导数公式大全

注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的
即 f xy( x, y) f yx (x, y)
例 3 设 z arctan xy,
试求函数的四个二阶偏导函数
2z 2z x2 y2
2z x y
2z y x
思考题一
求曲线 y 2x - x3上与 x轴平行
的切线方程.
思考题一解答
y 2 - 3x2 令 y 0 2 - 3x2 0
f yy ( x, y) zyy .
其中 f xy ( x, y) 及 f yx ( x, y) 称为二阶混合偏导数.
类似的，可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而 f x( x, y) ,
f y(x, y)称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数.
(2)把 x - 2当作中间变量， y ' cos( x - 2) ( x - 2) ' cos( x - 2) 1 2x cos( x - 2) 2x
(3)把 cos x当作中间变量，
y ' 1 (cos x) ' - sin x - tan x
cos x
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
记作 f (x) 或 y 或
d2 y dx2 .
如对二阶导数再求导，则
称三阶导数，记作 f (x) 或
d3 y dx 3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4)，y(5)，···，y(n) 或
f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)
= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y .
解 根据乘法公式，有
例2 设函数 z (x2 y 2 ) ln( x2 y 2 ), 求 z z
x y
解：z x
(x2
y2
)x
ln( x 2
y2
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x2
y2
)[ln(x 2
y2
)]x
2x
ln( x 2
y2)
(x2
y2)
x2
1
y2
(x2
y2 )x
2x ln(x2 y2 ) 2x
2x[ln(x2 y2 ) 1]
d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(-sin x) cos x - xsin x
y" -sin x - (sin x x cosx) -2sin x - x cosx
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
yx yu uv vx .
以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
例4.求下列函数的导数：
1）y (3x2 1)3;
(4)
y
'
[cos(3 2x2 )]' cos(3 2x2 )
- sin(3 2x2 ) cos(3 2x2 )
(3
2x2
)
'
-4x
tan(3
2x2
)
例5：求下列函数的导数
（1）y cosx2
（2）y ex2 -3x-2
（3）y ln ln ln x （4）y ln(x x2 1)
导数的基本公式与运算法则
基本初等函数的导数公式
c' 0 (c为任意常数)
(x ) = x -1 .
(ax) = ax lna . (ex) = ex.
(loga
x)
1 x lna
.
(ln x) 1 . x
(sin x) = cos x.
(cos x) = - sin x.
(tan x) = sec2x .
f
y
(1,
-1),
解： f x(x, y) (x3 - 2x 2 y 3y 4 )x 3x 2 - 4xy
f y(x, y) (x3 - 2x2 y 3y4 )y -2x2 12y3
f x(1,1) 312 - 4 11 -1
f y(1,-1) -212 12 (-1)3 -14
x1
2 3
x2 -
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
- 2, - 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y - 4 6
9
9
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
x 1 1 ln x x
1 ln x.
例3
设
y
x x2
-1 1
,
求
y
.
解 根据除法公式，有
y
x - 1
x
2
1
(x2
1)( x
- 1) (x2
- (x2 1)2
1)( x
- 1)
(
x2
1)[(
x)
-
(1)] - [( x2 ) ( x2 1)2
(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数的导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
(arccos x) - 1 , 1- x2
(arctan x )
1 1 x2
,
(arccot
x)
1
-1 x2
.
导数的四则运算
定理2. 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 则它们的和、差、积与商 v( x) (u( x) 0)
u( x) 在 x 处也可导，且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x);
(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
练习：求下列函数的导数(课堂练习) （1）y (-1 x2 )3; (2) y cos 3x； (3) y x2 - 3x 2；
（4）lg cos(3 2x2 )
解: (1) y ' 6x(-1 x2 )2
(2) y ' -3x ln 3sin 3x
(3) y ' 2x - 3 2 x2 - 3x 2
x 2y
二元函数的偏导数的求法
求 z f (x, y) 对自变量 x (或 y)的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和
四则运算法则进行计算.
例1 设函数 f (x, y) x3 - 2x2 y 3y4,
求
f
x
(
x,
y),
f
y
(
x,
y),
f
x
(1,1),
y ' 1- 2x sin(x2 y2 ) 1 2 y sin(x2 y2 )
练习：设函数y y(x)由方程xy y2 2x所确定，求 dy . dx
解：两边分别对x求导，得 (xy) ' ( y2 ) ' 2
y x y ' 2 y y ' 2 (x 2y) y ' 2 - y y' 2- y
2) y sin( x - 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2-x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2-x ) ' 2-x ln 2(-x) ' -2-x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出.
复合函数求导的关键: 正确分解初等函数 的复合结构.
隐函数的导数
y与x的关系由方程F（x，y）＝0确定，未解出因变量的 方程F（x，y）=0所确定的函数y y(x)称为隐函数
例6 设函数y y(x)由方程y 1 xey所确定，求 dy . dx
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' (xey ) ',即
y ' ey x (ey ) ey x ey y '
的二阶偏导数.
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四
个：（用符号表示如下）
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
z x
y
y
z x
2z x y
f xy ( x, y)
zxy;
z y
x
x
z y
2z y x
f yx ( x, y)
zyx ;
z y
y
y
z y
2z y2
(1)](
x
-
1)
(x2
1) - 2x( x ( x 2 1)2
- 1)
2x (x2
x2 1 1)2
.
教材P32 例2 求下列函数的导数：
(1) y x3 - cos x (2) y x2ex
(3)
y
x 1- x2
(4) y 2x3 3x sin x e2
解：
(1) y ' (x3 - cos x) ' (x3) '- (cos x) ' 3x2 sin x
(2)
1 y'
1 x2
- 2x (1 x 2 )2
y"
-
(1 (1
x2 )' x2 )2
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算
复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u(x)在点x可导，函数y＝f (u) 在点u处可导，则复合函数y f (u(x)) 在点x可导，且 dy dy du dx du dx 或记作： dy f '(u) u '(x) dx
类似可得
z y
2 y ln( x 2
y2)
(x2
y2)
2y x2 y2
2 y[ln(x2 y2 ) 1]
二元函数的二阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x,
y),
一般说来仍然是 x , y 的函数，如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在，则称它们的偏导数是 f (x , y)
(2) y ' (x2ex ) ' (x2 ) 'ex x2 (ex ) ' 2xex x2ex (x 2)xex
(3)
y'
x
( 1
-
x
2
)
'
x '(1-
x2 ) - x(1(1- x2 )2
x2 ) '
1-
x2 - x(-2x) (1- x2 )2
1 x2
(1 - x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'-3(x sin x)'0 6x2 - 3(sin x x cos x)
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
例7 设函数y y(x)由方程y - cos(x2 y2 ) x所确定，求 dy .
解：方程两边分别对x求导，得
dx
x ' y ' sin(x2 y2 ) (x2 y2 ) '
1 y ' sin(x2 y2 ) (2x 2 yy ')
1 y ' 2x sin(x2 y2 ) 2 y sin(x2 y2 ) y '
[1 2 y sin(x2 y2 )]y ' 1- 2x sin(x2 y2 )
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw'
补充例题： 求下列函数的导数：