第3章-概率与概率分布PPT课件
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第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 概率论课件
前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
3－15
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率与概率分布PPT课件
其概率分布见下表
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
人教A版高中数学必修三课件高一第三章概率.pptx
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)， (p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)， (x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽 到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p1，p1)，共2种．
专题4 几何概型问题
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等
可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于基本事件的个
数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝
m n
求解，因此
需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主 要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能 较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型分别为长度 型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题 作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地 选用几何概型解题．
(2)设身高为176 cm的同学被抽中为事件A. 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学 有： (181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)， (179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)， (176,173)共10个基本事件． 而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)， (178,176)，(176,173)，所以P(A)＝140＝25.
[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02 ＋0.01)×5＝0.3，所以高为05.3＝0.06.频率直方图如下：
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)， (x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽 到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p1，p1)，共2种．
专题4 几何概型问题
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等
可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于基本事件的个
数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝
m n
求解，因此
需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主 要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能 较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型分别为长度 型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题 作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地 选用几何概型解题．
(2)设身高为176 cm的同学被抽中为事件A. 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学 有： (181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)， (179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)， (176,173)共10个基本事件． 而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)， (178,176)，(176,173)，所以P(A)＝140＝25.
[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02 ＋0.01)×5＝0.3，所以高为05.3＝0.06.频率直方图如下：
概率及概率密度分布函数ppt课件
出现A1和单独P出A 现AP2A的i 概率。
i1
假设A为假设干个互不相容随机事件的“或
3.根本随机事件组中各事件的概率归一 . (概率的归一化条件 )
假设A1至An构成一随机根身手件组,亦即 包含了某随机景象一切能够独立出现的 全部根本随机事件n,那么A便是必然事件:
PA PAi 1
i1
[例1-2-2] 硬币的一面刻着国徽，另一面刻着币 值。抛掷一枚硬币，它落地时哪一面朝上是随 机的。我们可以事先商定，令刻着国徽的一面 朝上对应着随机变量X=1，而刻有币值的一面 朝上对应着随机变量X=0。这样，对于并不显 现为某某数量如何的随机事件，也照样能用随 机变量把它们标识出来。
[例1-2-3]气体分子处于不停的、无规那么的热 运动之中，任何单个分子所在的空间位置及运 动速度都在随机地瞬息万变。可以把单个分子 的速率取做随机变量，或者把它的速度分量取 做随机变量组，还可以把它的空间位置坐标取 做随机变量组。
计规律可循 .
伽尔顿板实验 :
如图,一个带有玻璃面板的大盒内用竖直隔板分成许多等宽 的小格，另有一斜放着的、底板面钉有许多小铁钉的木 槽，其开口处与大盒口的一边相接。常叫这种安装为伽 尔顿板。
令小球从钉板上方滚下，它要与板上铁钉进展 无规那么的碰撞，在下滚途中受力的复杂细节 是失去人为控制的，尤其在把不止一个小球乃 至大量小球同时或延续沿钉板撒下时，我们不 能够一一控制它们落下的初始形状，而且它们 除与铁钉碰撞还要彼此碰撞，更使得每个小球 的运动呈现随机形状。虽然各个小球的运动都 服从牛顿力学定律，但它们分开钉槽时的速度 无论在大小还是方向上都具有偶尔性，以致， 就单个小球来说，它滚下后终究会落在大木盒 中的哪一个格子里，是不能预知的。
4.乘法定理
i1
假设A为假设干个互不相容随机事件的“或
3.根本随机事件组中各事件的概率归一 . (概率的归一化条件 )
假设A1至An构成一随机根身手件组,亦即 包含了某随机景象一切能够独立出现的 全部根本随机事件n,那么A便是必然事件:
PA PAi 1
i1
[例1-2-2] 硬币的一面刻着国徽，另一面刻着币 值。抛掷一枚硬币，它落地时哪一面朝上是随 机的。我们可以事先商定，令刻着国徽的一面 朝上对应着随机变量X=1，而刻有币值的一面 朝上对应着随机变量X=0。这样，对于并不显 现为某某数量如何的随机事件，也照样能用随 机变量把它们标识出来。
[例1-2-3]气体分子处于不停的、无规那么的热 运动之中，任何单个分子所在的空间位置及运 动速度都在随机地瞬息万变。可以把单个分子 的速率取做随机变量，或者把它的速度分量取 做随机变量组，还可以把它的空间位置坐标取 做随机变量组。
计规律可循 .
