间的界限逐渐模糊，一些概念和方法 在两个领域中都有应用和推广。
集合论基本概念介绍
集合论基本概念介绍在数学中，集合论是一个重要的分支，它研究集合的性质、操作和关系。
本文将介绍集合论的基本概念，包括集合的定义、元素和子集的关系、集合的运算等内容。
一、集合的定义集合是由元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。
集合可以是有限的，也可以是无限的。
例如，集合A可以表示为A={1, 2, 3}，其中1、2、3是A的元素。
二、元素和子集的关系一个元素属于集合时，我们使用符号∈表示。
例如，如果元素x属于集合A，则可以写作x∈A。
如果元素y不属于集合A，则可以写作y∉A。
一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，我们称其为子集。
如果集合B的所有元素都属于集合A，则可以写作B⊆A。
如果集合C 是集合A的真子集，即C包含A的一部分元素但不包含全部元素，则可以写作C⊂A。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3}，集合C={1, 2}，则B⊆A，B⊂A，C⊂A。
三、集合的运算集合之间可以进行各种运算，包括交集、并集、差集和补集。
1. 交集：两个集合的交集是指同时属于这两个集合的元素组成的集合。
用符号∩表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
2. 并集：两个集合的并集是指属于这两个集合中至少一个的元素组成的集合。
用符号∪表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
3. 差集：两个集合的差集是指属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合。
用符号\表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A\B={1}。
4. 补集：补集是指在一个全集中，与某个给定集合不相交的元素所组成的集合。
全集通常是指定的普遍集合U。
用符号'表示。
例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={2, 3}，则A'={1, 4, 5}。
集合论的基本概念
集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质和关系。
在现代数学中，集合论已经成为数学的基础，几乎所有的数学理论都可以用集合论进行描述和表达。
本文将从集合的定义、元素、关系和运算等方面介绍集合论的基本概念。
首先，集合的定义是集合论的基础，也是最重要的概念之一。
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
例如，可以有包含整数的集合，包含人名的集合等等。
集合用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开。
例如，{1, 2, 3}就表示一个由整数1，2，3组成的集合。
集合的元素是集合论的另一个基本概念。
元素是构成集合的个体，一个集合可以有零个、一个或多个元素。
例如，集合{1, 2, 3}中的1就是集合的一个元素。
元素可以是数字、符号、字母、词语等等。
集合的关系是指集合之间的联系。
例如，包含关系是集合关系中的一种，表示一个集合包含另一个集合的所有元素。
例如，集合{1, 2, 3}包含了元素1，2，3。
另一个常见的集合关系是相等关系，表示两个集合的所有元素完全相同。
例如，集合{1, 2, 3}和集合{3, 2, 1}是相等的。
集合的运算是指对集合进行操作的一种方式。
常见的集合运算有并集、交集和补集等。
并集是指将两个集合中的所有元素放在一起构成的新集合。
交集是指两个集合中共有的元素组成的新集合。
补集是指一个集合中没有的元素组成的新集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则集合A和集合B的并集是{1, 2, 3, 4, 5}，交集是{3}，A的补集是{4, 5}。
集合论的基本概念还包括无穷集合和空集。
无穷集合是指元素无限多的集合，例如自然数集、整数集等。
空集是指没有任何元素的集合，用符号∅表示。
空集是集合论中非常重要的一个概念，可以用来构造其他复杂的集合。
总之，集合论是数学中的一个基础分支，研究集合的性质、关系和运算。
集合论的基本概念包括集合的定义、元素、关系和运算等。
通过研究集合论，我们能够更好地理解和描述数学中的各种理论和概念。
集合论的发展
集合论的发展引言概述：集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和操作。
自从集合论的提出以来，它在数学和其他学科中都发挥了重要作用。
