保险精算学-总复习分析

Var ( zt ) A
2
1 x:n
(A )
1 x:n
2
2、终身寿险
• 定义 – 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 ( x )岁的人，保额1元终身寿险 • 假定： • 基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt bt vt v , t 0
vt v , t 0
t
1 , t n bt 0 , t n
v t , t n zt bt vt 0 , t n
趸缴纯保费的厘定
• 符号： A
• 厘定：
1 x:n
A
1 x:n
E ( zt ) zt fT (t )dt
0
n
v t px x t dt e
2 m 10
0.04e0.16t
10
0.16 Var ( zt ) m2 Ax ( m Ax ) 2 0.0288
变额年金的计算
例 某公司决定用五年时间建立一笔专用基金，办法如下： • 每年初存入一笔款，数量为逐年等额递减 2万元。 • 从第六年开始每年末提取1万元作为奖金。 • 假如年利率为3%， • 求第一年初的存款额。 解：设第一年存款额为 X 万元。
分解与平衡
X X-2 X-4 X-6 X-8 0 1 1……..
vt v t , t 0 1 , t m bt 0 , t m
v t , t m zt bt vt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
• 符号：m Ax • 厘定：
m
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
m

t 0
C x Dx t x t dt
0
1
R x M x M x 1 ...... M x t
t 0

M x C x C x 1 ......
确定性年金与生存年金的t年现值
t
生存年金计算一般公式
：开始支付 年金的年龄
Nα N αn Dz
3 ( 4) i 1 4
4 ( 4) i 1 4
1
i
实际利率
1 i
名义贴现率 d ( m )
d ( 4) 1 4
4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
A25： 0.114592 ，A 40
1 25： 40
0.0811675 ，i 6%
常见险种的期末付生存年金
险种 终身生存年金 n年定期 生存年金 m年延期 终身生存年金 m年延期 n年定期 生存年金
m
延付年金精算现值
1 Ax ax i
ax:n
1 Ax:n i
1 ( Ax:m Ax ) i
2 t 2 0

2 t
fT (t )dt E ( zt )
2
• 记
2
Ax e
0

2 t
fT (t )dt
2 2
• 所以方差等价为
Var( zt ) Ax ( Ax )
3. 延期终身寿险
• 定义 – 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责 任范围内的死亡均给付保险金的险种。 ( x )岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 • 假定： • 基本函数关系
zt fT (t )dt zt fT (t )dt
0 0

m
Ax A
1 x:m
现值随机变量的方差
• 方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e2 t fT (t )dt E ( zt )2
2 t 2 m

• 记
2 m
Ax e
t 0 0
n
n
t t
px x t dt
现值随机变量的方差
• 方差公式
Var( zt ) E ( z ) E ( zt ) e
2 t 2 0
n
2t
fT (t )dt E ( zt )
2
• 记
2
A
1 x:n
e 2t fT (t )dt
0
Biblioteka Baidu
n
• 则方差等价为
1 1 i
1
0
1 i 1 i 2 1 i t
1 2
金额
时间
-t … -2
-1
… t
(1-d)t -t
1-d
1 0
1 1 d
1 (1 d )t
金额
-1
1
t
时间
名义利率 i
i 1 m
1
1 i
(4)
(m)
(m)
m
1 i
4
2 ( 4) i 1 4
<保险精算学> 总复习
利息理论与确定年金
利息的度量
• 按照计息时刻划分：
1. 期末计息：利率 2. 期初计息：贴现率
• 按照积累方式划分
1. 线性积累 （1）单利计息 2. 指数积累 （1）复利计息 （2）单贴现计息 （2）复贴现计息
复利下的现值和累计值
1 i t
1
1 i
1
2
例. 确定季度转换的名义利率，使其等于 月度转换6%名义贴现率。
4 12 0.06 3 ( 4) (12 ) i d ( 4) 1 1 i 4 1 1 4 12 12 6.0605%
x : 计算价值 的时间点
0 纯寿险 1 双保险
例 某人30岁投保某一寿险，约定50岁之前死亡给 付3000元，若50岁仍生存，则每年末可领取年 金额960元的终身生存年金。求其趸缴纯保费。 解：所求趸缴纯保费可看作保额3000元的20年定
期寿险趸缴纯保费与保额为960元的20年延期
生存年金
生 存 年 金 的 换 算 符 号下 如： Dx v x l x N x D x D x 1 ...... S x N x N x 1 ......
寿险换算符号如下：
转换函数
D
t 0

