微分几何

课程的主要内容 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的 局部理论，主要内容有： （1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长， 曲线的曲率和Frenet标架，挠率与Frenet公式， 曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平 面曲线。 （2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法 线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的 存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面 的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与 Weingarten映射，主曲率和主方向的计算， Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊 曲面，曲面论基本定理。
G.F.Gauss（1777~1855）的贡献见于1827年他的 “弯曲曲面的一般研究”一文。他在微分几何方面的重 要贡献，不仅在于他证明了许多惊人的新结果，更重要 的是他致力于微分几何全新的探讨，具有非凡的洞察力， 抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容。在 微分几何发展经历了150年历史之久，Gauss建立了由第 一基本形式所决定的曲面的内在几何，这是有深远的意 义的。Gauss的内在几何以惊人的步伐将微分几何向前 推进，但那时并未被人们所认识。 直到R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了 Gauss的内在几何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲 中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别。Riemann 将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它 看作欧氏空间中的一个几何实体，从而他认识到二次
课程的主要内容
本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论， （1）曲线论。包括曲线的弧长，曲线的曲率和Frenet 标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点 处的标准展开，平面曲线。 （2）曲面论。包括切平面与法线，曲面的第一基本形 式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应， 可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与 Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和 曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定 理。 （3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测 地线，测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。
相互推进，既发展了引力理论，也促使微分几何本身进 一步发展。近年来，整体黎曼流形的研究也被用到引力 理论的研究中去。随着高能物理学的发展，规范场的重 要性日益显著，纤维丛几何是规范场研究的一项有力的 数学工具，微分几何中一些深入的内容如陈省身示性类、 Atiyah—SingLeabharlann Baidur指标定理等都在研究中起了突出的作用。 总之，微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重 要意义，这是一个值得注意的动向，它必须进一步推进 微分几何的向前发展。
微分几何
主讲：钟定兴
课程介绍
微分几何历史简介 微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支 和理论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。 经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点 邻近的性质，在微积分发明的同时，就开始了平面曲线微分 几何的研究，而第一个作出重要贡献的是Euler(1707~1783). 他在1736年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概 念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角 的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献， 特别值得一提的是他在测地线方面的一些工作，最早把测地 线描述为某些微分方程组的解。
微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结 构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。 Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外 加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作 出了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了 经典的黎曼几何。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微 分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联 系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广 阔的园地，影响极为深远。 从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维从理 论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产 生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等也推 动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理论物 理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广义相对论的
又在物理问题的推动下，1736年他证明了：在无外力作 用的情况下，一个质点如约束在一曲面上运动，它必定 是沿测地线运动。 另一个历史人物是G.Monge(1746~1818)，在筑城 垒这个实际问题的推动下，他1771年开始写了关于空间 曲线论的论文，发表于1785年，他用的是几何方法，并 反映了他对偏微分方程的兴趣。Monge写了第一本微分 几何课本，1807年出版，这课本共印了五版，一直发行 到Monge逝世后三十年，足见该书在当时的重要作用。 F.Frenet(1816~1868)与J.Serret(1819~1885)分别于 1847年和1851年独立地得出现在通称的Frenet-Serret方 程（或Frenet方程）后，空间曲线论才最后统一起来。
课程的教学目的和要求 微分几何是用微积分和线性代数的方法研究 空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形 状的不变量系统。微分几何课程是师范院校数学 与应用数学专业的必修课。通过这门课程的学习， 使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和基 本方法，培养学生应用微积分和线性代数处理几 何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力， 从具体到抽象的能力，为进一步学习现代微分几 何打下扎实的基础。