伽尔顿板实验 :
如图,一个带有玻璃面板的大盒内用竖直隔板分成许多等宽 的小格，另有一斜放着的、底板面钉有许多小铁钉的木 槽，其开口处与大盒口的一边相接。常叫这种安装为伽 尔顿板。
令小球从钉板上方滚下，它要与板上铁钉进展 无规那么的碰撞，在下滚途中受力的复杂细节 是失去人为控制的，尤其在把不止一个小球乃 至大量小球同时或延续沿钉板撒下时，我们不 能够一一控制它们落下的初始形状，而且它们 除与铁钉碰撞还要彼此碰撞，更使得每个小球 的运动呈现随机形状。虽然各个小球的运动都 服从牛顿力学定律，但它们分开钉槽时的速度 无论在大小还是方向上都具有偶尔性，以致， 就单个小球来说，它滚下后终究会落在大木盒 中的哪一个格子里，是不能预知的。
4.乘法定理
第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
浙大概率论与数理统计课件第三章多维随机变量及其分布
PXxi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
三、连续型随机变量的边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y ) ， X 和Y 的联合概率密度为 f (x, y)
则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
j1
i1,2,
Xxij 1 Xxi,Yyj
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
PYyj PX x i,Yyj p ijp .j
i 1
i 1
j1,2,
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
数 Fx, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FXx,F Yy, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
F X x P X x P X x ,Y Fx, F Y y P Y y P X , Y y F , y
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P{X=1,
Y=1}
3 1
1 2
1 2
2
=3/8
XY 0
P{X=2,
Y=1}
3 2
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2021
6
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这个事件的概 率，在下表中列出了小麦种子发芽试验记录。
试验种子 粒数n
发芽种子 粒数m
频率 m/n
100 65 0.650
200 300 400 500 600 700 155 204 274 349 419 489 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
3 结果呈现偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固 有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
随机试验（random trial）：一个试验如果满足下述三个特 性， 则称其为一个随机试验
试验可以在相同条件下多次重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
2021
8
概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
2021
9 二、概率的计算
事件的相互关系：
和事件 （Sum event）事件A和B至少有一件发生而构成的新事件称为
事件A和B的和事件，以A+B 或
表示。
独立事件 （independent event）：事件A的发生与事件B 的发生毫无关系，反之，事件B的发生也与事件A的发生毫 无关系，则称A和B为独立事件。 例如，播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒 发芽为事件B，则他们发芽互不影响。
2021
和事件 11
互斥事件
非互斥事件
积事件
2021
对立事件
第3章 概率及概率分布
项兴佳
1
安徽大学资源与环境工程学院
2021
2 一、事件与概率
现象大体上分为两大类：
必然现象(inevitable phenomena)或确定性现象 （definite phenomena）：可预言其结果的，即在保 持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）的现象。
随 机 现 象 （random phenomena） 或 不确定性现象 （indefinite phenomena）：事前不可预言其结果的， 即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果未 必相同。这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定 性现象，称为随机现象。
2021
随机现象或不确定性现象，有如下特点：
2021
10
对立事件（contrary event）：事件A和事件B必有一个事 件发生，但二者不能同时发生，即A+B＝U，A*B＝V，则称 事件B为事件A的对立事件，可表示为 。 例如，新生婴儿是女孩为事件A，男孩为事件 B，现有刚出生婴儿，要么是男孩，要么是女孩，即A+B＝ U，是必然事件，但不能同时是男孩又是女孩，即A*B＝V。
2021
5
频率：在n次试验中，事件Ａ出现的次数m叫做 Ａ在这n次试验中的频数，而Ａ的频数与试验次 数的比叫事件Ａ在n次试验中出现的频率．记为 P(A)=m/n.
