由一道中考试题引发的思考

由一道中考试题引发的思考
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由一道中考试题引发的思考
山东惠民皂户李中学康风星耿方新
中考试题一般都源于教材，是教材知识的的延伸，或拓展，现举一例说明。

原题：（人教版七年级下，26页第6题（2））
2007年福州市中考试题：
如图2，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）
（1）当动点落在第①部分时，求证：；
（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
分析：
这是一道开放型试题，这类试题已成为各地中考的必考试题。

开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识。

过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力。

本题的第一问结论确定，但是P
点的具体位置不确定，需要学生大胆假设确定其位置，可以得到多种证明方法；第二问，实际就转化为了前面提到的教材的原型，而要求直接作答难度相对较小，显然不成立；第三问，开放性比较强，需要对结论进行探索，并且需要分类讨论。

解：（1）解法一：如图9-1，延长BP交直线AC于点E
∵AC∥BD , ∴∠PEA =∠PBD .
∵∠APB =∠PAE + ∠PEA,
∴∠APB =∠PAC + ∠PBD .
解法二：如图9-2，过点P作FP∥AC ,
∴∠PAC =∠APF .
∵AC∥BD, ∴FP∥BD .
∴∠FPB =∠PBD.
∴∠APB=∠APF +∠FPB=∠PAC + ∠PBD.
解法三：如图9-3，
∵AC∥BD, ∴∠CAB +∠ABD = 180°即∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°. 又∠APB +∠PBA+∠PAB= 180°,
∴∠APB=∠PAC +∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或∠APB = 0°，
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.
选择(a) 证明：
如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M
∵AC∥BD ,
∴∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图9-5 ，
∵点P在射线BA上，∴∠APB= 0°.
∵AC∥BD, ∴∠PBD=∠PAC.
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC=∠
PBD.
选择(c) 证明：
如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC∥BD, ∴∠PFA =∠PBD .
∵∠PAC =∠APF +∠PFA,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD .
温馨提示：所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型。

开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。

而要想做好此类试题我认为应从教材入手，教材中的习题和例题都有一定的探索性，我们只有立足教材充分发挥习题的作用，反复推敲，对习题进行一题多解和一题多变的变式训练，引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识发生和发展的过程，增强学生的应变能力，有利于巩固基础知识，发展创新思维，提高数学素养。