第12章 达朗伯原理

解。——质点系的达朗伯原理 问题：惯性力系（主要是刚体）如何加？
12.2 刚体惯性力系的简化
一、 平动刚体
Qi miaC
12-1
向质心简化：（如图）
主矢——惯性力： Q Qi (miaC ) MaC
主矩——惯性力偶： M gC mC (Qi ) ri ' (miaC ) miri ' aC MrC ' aC 0
12.1 惯性力 达朗伯原理
一、 质点的惯性力、达朗伯原理
静力学问题： F 0 （主动力＋反力）
动力学问题： F 0 ，而是： ma F
→
F ma 0
→
F Q 0
形式上的平衡问题，——质点的达朗伯原理
式中
Q ma
虚加于质点上的力——惯性力
即，对非平衡质点，若虚加上惯性力，则转化为形式上的平衡问题，即质点所受主动力、
作业：12-3、9、11、17、19、21、29、31
12-7
所有惯性力和惯性力偶均已知，对整体列“平衡”
方程，可求出地面反力。
解：I. 求加速度 aC 。 研究重物、轮子、滚子整体，画受力图如图。其中惯性力和惯性力偶大小：
PP FIP a aC
gg
M IO
1 2
Q g
r
2
(1)
Q FIC g aC
M IC
1 2
Q g
r 2
且 aC r
ΣmO (F ) 0
YA FIn mg YB 19.06 103 N
讨论：如果转子静止，易求得静反力：
X
s A
0
N
X
s B
0
N
YAs 1372 N YBs 1568 N
则附加动反力：
X
d A
XA
X
s A
3.000
N
X
d B
XB
X
s B
4.000
N
YAd YA YAs 17.69 103 N
YBd YB YBs 20.21103 N
二、 定轴转动刚体
只讨论平面情形，即绕垂直于质量对称面之轴的转动刚体。
ai ri ， ain ri2 ， Qi miri ， Qin miri2
向轴 O 点简化： （如图）
主矢——惯性力： Q
Qi
(miai )
MaC
MaC
MaCn
Q
Qn
主矩——惯性力偶： M gO mO (Qi ) mO (Qi ) (Qi ri ) (miri2 ) IO
FI maC , FIn maCn , M IO m 2
12-6
式中
aC e ,
aCn
e 2
2 n
(a)
80 rad/s
60
列“平衡” 方程，并考虑(a)式：
mz (F ) 0 M M IO 0
M 12.50 rad s2 m 2
Σmy (F ) 0 X B (L1 L2 ) FI L1 0
此题共写出 3 个动力学方程，3 个运动学方程，求解还是较繁的。 现考虑用动静法求解。 解：画杆受力、运动图，如图。 其中惯性力和惯性力偶：
FIx maCx ,
FIy
maCy
M IC 1 ml2
(a)
12
考虑列“平衡” 方程。由于 NA，TB 不要求，故列方程时尽量避开。
提问：可以么？
ΣmA (F ) 0
选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图
aCx aCy a A aCA
考虑刚才的处理方式，列上式投影方程时 避开 aA，即在 NA 方向投影。
在 NA 方向投影： aCx cos 45 aCy sin 45 0 aC A sin(45 30 ) (3) 式中 aC A l
2 选 B 为基点，C 为动点，画加速度图如图。 aCx aCy aB aCB
将前面结果代入以上三式，解得
Q(Q sin P)
XH
cos
P 2Q
(Q sin P)2 YH P 2Q G
P 2Q
bL
Pb1 sin Q sin P
m (P G) Q cos
22
2 P 2Q
注：由此题可知，达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理等效。故要求用达朗贝尔原理求解 问题时，不能用此二定理，但可用动能定理求加速度。
向质心 C 简化：（如图）
主矢——惯性力： Q Qi (miai ) MaC
主矩——惯性力偶：
M gC mC (Qi ) mC (miaC miair ) (ri ' mi aC ri ' mi air )
mi ri
' aC
mi
ri
'
air
rC
' aC
mi
ri
'
air
例 3 （例 12-7）（转子动反力）——动静法重要应用）
水平转子 m = 300 kg，回转半径 = 0.2 m，偏心距 e
= 2 mm，圆盘位置 L = 0.40 m， L = 0.35 m，起动
1
2
力矩 M = 150 kN·m，在图示位置，转速 n = 2400
rpm。求此时转子的角加速度和轴承动反力。
约束力和惯性力组成形式上的平衡力系，可象静力学一样列平衡方程。
注：有的书（如本书）认为惯性力是质点作用于施力体上的力，但假设加在研究质点上。
