向量的内积、长度及正交性
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1. 非负性 当 x 时, x 0;当 x 时, x 0;
2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
2. 单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
６ 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
定义3 设n维向量 e1,e2 , ,er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1,e2 , ,er两两正交且都是单位
向量,则称e1,e2 , ,er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是
r
两两
正交的
非零
向量组,
则
称1
,
2
,
,r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
yn
称x, y为向量 x与 y的内积 . (Inner product)
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; 或 x,y x, y;
(3) x y, z x, z y, z; 或 x, y z x, y x, z;
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
(1) 正交化 , 取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
范正交化.
下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
第5章 相似矩阵及二次型 §1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有 n维向量
x
x2 ,
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xn
y1
y
ห้องสมุดไป่ตู้
y2 ,
(4) [ x, x] 0,且当 x 时有[ x, x] 0.
(5)[x, y]2 [x, x][ y, y] 施瓦茨不等式
二、向量的长度及性质
1.定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
(2)
单位化 ,
取 e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
2. 单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
６ 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
定义3 设n维向量 e1,e2 , ,er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1,e2 , ,er两两正交且都是单位
向量,则称e1,e2 , ,er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是
r
两两
正交的
非零
向量组,
则
称1
,
2
,
,r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
yn
称x, y为向量 x与 y的内积 . (Inner product)
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; 或 x,y x, y;
(3) x y, z x, z y, z; 或 x, y z x, y x, z;
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
(1) 正交化 , 取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
范正交化.
下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
第5章 相似矩阵及二次型 §1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有 n维向量
x
x2 ,
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xn
y1
y
ห้องสมุดไป่ตู้
y2 ,
(4) [ x, x] 0,且当 x 时有[ x, x] 0.
(5)[x, y]2 [x, x][ y, y] 施瓦茨不等式
二、向量的长度及性质
1.定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
(2)
单位化 ,
取 e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0