概率：就是用来度量每一事件出现的可能性大小 的数字特征。当试验重复数n逐渐增大时，随机 事件A的频率越来越稳定地接近某一数值P，那 么就把 P称为随机事件A的概率。
表示。
例如，在调查棉田病虫害发生情况时，以棉铃虫的发生为事件A，以黄 萎病的发生为事件B，则棉铃虫和黄萎病同时发生这一新事件为A和B的积事件。
互斥事件（mutually exclusive event）：事件A和事件B不能同时发 生，即A*B＝V，那么事件A和事件B互斥。
例如，豌豆的花色为红色和白色，开红花为事件A，开白花为事件B，现 一株F1代豌豆，不可能既开红花又开白花。
12小概率事件实际不可能性原理
随机事件的概率表示了随机事件在一次试验 中出现的可能性大小。若随机事件的概率很 小，例如小于0.05，称之为小概率事件。
小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次 试验中出现的可能性很小，不出现的可能性 很大，以至于实际上可以看成是不可能发生 的。在统计学上，把小概率事件在一次试验 中看成是实际不可能发生的事件，称为小概 率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原 理。小概率事件实际不可能性原理是统计学 上进 2021 行假设检验（显著性检验）的基本依据。
大数定律
13 大数定律（law of large numbers)是概率论 中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的一 系列定律的总称，最常用的是贝努里大数定律 （Bernoulli theorem），可描述为：设m是n次 独立试验中事件A出现的次数，而P是事件A在每 次试验中出现的概率，则对于任意小的正数ε， 有如下关系：
P＝1 为必然事件 贝努里大数定律说明，当试验在不变的条件下，重复次 数n接近无限大时，频率 m/n与理论概率P的差值，必定要 小于一个任意小的正数ε，即这两者可以基本相等，这几乎 是一个必然要发生的事件，即P=1。 同时20我21 们还可以理解为，样本容量越大，样本统计数与 总体参数值差越小。
却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
2021Biblioteka 4随机试验的每一种可能结果，称为随机事件 （random event)，简称事件(event) 。
不能再分的事件称为基本事件。 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
在一定条件下必然会出现的现象叫必然事件。 在一定条件下必然不出现的事件，叫不可能事件。
例如，在检验小麦面粉品质时，随机抽取一个样品的出粉率为81％以下 称事件A，随机抽取另一样品的出粉率为81～85％称为事件B，现抽取一新样 品的出粉率为85％以下，则这一事件为A和B的和事件。
积事件（Product event）：事件A和事件B同时发生而构成的新事件
为事件A和事件B的积事件，以A*B或
随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事 件的概率越来越稳定地接近0.7，我们就把0.7作
为这个事件的概率。
2021
在7 现实中，实验无法做到无数次，事件的概率只能 通过有限的大样本来估计理论概率，称实验概率 (empirical probability)。
m P(A)=P= lim
x n
频率与概率之间的关系，实际上是统计数 与参数的关系。
6
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这个事件的概 率，在下表中列出了小麦种子发芽试验记录。
试验种子 粒数n
发芽种子 粒数m
频率 m/n
100 65 0.650
200 300 400 500 600 700 155 204 274 349 419 489 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
3 结果呈现偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固 有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
随机试验（random trial）：一个试验如果满足下述三个特 性， 则称其为一个随机试验
试验可以在相同条件下多次重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
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概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
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9 二、概率的计算
事件的相互关系：
和事件 （Sum event）事件A和B至少有一件发生而构成的新事件称为
事件A和B的和事件，以A+B 或
表示。
独立事件 （independent event）：事件A的发生与事件B 的发生毫无关系，反之，事件B的发生也与事件A的发生毫 无关系，则称A和B为独立事件。 例如，播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒 发芽为事件B，则他们发芽互不影响。
2021
和事件 11
互斥事件
非互斥事件
积事件
2021
对立事件
第3章 概率及概率分布
项兴佳
1
安徽大学资源与环境工程学院
2021
2 一、事件与概率
现象大体上分为两大类：
必然现象(inevitable phenomena)或确定性现象 （definite phenomena）：可预言其结果的，即在保 持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）的现象。
随 机 现 象 （random phenomena） 或 不确定性现象 （indefinite phenomena）：事前不可预言其结果的， 即在保持条件不变的情况下，重复进行观察，其结果未 必相同。这种在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定 性现象，称为随机现象。
2021
随机现象或不确定性现象，有如下特点：
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对立事件（contrary event）：事件A和事件B必有一个事 件发生，但二者不能同时发生，即A+B＝U，A*B＝V，则称 事件B为事件A的对立事件，可表示为 。 例如，新生婴儿是女孩为事件A，男孩为事件 B，现有刚出生婴儿，要么是男孩，要么是女孩，即A+B＝ U，是必然事件，但不能同时是男孩又是女孩，即A*B＝V。
2021
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频率：在n次试验中，事件Ａ出现的次数m叫做 Ａ在这n次试验中的频数，而Ａ的频数与试验次 数的比叫事件Ａ在n次试验中出现的频率．记为 P(A)=m/n.
