均值不等式的证明方法之欧阳家百创编

柯西证明均值不等式的方法

欧阳家百（2021.03.07）

by zhangyuong （数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥:

一些大家都知道的条件我就不写了

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

这样的步骤重复n 次之后将会得到 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++======++......;,...,2122111

由这个不等式有

n n n n n

n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2121212221)..(..2)2(--=≥-+=即得到

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

例2：

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

例3：

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数

1

()ln

1

x

x

e

f x

e

+

=

-是在R上单调递减

因此

我们要证明：

证明以下引理：

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+，则四维：

一直进行n 次有

)2 (2)

(...)()(221221n n n n x x x f x f x f x f +++≥+++, 令

A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++======++......;,...,2122111 有)()2)2((2)()2()(...)(1A f A n nA f A f n x f x f n n n n n =-+≥-+++

所以得到

所以基本上用Jensen 证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明 而且有些时候这种归纳法比Jensen 的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件