极限运算法则两个重要极限

lim f ( x) 存 在 ， 则 它 只 有 一 个 极 限 。 即 若
lim f ( x) = A ， lim f ( x) = B ，则 A = B
定理 2 ： （有界性）若极限 lim
x→ x0
f ( x) 存在，则函数 f ( x) 在 x0 的某一空心邻
域内有界 定理 3 ： （局部保号性）如果
例 10 计算 lim
x →0
2
sin 5 x 3x
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解
序号 5
lim
sin 5 x sin 5 x 5 5 ＝ lim ⋅ = x →0 x →0 3x 5x 3 3
结论：
sin[ f ( x)] =1 f ( x ) →0 f ( x) lim lim
和差化积公式 练习：
lim(
结论：
例7 求 解
1 2 − 2 ) x →1 x − 1 x −1 1 2 x +1− 2 1 − 2 ) ＝ lim 2 ＝ lim( x →1 x − 1 x →1 x − 1 2 x −1
1．极限运算法则 2．求极限方法 1）设 P (x ) 为多项式，则
x → x0
先通分，再计算。
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例 6
序号 3 “
3x 3 + x lim 3 求 x →∞ x + 1
∞ ”型，用无穷小 ∞
量分出法，即分子、分 母同时除以 x 的最高次 幂。
解
1 3+ 2 3 3x + x x =3 lim 3 ＝ lim x →∞ x →∞ x + 1 1 1+ 3 x
a0 b ,当m = n, b0 ≠ 0, 0 a 0 x m + a1 x m −1 + L + a m lim = 0, 当m < n, x → ∞ b x n + b x n −1 + L + b n 0 1 ∞, 当m > n.
例 11 计算 解
lim
x →0
cos x − cos 3 x x2
＝4
lim
sin x 1 sin x sin x x ⋅ ) =1 ＝ lim( ⋅ ) = lim( x →0 tan x x →0 x →0 x tan x x tan x x
x →π
例 13 求 lim
sin x tan x
x →π
解
2−x x ) 3− x
lim(
例 18， 19 视情况选讲 例
＝ lim ln(1 +
x →0
x)
1 x
＝ ln lim(1 +
ห้องสมุดไป่ตู้x →0
x) = ln e = 1
1 x
例 19
lim
ex −1 x →0 x
解 令
u = e x − 1则x = ln(1 + u ), 当x → 0时，u → 0 lim ex −1 u ＝ lim =1 x →0 u →0 ln(1 u ) x ＋ sin x =1 x →0 x
准则 1 （夹逼定理）设函数
f ( x), g ( x), h( x) 在 x 0 的某一邻域 U ( x 0 , δ ) 内满足
g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x)
且有极限
x → x0
lim g ( x) = lim h( x) = A ，则有 lim f ( x) = A
x → x0 x → x0
x x
序号 6
例 17 计算 lim (
x→∞
2−x x 1 x 1 x − 3+ 3 ) ＝ lim(1 + ) ＝ lim(1 + ) x→∞ 3 − x x →∞ x →∞ x−3 x−3 1 x −3 1 3 ＝ lim (1 + ) ⋅ lim(1 + ) = e ⋅1 = e x →∞ x→∞ x−3 x−3 ln(1 + x) 例 18 计算 lim x →0 x 1 ln(1 + x) 解 lim ＝ lim ⋅ ln(1 + x ) x →0 x →0 x x
其中 α ( x ), β ( x ) 均为无穷小量，则有： (1)
f (x ) + g (x ) =A+B+[ α ( x ) + β ( x ) ]
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由 2．2 定理知 α ( x ) + 即 lim[ f
序号 2 设 P (x ) 为多项式 当x
β ( x)
仍为无穷小量,所以
准则 2 如果数列
{x n } 单调有界，则 lim xn 一定存在。 x →∞
一般
2．4．2 两个重要极限
1．极限
sin x =1 x →0 x tan x 例 8 计算 lim x →0 x tan x sin x 1 sin x 1 解 lim ＝ lim · = lim · lim =1 x →0 x →0 x → 0 cos x x x cos x x →0 x 1 − cos x 例 9 计算 lim x →0 x2 lim x 2 sin 1 − cos x 2 lim ＝ lim 2 2 x →0 x →0 x x
因为当 x
解 错误做法： lim
sin x sin x x ＝ lim( ⋅ ) =1 x →π tan x x tan x
lim
x →π
sin π
→ π 时，
≠1
π
正确做法： lim
x →π
sin x sin(π + t ) − sin t ＝ lim = lim = −1 tan x t →0 tan(π + t ) t →0 tan t
一般
U →∞
2．极限
1 lim(1 + ) x = e x →∞ x
x
lim (1 +
例 14
1 计算 lim (1 + ) 2 x →∞ x
x 2
1 U ) =e U
1 U
U →0
lim(1 + U )
=e
解
1 lim(1 + ) x →∞ x
＝ [ lim (1 +
x →∞
1 ) ] =e x
1 x 2
x → x0
lim f ( x) = A ，并且 A > 0 （或 A < 0 ） ，则
。 （或
以上性质只对
x → x0
在 x 0 的某一空心邻域内，有 推论 若在
f ( x) > 0 （或 f ( x) < 0 ）
f ( x) ≥ 0
的情况加以叙述，其它 的形式也有类似的结 果。
x0
的某一空心邻域内有 。
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序号 1
复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3 极限的运算法则