本文将从集合论的发展历程、基本概念、公理系统、应用领域和未来发展等五个方面进行详细阐述。
一、集合论的发展1.1 集合论的起源- 集合论最早起源于古希腊数学，例如毕达哥拉斯学派的数学思想中就包含了集合的概念。
- 17世纪，随着数学的发展，集合论逐渐成为一门独立的学科。
1.2 集合论的奠基人- 19世纪末，德国数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）被公认为集合论的奠基人。
- 康托尔通过引入无穷集合和不可数集合的概念，推动了集合论的发展。
1.3 集合论的重要里程碑- 康托尔提出了集合的基数概念，引入了集合的比较和运算。
- 康托尔的对角线论证证明了实数集合是不可数的。
- 集合论的公理化建立了集合论的基础，确立了集合论的严密性。
二、集合论的基本概念2.1 集合的定义- 集合是由确定的元素构成的整体，元素之间没有顺序和重复。
- 集合可以用罗马字母大写字母表示，例如A、B、C。
2.2 集合的运算- 并集：将两个或者多个集合中的所有元素合并在一起。
- 交集：两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
- 差集：从一个集合中去除另一个集合中的元素。
2.3 集合的关系- 包含关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合。
- 相等关系：两个集合的元素彻底相同。
三、集合论的公理系统3.1 朴素集合论- 朴素集合论是集合论的一种直观描述，没有明确的公理系统。
- 朴素集合论存在悖论，例如罗素悖论，导致了集合论的公理化。
3.2 公理化集合论- 公理化集合论通过引入公理系统，解决了朴素集合论的悖论问题。
- 公理系统包括包含公理、相等公理、分离公理等。
3.3 集合论的公理化建立了集合论的严密性和一致性。
- 公理化集合论为集合论提供了一个严密的基础。
- 集合论的公理系统可以通过逻辑推理来证明集合论的定理。
集合论的基本概念
集合论的基本概念集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合及其性质、关系和操作。
集合论的基本概念是理解和应用集合论的基础，本文将介绍集合、元素、子集、并集、交集、补集等基本概念，并探讨它们在数学和其他领域中的应用。
集合在集合论中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，{1, 2, 3}就是一个由整数1、2、3组成的集合。
我们可以用大写字母表示集合，如A、B、C等。
元素元素是构成集合的个体或对象。
一个元素可以属于一个或多个集合。
例如，在集合A={1, 2, 3}中，元素1属于集合A。
子集如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合被称为另一个集合的子集。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={1, 2}，那么B是A的子集。
并集两个或多个集合的并集是包含这些集合中所有元素的新集合。
并集用符号∪表示。
例如，如果A={1, 2}，B={2, 3}，那么A∪B={1, 2, 3}。
交集两个或多个集合的交集是包含这些集合中共有元素的新集合。
交集用符号∩表示。
例如，如果A={1, 2}，B={2, 3}，那么A∩B={2}。
补集给定一个全集U和一个集合A，A相对于U的补集是指所有不属于A的元素组成的集合。
补集用符号A’表示。
例如，如果U={1, 2, 3}，A={1, 2}，那么A’={3}。
应用集合论在数学中有广泛的应用，也被应用于其他领域。
以下是一些常见的应用：数学分析在数学分析中，集合论被广泛应用于定义和证明各种数学概念和定理。
例如，实数集、无穷级数、极限等都是通过集合论来定义和研究的。
计算机科学在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构、算法设计和数据库等领域。
例如，集合的交、并、补等操作在数据库查询中经常使用。
统计学在统计学中，集合论被用于描述和分析样本空间、事件和概率等概念。
例如，概率论中的事件可以用集合来表示，概率可以通过集合的运算来计算。
社会科学在社会科学中，集合论被应用于群体行为、社会网络和决策分析等领域。
数学先学集合论-概述说明以及解释
数学先学集合论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述集合论是数学的一个基础分支，研究元素的集合和它们之间的关系。
它是数学的一种抽象工具，被广泛应用于数学、计算机科学、经济学、物理学等多个领域。
集合论的概念最早由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪末提出，为数学奠定了坚实的基础。
