怎样用换元法证明不等式

怎样用换元法证明不等式
陆世永
我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。

人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。

下面我们探索怎样用换元法证明不等式。

所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。

其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

一、利用对称性换元,化繁为简
例1 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥. 分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:
()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.
这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则
()z y a +=
21
,(),21z x b +=()y x c +=2
1. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有
()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；
当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,
0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾), 因此
02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z
()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,
综上所述,恒有
()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,
把z y x ,,代入上式得:
()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.
例2 设R c b a ∈,,,求证:
()()()[]2
2
2
22222
ca bc ab c b a c b a
++-++++≥
()()[]22222ca bc ab c b a c b a ++-++++ .
分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令
,c b a x ++=,222c b a y ++=,ca bc ab z ++=
则原不等式可化为2()02≥-z z y .这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。

证明:令,c b a x ++=,222c b a y ++=,ca bc ab z ++=则
,22z y x += ()()()[]
02
1
222≥-+-+-=
-a c c b b a z y , 原不等式可化为:
()
()2
222z y x z y y -≥-,
将,22z y x +=代入上式得:
()
()()2
222z y z y z y y -⋅+≥-,
()()()[]022≥-+-+-z y z y yz y z y ,
()022≥-z z y ,
又由已知条件可知,2()02≥-z z y 成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。

对于类似于例1与例2的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简化不等式的结构，使得不等式容易证明。

二、借助几何图形换元
例3 已知c b a ,,是ABC ∆三边的长，求证：
222222333a c c b b a a c c b b a ++≥++.
分析:(如图)作ABC ∆的内切圆,设F E D ,,为切点,
令,BD x =,CD y =,AE z =(其中+∈R z y x ,,
则原不等式可转化为:
z y x y y x x x z z z y 222222++≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 利用重要不等式:ab b a 2≥+可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:设F E D ,,为切点,令,BD x =,CD y =,AE z =则原不等式可转化为:
z y x y y x x x z z z y 222222++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+.()1 又因为+∈R z y x ,,,则有
,22y z z y ≥+ z x x
z 22
≥+, x y y x 22≥+， 所以(1)式成立,因此原不等式成立。

从例3可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

三、借助三角函数的性质换元
例4 已知:,1>a ,0>b ,1=-b a 求证:11110<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<
b b a a a . 分析:由于,1>a ,0>b ,1=-b a 并且不等式中有,,b a 因此我们联想三角函数的平方关系:1tan se
c 22=-θθ .经过对比,发现a 相当于θ2sec ，b 相当于
θ2tan ，因而可令：,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<<=20tan 2πθθb .
证明:令,sec 2θ=a ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<<=20tan 2πθθb , 则
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b a a a 111 =θθθθθ
tan 1
tan sec 1sec sec 1222
+⋅-⋅ θsin =
1<，
可见原不等式成立。

例5 若,122≤+y x 求证:2222≤-+y xy x .
分析:由,122≤+y x 知点()y x ,在圆122=+y x 的内部或边界上,因此可以考虑变换:,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r .
证明:设,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r , 则
222y xy x -+
θθ2sin 2cos 2+=r
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤42cos 22πθr
22r ≤2≤.
从例4，例5可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的
结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式。

四、借助均值不等式换元
例6 n 个正数,,,21n x x x 它们的和是1,求证: +++++ 3
22
2
2121x x x x x x
2
112121
≥+++--x x x x x x n n n n n .
分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令12
112
m x x x ++=
, ,22322m x x x ++=,n n n m x x x ++=21
（其中01
=∑=n i i m ）.
证明:令,,2,2232212
11 m x x x m x x x ++=++=
,2
1n n n m x x x ++=则01
=∑=n
i i
m
.
+++++ 322
22121x x x x x x 1
2121
x x x x x x n n n n n ++
+-- ()()()1
2
1322232212121212121x x m x x x x m x x x x m x x n n n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++
++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=
()3
22
2
21212113221444x x m x x m m m m x x x x x x n n ++
++++++++++++= 1
2
x x m n n
++
+ ≥()
4
221n x x x +++
2
1=
， 因而原不等式成立。

例6说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。