2．3．1 极限的性质
定理 1： 唯一性）如果极限 （
讲述 我们先介绍极限的运算 法则 证明从略。
f ( x) ≤ 0
） 且 ，
x → x0
lim f ( x) = A ，则 A ≥ 0 （或 A ≤ 0 ）
2．3．2 极限的运算法则
定理 1： 设 lim
f ( x) = A , lim g ( x) = B ,则
(1)
lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = A ± B lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = A ⋅ B = C .(常数),则 lim[Cf ( x)] = C lim f ( x) = CA
所以
小结：⒈ lim
sin[ f ( x)] tan x 1 − cos x 1 = 1 ； lim ＝1； lim ＝ x →0 x →0 f ( x ) →0 f ( x) x 2 x2 lim
1 x ⒉ lim (1 + ) = e ； lim(1 + x ) x = e x→0 x →∞ x lim ex −1 ln(1 + x ) ＝1； lim ＝1 x →0 x →0 x x
解
lim
x →1
x 2 + 2x + 3 6 ＝ x3 − x + 5 5
在 x=-1 处，分母为零， 不能直接计算极限。
x −1 x → −1 x + 1 x +1 解 因为 lim ＝0 根据无穷大于无穷小的关系 x → −1 x − 1 x −1 所以有 lim ＝∞ x → −1 x + 1
sin 3 x − sin x x →0 x sin 3 x − sin x 2 cos 2 x sin x sin x 解 lim ＝ lim = 2 lim cos 2 x ⋅ lim =2 x →0 x→0 x →0 x →0 x x x sin x 例 12 求 lim x →0 tan x
f (x ) + g (x ) 以 A+B 为极限.
( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) = A + B .
x → x0
→ x0 时，
容易证明：
lim P( x) = P( x0 )
Q( x0 ) ≠ 0
因为
P( x) P( x0 ) = x → x0 Q ( x ) Q( x0 ) lim
(2)
若 g ( x)
(3)
lim
f ( x) lim f ( x) A = = ( B ≠ 0) g ( x) lim g ( x) B f ( x) = A , lim g ( x) = B ，利用 2。2 定理，它们可以分别写为:
证明 因为 lim
f ( x) = A + α ( x) , g ( x) = B + β ( x)
2
sin U =1 U →0 U lim
证明略 例 8、例 9 结果可作 为公式使用。
cos x = 1 − 2 sin 2 = 2 cos 2
解
x sin 2 1 ＝ lim x →0 2 x 2
2
x 2
x −1 2
可证得此结论。
x sin 2 1 1 ＝ lim = 2 x →0 x 2 2 2
4）若
lim
g ( x) 0 为“ ”型时，用因式分解找出“零因子” 。 f ( x) 0
5）结论：
a0 b ,当m = n, b0 ≠ 0, 0 m m −1 a 0 x + a1 x + L + a m lim = 0, 当m p n, x → ∞ b x n + b x n −1 + L + b 0 1 n ∞, 当m f n.
小结：
lim P( x) = P( x0 ) 。
≠ 0 ，则
2） P (x ) 、 Q (x ) 均为多项式，且 Q ( x 0 )
x → x0
lim
P( x) P( x0 ) = Q( x) Q( x 0 )
g ( x) =∞ f ( x)
3）若
f ( x) → 0, g ( x) → A ≠ 0 ，则 lim
0 ”型，先设法 0
约去非零因子。
解
lim
x →1
例5
x2 − 9 x → −3 x 2 + 7 x + 12 lim
解
x2 − 9 ( x + 3)( x − 3) x−3 lim = −6 ＝ lim ＝ lim x → −3 x 2 + 7 x + 12 x → −3 ( x + 3)( x + 4) x → −3 x + 4
例 3 求 lim 注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。
例4 求
x2 −1 lim x →1 x − 1 x2 −1 ( x − 1)( x + 1) ＝ lim ＝ lim( x + 1) = 2 x →1 x →1 x −1 x −1
在 x=-1 处，分母为零， 不能直接计算极限。 “
2
f (x )
为多项
式，所以极限值等于在
例 1 求 lim(3 x
x→2
− x + 5)
x0 处的函数值
因为
解
lim(3x − x + 5) ＝15
2 x→2
f (x ) 为两个多项
式商的极限，且在 x=1 处分母的极限不为零， 所以极限值等于函数 值。
例2
x 2 + 2x + 3 求 lim 3 x →1 x − x + 5
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6）若 α ( x )
序号 4
→ 0, f ( x) 有界，则 lim α ( x) f ( x) = 0 ( x) − g ( x)] 为“ ∞ − ∞ ”型时，一般是通分或有理化后再处
7）若 lim[ f 理。
2．4 两个重要极限
2．4．1 判别极限存在的两个准则
1 2
例 15 计算
lim(1 + 2 x)
x →0 1 x
1 x
2 lim(1 + ) x ＝e2 x→∞ x
1 ⋅2 2x
解
lim(1 + 2 x)
x →0
＝ lim(1 + 2 x)
x →0
= e2
例 16 计算
5 lim(1 − ) x x→∞ x
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− 5 − 5 ( −5 ) 5 x 5 − −5 −5 解＝ lim (1 − ) ＝ lim[1 + ( )] ＝ [ lim (1 − ) 5 ] = e x→∞ x→∞ x →∞ x x x