概率：就是用来度量每一事件出现的可能性大小 的数字特征。当试验重复数n逐渐增大时，随机 事件A的频率越来越稳定地接近某一数值P，那 么就把 P称为随机事件A的概率。
表示。
例如，在调查棉田病虫害发生情况时，以棉铃虫的发生为事件A，以黄 萎病的发生为事件B，则棉铃虫和黄萎病同时发生这一新事件为A和B的积事件。
互斥事件（mutually exclusive event）：事件A和事件B不能同时发 生，即A*B＝V，那么事件A和事件B互斥。
例如，豌豆的花色为红色和白色，开红花为事件A，开白花为事件B，现 一株F1代豌豆，不可能既开红花又开白花。
12小概率事件实际不可能性原理
随机事件的概率表示了随机事件在一次试验 中出现的可能性大小。若随机事件的概率很 小，例如小于0.05，称之为小概率事件。
小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次 试验中出现的可能性很小，不出现的可能性 很大，以至于实际上可以看成是不可能发生 的。在统计学上，把小概率事件在一次试验 中看成是实际不可能发生的事件，称为小概 率事件实际不可能性原理，亦称为小概率原 理。小概率事件实际不可能性原理是统计学 上进 2021 行假设检验（显著性检验）的基本依据。
大数定律
13 大数定律（law of large numbers)是概率论 中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的一 系列定律的总称，最常用的是贝努里大数定律 （Bernoulli theorem），可描述为：设m是n次 独立试验中事件A出现的次数，而P是事件A在每 次试验中出现的概率，则对于任意小的正数ε， 有如下关系：
P＝1 为必然事件 贝努里大数定律说明，当试验在不变的条件下，重复次 数n接近无限大时，频率 m/n与理论概率P的差值，必定要 小于一个任意小的正数ε，即这两者可以基本相等，这几乎 是一个必然要发生的事件，即P=1。 同时20我21 们还可以理解为，样本容量越大，样本统计数与 总体参数值差越小。
却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
2021Biblioteka 4随机试验的每一种可能结果，称为随机事件 （random event)，简称事件(event) 。
不能再分的事件称为基本事件。 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
在一定条件下必然会出现的现象叫必然事件。 在一定条件下必然不出现的事件，叫不可能事件。
例如，在检验小麦面粉品质时，随机抽取一个样品的出粉率为81％以下 称事件A，随机抽取另一样品的出粉率为81～85％称为事件B，现抽取一新样 品的出粉率为85％以下，则这一事件为A和B的和事件。
积事件（Product event）：事件A和事件B同时发生而构成的新事件
为事件A和事件B的积事件，以A*B或
随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事 件的概率越来越稳定地接近0.7，我们就把0.7作
为这个事件的概率。
2021
在7 现实中，实验无法做到无数次，事件的概率只能 通过有限的大样本来估计理论概率，称实验概率 (empirical probability)。
m P(A)=P= lim
x n
频率与概率之间的关系，实际上是统计数 与参数的关系。