它的研究对象是集合，集合是由一些确定的元素构成的整体。
通过对集合的操作和关系的研究，集合论不仅可以推导出一系列的性质和定理，而且可以帮助我们更好地理解和刻画真实世界中的事物和问题。
在集合论中，最基本的概念是元素和集合。
元素是构成集合的基本单位，而集合则是元素的集合。
通过集合的运算，我们可以进行交集、并集、补集等操作。
此外，集合论还研究了集合的性质和关系，如包含关系、相等关系、子集关系等，这些关系在数学推理和证明中起着重要的作用。
集合论不仅是数学研究中的基础工具，还在实际问题的建模和解决中发挥着重要的作用。
例如，在计算机科学中，集合论被用于描述数据结构和算法的基本操作；在经济学中，集合论被用于描述市场的供需关系和经济模型的构建；在物理学中，集合论被用于描述物体之间的关系和物理规律的描述。
随着科学技术的不断发展，集合论在未来的应用领域还将进一步拓展。
例如，随着人工智能和大数据的兴起，集合论的运用将更加广泛和深入，为我们解决复杂的问题提供更多的工具和思路。
总之，数学先学集合论是非常重要的。
集合论作为数学的基础分支，不仅有助于我们建立数学思维和逻辑推理能力，而且在实际问题的分析和解决中起着重要的作用。
通过学习集合论，我们可以深入探究数学的本质，为未来在数学以及其他领域的研究和应用打下坚实的基础。
文章结构部分的内容：文章将按照以下结构进行展开和组织：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 什么是集合论2.2 集合的基本运算2.3 集合的性质和关系3. 结论3.1 集合论的重要性3.2 集合论的应用领域3.3 未来发展方向在引言部分，我们将提供一个概述，简要介绍集合论的基本概念和作用。
集合论基础知识整理
集合论基础知识整理在数学中，集合论是一门研究集合及其属性、操作和关系的学科。
它是现代数学的基础之一，也是许多其他数学领域如代数、拓扑学和数理逻辑的基础。
一、集合和元素集合是由元素组成的整体。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，其中1、2、3是A的元素。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接列举集合中的元素。
例如，集合B={a, b, c}，其中a、b、c是B的元素。
2. 描述法：用一种性质或条件描述集合中的元素。
例如，集合C={x | x是正整数且x<5}，表示C是由小于5的正整数组成的集合。
三、集合的运算1. 交集（∩）：两个集合中共有的元素构成的新集合。
例如，集合D=A∩B={1, 2}，表示D是集合A和集合B的交集。
2. 并集（∪）：两个集合中所有元素构成的新集合。
例如，集合E=A∪B={1, 2, 3, a, b, c}，表示E是集合A和集合B的并集。
3. 差集（-）：从一个集合中去除另一个集合中的元素。
例如，集合F=A-B={3}，表示F是集合A减去集合B的差集。
4. 补集（'）：集合A相对于全集U中未包括的元素的集合。
例如，集合A'={x | x∈U 且 x∉A}，表示A'是集合A的补集。
四、集合的性质1. 包含关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合。
例如，若集合G={1, 2}，则A⊆G。
2. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
3. 相等：两个集合具有相同的元素。
例如，若集合H={1, 2, 3}，则A=H。
五、集合的应用1. 数学证明：集合论为数学证明提供了基础。
通过集合论的概念和运算，可以推导出更复杂的数学结论。
2. 数据分析：在统计学和数据分析中，集合论用于描述和操作样本、事件和属性。
3. 计算机科学：集合论是计算机科学中的基本概念之一，用于定义数据结构和算法。
六、集合的进一步研究1. 无限集合：具有无穷多个元素的集合。
集合论的基本概念
集合论是数学的一个基本分支，研究的是集合的性质及其相互关系。
集合是指一些事物的总体，这些事物称为集合的元素。
集合论的基本概念包括空集、全集、子集、并集、交集和补集等。
首先，空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
空集是任何集合的子集，即对于任意集合A都有∅⊆A。
空集在集合论中非常重要，它可以用来定义数学对象的存在性。
全集是指特定背景下所讨论的所有元素的总体，用符号U表示。
全集U包含了所有要研究的元素。
在具体问题中，全集可以是某个特定的集合，比如全体自然数的集合。
子集是指一个集合中的元素都是另一个集合的元素的集合。
假设A和B都是集合，如果A中的元素都属于B，那么A是B的子集，记作A⊆B。
如果A是B的子集但B不是A的子集，那么A是B的真子集，记作A⊂B。
并集是指两个或多个集合中包含的所有元素的集合。
