6_1离散时间序列的特征描述

随机信号的数字特征
均值
m x [k ] E{ X [k ]}
表示同一时刻的统计平均或集平均， 反应随机信号X[k]在各个时刻的摆动中心
方差
2 2 x [k ] E{( X [k ] mx [k ])2 } E{X 2 [k ]} mx [k ]
表示对平均值的偏离程度, 可能偏离平均值的数学期望
F ( x1 , x2 ; k1 , k2 ) P ( X [k1 ] x1 , X [k2 ] x2 )
N 维分布函数
F ( x1 , x 2 ,, x N ; k1 , k 2 ,k N ) P( X [k1 ] x1 , X [k N ] x N )
离散随机序列的特征描述
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散随机序列的特征描述
平稳随机序列通过LTI系统
经典功率谱估计
现代功率谱估计
第6章 功率谱估计 本章重点：
1.随机信号的概念，随机信号的数字特征描述
2.随机谱的概念 3.经典谱估计和现代谱估计 本章难点： 1.随机谱和确定信号频谱的区别 2.随机信号频谱的评估办法

1 Rx [ n ] 2
即：



Px ()e jn d
Rx [ n] Px ()
DTFT
当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关 函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对。
离散随机序列的特征描述
离散随机序列的特征描述
学 习 要 求
1. 了解平稳各态遍历随机信号的特征描述。 2. 了解平稳各态遍历随机信号通过LTI离散系统 的响应特征。 3. 掌握随机信号自相关函数估计的计算方法。
4. 掌握利用相关法和周期图法进行功率谱估计 的基本原理及方法。
5. 了解现代功率谱估计的基本思想及主要数学 模型。
离散随机序列的特征描述
离散随机序列的特征描述
随机过程与随机信号的基本概念
随机过程的分布函数
随机信号的数字特征
平稳各态遍历随机信号的时域描述
平稳各态遍历随机信号的频域描述
（功率谱密度）
离散随机序列的特征描述
随机过程与随机信号的基本概念
规 律 ， 因 而 无 法 准 确 预 测 未 来 值 其 波 形 的 变 换 不 存 在 任 何 确 定 的 随 机 信 号 是 一 种 不 确 定 信 号 ，
1 2 Px () lim E[ FX (, N ) ] N 2N 1
式中 FX (, N ) 为平稳随机序列X[k] 的2N+1个样本
x[k] 的傅立叶变换
离散随机序列的特征描述
平稳各态遍历随机信号的频域描述(续)
维纳——辛钦公式
Px ()
n
பைடு நூலகம் jn R [ n ] e x
心电图 X(t)
t
离散随机序列的特征描述
噪声电压
随机过程与随机信号的基本概念
X(t)
x1(t )
t
用n部记录仪同时记录n台性能完全相 同的接受机的输出噪声电压波形
x 2 (t )
t
x i (t )
t
离散随机序列的特征描述
xi(t)是随时 间作无规律的 变化且不因具 有相同类型、 相同测试条件 而得到相同的 波形输出。即 使n足够大， 也不可能找到 两个完全相同 的重复波形。 因此，该噪声 电压是个随机 信号。
宽平稳随机序列：
E{ X [k ]} m x
常数 只与时间差有关
E{ X [k ]X [k n]} Rx [n]
离散随机序列的特征描述
平稳随机信号自相关函数特性
(1)对称性（X[k]是实函数）
R x [ n] R x [ n]
(2)极限值
Rx [n] Rx [n]
*
自相关是实偶函数
离散随机序列的特征描述
平稳各态遍历随机信号的时域描述
2. 各态遍历随机信号
集平均等于时间平均
N 1 m x E{ X [k ]} lim x[k ] N 2 N 1 k N N 1 2 2 x E{[ X [k ] m x ] 2 } lim [ x [ k ] m ] x N 2 N 1 k N
t
随机信号在 t1的状态 {xi(t1)} 或 X(t1)表示在 某特定时刻观 察X(t)各样本函 数的取值，称 为随机变量。
t1
状态X(ti)={xi(ti)}是一族随时间变化的随机变量， 可以用概率分布函数和概率密度函数描述。
离散随机序列的特征描述
随机过程与随机信号的基本概念
X(t)
x1(t )
t
X(t)={xi(t)}
随机过程是随 时间变化的随 机变量。 而随机信号是 随机过程所描 述的信号。
x 2 (t )
t
x i (t )
t
随机信号是随机变量的时间过程
离散随机序列的特征描述
随机过程的分布函数
{X[k], kZ}表示一个随机过程 一维分布函数 F ( x, k ) P ( X [k ] x ) 二维分布函数
离散随机序列的特征描述
随机信号的数字特征
自相关函数
Rx [k1 , k 2 ] E{ X [k1 ]X [k 2 ]}
反映随机信号X[k]在任意两个时刻k1、k2的 随机变量X[k1]和X[k2]相似程度 互相关函数
Rxy [k1 , k2 ] E{ X [k1 ]Y [k 2 ]}
依赖关系
n0
R x [0] E{ X [ k ]}
2 2 R x [ ] m x
n
(3)不等式
Rx [0] Rx [n]
自相关在n=0时刻取得最大值
平稳各态遍历随机信号的时域描述
2. 各态遍历随机信号
集平均等于时间平均 集平均：随机信号全部样本的统计平均特性 时间平均：单一样本函数的统计平均特性
离散随机序列的特征描述
平稳各态遍历随机信号的时域描述
1. 平稳随机序列
指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列
严平稳随机序列：
F ( x1 , x2 ,, x N ; k1 , k 2 ,k N ) F ( x1 , x2 ,, x N ; k1 n, k 2 n,k N n)
随机过程与随机信号的基本概念
X(t)
x1(t )
t
x 2 (t )
t
全部可能观测 到的波形记录称 为“样本空间” 或“集合”。
x i (t )
t
而样本空间中的 每个波形记录称 为“样本函数” 或“实现”。
离散随机序列的特征描述
随机过程与随机信号的基本概念
X(t)
x1(t )
t
x 2 (t )
t
x i (t )
N 1 R x [n] E{ X [k ] X [k n]} lim x[k ]x[k n] N 2 N 1 k N
离散随机序列的特征描述
各态遍历随机一定是平稳随机序列，但平稳随
机序列不一定具有各态遍历
离散随机序列的特征描述
平稳各态遍历随机信号的频域描述
功率谱密度