xt
N
t 0
xt
即时给付情况下：
C x v x 1 d x M x C x C x 1 ...... C x t
费用开支列表：
年龄 趸缴纯 保费 x=30 x+1 x+2 x+3 … x+9 x+10 … x+20
1000 A30:20|
0.25G 0.1G 0.05G 0.02G 0.02G
佣金
管理费 及承保 费用
5
2 0.02G
2 …..
2
2 0.02G
1
….
保费税 0.02G
按上表所示的费用开支情况及在签单时 收支平衡的原理，可得 Ga30： 1000 A30:20 10 D31 D32 0.25G 0.1G 0.05G D30 D30
1 25:40 100000 25:40 (2)Ga A25:40 100A25 (75 0.15G ) (25 0.1G )a :40 1 25:40 100000 A25:40 100A25 75 25a :40
G
25:40 0.15 0.9a
终身生存年金趸缴纯保费之和。所以
其趸缴纯保费
3000A
1
30:20|
96020| a30
4 设有保额为1000元的10年限期缴费20年的两全 保险，签发年龄为30岁，其附加费用如下： 佣金：第一年按总保费的25%提取，第二年按 10%，第三年按5%，以后均为2%; 保费税：总保费的2%； 管理费及承保费用：第一年5元，第二年以后每年 2元，保费缴清后每年1元。 试求其年缴总保费。
0.02G 3| a30： 0.02Ga30： 3 a30： a30： 7 10 10 20
练习
• 对（25）购买的保险金额为10万元的40年 两全保险保单，该保单的第一年费用为100 元加上毛保费的25%，续年的费用为25元 加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理 赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费 用。求净均衡年缴保费和毛保费。已知
答案
S ( x t ) (1) fT (t ) 0.04e0.04t S ( x)
m
Ax e
10

0.06 t
0.04e
0.04 t
dt 0.04 e
10

0.1t
dt 0.147
(2) Ax e0.12t 0.04e 0.04t dt
ax ax ax:m m Ex ax m
mn x
a ax:mn ax:m m Ex ax m:n 1 ( Ax:m Ax:mn ) i
25:40 (1) a
答案 1 A
d
25:40
15.6422
100000 P25:40
A25:40 100000 732.85 25:40 a
t
趸缴纯保费的厘定
Ax • 符号： • 厘定：
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
0

v t px x t dt e
t 0 0


t t
px x t dt
现值随机变量的方差
• 方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e
0 分 解
1
2
3
4
5 平衡点 选择
6 1
7..... 1……..
X 0
X -2
X -4
X -6
X -8
平衡关系式： 收入现金流的终值 = 支出现金流的现值
5 3% 2( I ) 4 3% a 3% X s s
生命表函数
生命表中的基本函数总结
• • • • • • • lx: 0岁者活到x岁的人数 dx: 0岁者在x岁与x+1岁之间死亡的人数 px: x岁的人在年内生存的概率 qx: x岁的人在年内死亡的概率 tpx: x岁的人能再存活t年的概率 tqx: x岁的人在未来t年内发生死亡的概率 tdx: 0岁者在x岁与x+t岁之间死亡的人数
m

2 t
fT (t )dt
• 所以方差等价于
Var ( zt ) Ax ( m Ax )
2 m
2
例
• 假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额 1元。 • 保险金在死亡即刻赔付。 • 已知 • 求：
0.06，S ( x) e
(1)
10
0.04 x
,x 0
Ax
(2)Var(zt )
2
d ( 4) 1 4
1
1 d
1 d (m ) m
d
m
1
1 d
确定性年金公式推导
n n v (1 v ) 1 v an v v 2 vn 1 v i n 1 v an 1 v v n 1 (1 i ) an d 1 (1 i ) n (1 i ) n 1 n 1 sn 1 (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) i n n 1 (1 i ) ( 1 i ) 1 sn (1 i ) (1 i ) n (1 i ) sn d d 1 vn 1 a lim an lim n n i i 1 vn 1 a lim an lim n n d d
1
1 A25 A25:40 A25:40 0.033425 :40
G 856.45
A25： 0.114592 ，A25： 0.0811675 ，i 6% 40 40
1
死亡时刻即刻赔付及连续 支付生存年金的情形
1. n年定期寿险
• 定义 – 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任 范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险 ( x ) 岁的人，保额1元n年定期寿险 • 假定： • 基本函数关系
n：支付 次数
z :需要计算价 值的时间点
X+14 54
..
寿
险
死者保单对全体保单共有财产的分享
t 年末的 投资积累
1元赔偿
初始人数
每人交的净保费
死亡人数
寿险现值与终值计算的一般公式
n : 延期年数 特别：n = 0
m ：定期年数 特别：M∞ = 0
M x n M x n m Dx n m A Dz