假设A和B是两个集合，A∪B表示A和B的并集，即包含了A和B中的所有元素。
交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合。
假设A和B是两个集合，A∩B 表示A和B的交集，即包含了A和B共有的元素。
补集是指关于某个全集中不属于某个集合中的所有元素。
假设A是一个集合，U 是其全集，A'表示A相对于U的补集，即包含了U中不属于A的所有元素。
集合论的基本概念为我们提供了分析集合的工具。
通过定义和研究这些概念，我们能够更深入地理解集合的性质及其相互关系。
集合论的基本概念在数学和其他领域有广泛的应用。
在数学中，我们可以通过研究集合的基本概念来推导出数学定理和结论，为其他数学分支提供基础。
在计算机科学中，集合的概念被广泛应用于数据结构和算法设计中，用于处理和组织数据。
总之，集合论的基本概念是数学研究和应用中的重要工具。
通过研究空集、全集、子集、并集、交集和补集等概念，我们能够更深入地理解和分析集合的性质及其相互关系，推导出数学定理和结论，解决实际问题。
集合论为数学和其他领域的发展提供了基础和支持。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
第三节 集合恒等式
一、集合算律 1．只涉及一个运算的算律 交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C=A(BC) AA=A AB=BA (AB)C=A(BC) AA=A AB=BA (AB)C=A(BC)
第二部分 集合论
一、本部分的主要内容 集合代数----集合的概念和基本运算 关系----二元关系的表示、运算、性质、特殊的关系 函数----函数定义、性质、运算 二、本部分的基本要求 掌握集合及其相关的基本概念 熟练掌握集合以及关系、函数的基本运算 了解和使用基本的证明方法
第六章 集合代数
主要内容 集合的基本概念----属于、包含、幂集、空集、 文氏图等 集合的基本运算----并、交、补、差等 集合恒等式----集合运算的算律、 恒等式的证明 方法 与后面各章的关系 是集合论后面各章的基础 是典型的布尔代数系统
一、练习题 1．判断下列命题是否为真。 （1） （2） （3）{} （4）{} （5）{a,b}{a,b,c,{a,b,c}} （6）{a,b}{a,b,c,{a,b}} （7）{a,b}{a,b,{{a,b}}} （8）{a,b}{a,b,{{a,b}}} 解 （1）（3）（4）（5）（6）（7）为真，其余为假. 、 、 、 、 、
命题演算证明法的书写规范 (以下的 X 和 Y 代表集合公式) （1）证 XY 任取 x， xX … xY （2）证 X=Y 方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取 x， xX … xY 注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是 充分必要的
证明 AB AB=B AB=A AB= ① 证 ①② 显然 BAB，下面证明 ABB. 任取 x， xAB xAxB xBxB xB 因此有 ABB. 综合上述②得证. ②③ A=A(AB) A=AB (由②知 AB=B，将 AB 用 B 代入) ② ③ ④
第一节 集合的基本概念
一、集合的定义 集合没有精确的数学定义 直观理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有理数、 实数、复数集合 二、集合的表示法 1．枚举法----通过列出全体元素来表示集合 2．谓词法----通过谓词概括集合元素的性质 实例： 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={x| x 是实数，x21=0}
33
图3
方法二 令 S = {x | xZ1x1000}, B = {x | xSx0(mod 6)}, 则 |S| = 1000 |A| = 1000/5 = 200, |B| = 1000/6 = 166, |C| = 1000/8 = 125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 A = {x | xSx0(mod 5)} C = {x | xSx0(mod 8)}
三、元素与集合 1．集合的元素具有的性质 无序性——元素列出的顺序无关 相异性——集合的每个元素只计 数一次 确定性——对 于任何元素 和集 合，都能确定这个元素是否为该 集合的元素 任意性——集合的元素也可以是 集合 2． 元素与集合的关系——隶属关系： 或者 3．集合的树型层次结构
d A , a A
③④ 假设 AB, 即xAB，那么知道 xA 且 xB. 而 xB xAB 从而与 AB=A 矛盾. ④① 假设 AB 不成立，那么 x(xAxB) xAB AB 与条件④矛盾.
