2.2等差数列(一)

讲解范例:
例4. 三个数成等差数列，它们的和为18，
它们的平方和为116，求这三个数.
讲解范例:
例5. 已知四个数成等差数列，它们的和 为28，中间两项的积为40，求这四个数.
例6．已知数列的通项公式为 a n pn q，其中 p, q, 是 常数，且 p 0，那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？
思考:
观察一下面的这四个数列： 0, 5, 10, 15, 20 …… 48, 53, 58, 63 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5 10 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360 这些数列有什么共同特点呢？ ① ② ③ ④
思考:
观察一下上面的这四个数列： 0, 5, 10, 15, 20 …… 48, 53, 58, 63 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5 10 072, 10 144, 10 216, 10 288, 10 360 这些数列有什么共同特点呢？ 以上四个数列从第2项起，每一项与 前一项的差都等于同一个常数. ① ② ③ ④
讲授新课
等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列. 这
个常数叫做等差数列的公差，公差通常
用字母d表示.
注意
(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不 能用前项减后项来求；
注意
(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不 能用前项减后项来求； (2)对于数列{an}，若an－an－1 ＝d(d是与n
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项. a2＋a4＝a1＋a5 a4＋a6＝a3＋a7
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13…
5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项. a2＋a4＝a1＋a5 a4＋a6＝a3＋a7
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项. 不难发现，在一个等差数列中，从第 2项起，每一项（有穷数列的末项除外） 都是它的前一项与后一项的等差中项.
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13…
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13…
在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q, 则am＋an＝ap＋aq.
思考：
数列：1，3，5，7，9，11，13…
思考：在数列中我们知道 首项a1，也知道公差 d,a100=？我们该如何求解 呢？
我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？
通项公式的推导
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d, 则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… 所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + a1 =、+ n、n、d知 d a1 a 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d 三求一
（4）3，3，3，3，… 是
a1=3,d=0
（6）15，12，10，8，6，…
1 1 1 1 (5)1, , , , , 2 3 4 5
不是 不是
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
练习：
教材P 39练习第1、2、4题.
课堂小结
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2.等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).①
推导出公式： an＝am＋(n－m)d . ②
课后作业
1.教材P 40 1
2. 《课堂作业》作业一.
讲解范例:
例2. (1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，
a12＝31，求首项a1与d；
5 (2)已知数列{an}为等差数列， 3 , a 4 3 a7 , 求a 的值. 15 4
讲解范例:
例3. 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽 为110cm，中间还有10级，各级的宽度
成等差数列，计算中间两级的宽度．
若d >0，则该数列为递增数列
若d <0，则该数列为递减数列
练 习 一
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是， 写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，… （2）9，6，3，0，-3…
是 是
a1=1,d=2
a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是
分析：由a, A, b成等差数列得：
ab A a b A, A . 2 ab 反之，若 A , 即A a b A, 2 即a, A, b成等差数列. ab A a , A, b 成等差数列. 2
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项.
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定顺序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
{a 是不是等差数列， 分析：由等差数列的定义，要判断 n } 只要看 a n a n 1(n 2)是不是一个与n 无关的 常数就行了.
解：取数列{a n } 中的任意相邻两项 a n 1与 a n (n 2),
a n a n 1 (pn wk.baidu.comq) [p(n 1) q] pn q (pn p q) p.
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A,
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
ab A a b A, A . 2
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
ab A a b A, A . 2 ab 反之，若 A , 2
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
ab A a b A, A . 2 ab 反之，若 A , 即A a b A, 2
A
无关的数或字母)，n≥2，则此数列是
C B
等差数列，d 为公差；
注意
(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不 能用前项减后项来求； (2)对于数列{an}，若an－an－1 ＝ d（n≥2）
A
或an+1－an ＝ d(d是与n无关的数或字母)，，
C B
则此数列是等差数列，d 为公差；
(3)若d＝0，则该数列为常数列．
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
ab A a b A, A . 2 ab 反之，若 A , 即A a b A, 2 即a, A, b成等差数列.
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
也是1和9的等差中项； 5是3和7的等差中项，
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项， 也是5和13的等差中项.
等差中项：
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项. a2＋a4＝a1＋a5
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d
讲解范例:
例1. (1)求等差数列8，5，2，…的第20项. (2)－401是不是等差数列－5，－9， －13，…的项？如果是，是第几项？
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项? 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 分析（1）由给出的等 解：(1)由题意得： 差数列前三项，先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20 到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 写出通项公式，就可 ∴a20=11-3×20=-49 以求出第20项a20. 分析（2）要想判断 -401是否为这个数列 中的项，关键是要求 出通项公式，看是否 存在正整数n,使得 an=-401。 (2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是： an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项。