第六章 习题课
要求 熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
3. 判断以下命题的真假，并说明理由. （1）AB = A B= （2）A(BC) = (AB)(AC) （3）AA = A （4）如果 AB = B，则 A = E. （5）A = {x}x，则 xA 且 x A.
解
（1） B=是 AB=A 的充分条件， 但不是必要条件. 当 B 不 空但是与 A 不交时也有 AB=A. （2）这是 DM 律，命题为真. （3）不符合算律，反例如下： A={1}，AA=，但是 A. （4）命题不为真. AB=B 的充分必要条件是 BA，不是 A=E. （5）命题为真，因为 x 既是 A 的元素，也是 A 的子集.
图1
四、集合与集合 1． 集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , , A B x (xAxB) A=BABBA ABABAB A ⊈ B x (xAxB) 思考： 和 的定义 2．注意和是不同层次的问题
五、空集和全集 1．空集 ：不含有任何元素的集合 实例： {x|xRx2+1=0} 定理 6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合 A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2．全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集 六、幂集 1．定义：P(A)={x | xA} 2．实例： P()={}, P({})={,{}} 3．计数：如果|A|=n，则6.1 并 交 相对补 对称差 绝对补 AB = {x | xA xB} AB = {x | xA xB} AB = {x | xA xB} AB = (AB)(BA) A = EA
2．文氏图表示
A
B
A
B
A
B
AB
解 （1）和 S5 不交的子集不含有 3 和 5，因此 X=S2.
（2）S4 的子集只能是 S4 和 S5. 由于与 S2 不交，不能含有偶 数，因此 X=S5. （3）S1, S2, S3, S4 和 S5 都是 S1 的子集，不包含在 S3 的子集 含有偶数，因此 X=S1, S2 或 S4. （4）XS3=意味着 X 是 S3 的子集，因此 X=S3 或 S5. （5）由于 S3 是 S1 的子集，因此这样的 X 不存在.
2．涉及两个运算的算律 与 分配 吸收 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(AB)=A A(AB)=A 与 A(BC)=(AB)(AC)
3．涉及补运算的算律 D.M 律 双重否定 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC A=A
4．涉及全集和空集的算律 补元律 零律 同一律 否定 AA= A= A=A =E E AA=E AE=E AE=A E=
二、集合等式或包含关系的证明 方法一：命题演算法 例 证明 A(AB) = A （吸收律） 证 任取 x, xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A. 例 证明 AB = AB 证 任取 x, x AB xAxB xAxB xAB 方法二：等式代入法(假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立) 例 证明吸收律 A(AB) = (AE)(AB) = A(EB) = A(BE) = AE = A
2. 笛卡儿积的性质 （1）不适合交换律 AB BA （2）不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) （3）对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC) A = B = （5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn (BC)A = (BA)(CA) (BC)A = (BA)(CA) (AB, A, B)
AB
A–B
B
A
B
A
AB
图2
~A
3．几点说明： 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1A2…An = {x|xA1xA2…xAn} A1A2…An = {x|xA1xA2…xAn} AB A A B AB = （后面证明） AB = AB = A
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 本章与后面各章的关系 是函数的基础 是图论的基础
第一节 有序对与笛卡儿积
一、有序对 1．定义 7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为 有序对，记作<x,y>. 2．有序对性质 （1）有序性 <x,y><y,x> （当 xy 时） （2）<x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=uy=v.
（4）若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集.
性质的证明方法 证明 A(BC) = (AB)(AC) 证 任取<x,y> <x,y>∈A× (B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A× B∨<x,y>∈A× C <x,y>∈(A× B)∪(A× C) 所以有 A× (B∪C) = (A× B)∪(A× C).
二、有穷集合元素的计数 1．计数方法 （1）文氏图法 （2）公式法——包含排斥原理 设集合 S 上定义了 n 条性质，其中具有第 i 条性质的元素构成子 集 Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为
| A1 A2 ... An || S | | Ai |
1 i n
一、笛卡儿积 1． 定义 7.2 设 A,B 为集合，A 与 B 的笛卡儿积记作 AB，且 AB = {<x,y>| xAyB}. 实例：A={1,2,3}, B={a,b,c} AB = {<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA = {<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={}, B= P(A)A = {<,>, <{},>} P(A)B =