这种理解并无更多的意义，且易产生误解。
二、 质点系的惯性力、达朗伯原理
质点系每个质点的惯性力： Qi miai ，则所有质点的惯性力组成一惯性力系。与真实
力系一样，惯性力系可进行简化，特别是对刚体，这种简化非常必要。 给所研究的质点系加上惯性力系后，则转化为形式上的平衡问题，可列任意平衡方程求
TBl cos 30
mg
l cos 30 2
FIx
l sin 30 2
FIy
l cos 30 2
M IC
0
(1)
ΣF 0 为沿斜面方向投影轴，如图。
TB
cos 45
mg
l 2
cos 45
FIx
l 2
sin 45
FIy
l 2
cos 45
0
(2)
考虑(a)式，(1)(2)方程包含 4 个未知量：
aCx， aCy， ， TB 。
例 2（刚体平面运动微分方程。现用动静法求解） 均质杆 AB，质量 m，长 l。在图示位置释放。求此时杆 的角加速度。
解：画杆受力、运动图，如图。
刚体平面运动微分方程
MaCx ΣX (e)
MaCy
ΣY (e)
IC
ΣmC (F (e) )
maCx N Acos45
(1)
maCy N Asin45 TB mg
分析：不用动静法如何求？
转子受力、运动如图。
Iz Σmz (F (e) )
MaCx ΣX (e)
XA XB
MaCy ΣY (e)
Fra Baidu bibliotek
YA YB
dLy
Σmy (F (e) )
dt
XB
dLx
Σmx (F (e) )
YB
dt
考虑用动静法求解。
解：画转子受力、运动图，其中惯性力和惯性力偶向轴上加，如图。
亦可向质心 C 简化： （如图）
主矢——惯性力：完全同上。
主矩——惯性力偶： M gC mC (Qi ) mC (Qi ) (Qi ri ') (mi ri'2 ) IC
三、 平面运动刚体
动系：随质心 C 平动。则
ai aC air ， Qi mi ai mi aC mi air
可见，由惯性力引起的附加动反力（沿径向）比静反力要大得多。所以，对旋转机械，必须 要施以动平衡。 问题：既然达朗伯原理如此好用，是否可不讲三大定理而只讲此原理呢？ 在求解众多动力学问题中，达朗伯原理是好用。但由于其所用物理概念很少，故定性解释某 些问题时受到的局限性也较大，如碰撞问题。三大定理建立了很多概念，故定性解释许多问 题。有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
第 12 章 达朗伯原理
三大定理可解决所有动力学问题，但有些问题的求解并不方便，如多刚体动力学（机器 人——自由度较多），而用分析力学的方法则较方便。分析力学的基础则是
达朗伯原理——用静力学方法解决动力学问题，亦称动静法。 虚位移原理——用动力学方法解决静力学问题 动静法特点：简单、新颖、实用，只用一个概念（惯性力）、一个理论（达朗伯原理）， 而不用前面三大定理中诸多概念（动能、动量、动量矩、功、冲量等）。
达朗伯原理列
mO
(
F
)
0
与动量矩定理
dLO
mO (F (e) ) 等效。
dt
12-2
图示系统。均质滚子 A、滑轮 B 重量和半径均为 Q 和 r， 滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为，重量为 G， 重物重量 P。求滚子运动到斜面中部时，质心 C 的加速 度和地面给三角块的反力。设三较块底边长 b，斜面长 L。 分析：
注 2：在补充运动方程时，用到一些技巧，避开了中间未知量 aA、 aB，只写出 2 个运 动学代数方程。
问题：既然达朗贝尔原理如此好用，是否可不讲三大定理而只讲此原理呢？ 在求解众多动力学问题中，达朗贝尔原理是好用的。但由于其所用物理概念很少，故 定性解释某些问题时受到的局限性也较大，如能量转换、碰撞问题等。三大定理建立了很多 概念，故能定性解释许多问题。
12-5
在铅直方向上投影：
aCy 0 aC B cos 45
(4)
式中 aC B l 2
至此，共 4 个方程，4 个未知量
联立方程(1)~(4)，解得 3 3 g 0.666g rad/s2 6.525 rad/s2 。 13 3 3 l
注 1：应用达朗贝尔原理列力矩平衡方程时，矩心可任意选，但动量矩定理中矩心不能 任意选。所以由动静法写出 2 个动力学方程——比用平面运动微分方程少写 1 个方程；
先考虑求 a 。惯性力中包含 a 。研究对象如何取？
C
C
先尽量不拆开物系。考虑整体，包含地面反力，故
不能求 a 。考虑重物、轮子和滚子组成的物系， C
加惯性力后受力如图。
考虑各惯性力和惯性力偶中的加速度和角加速度
可以统一，N 可以在力矩方程中消去，对 O 列力
矩“平衡” 方程，可求 mO (F ) 0
X B FI L1 4.000N L1 L2
Σmx (F ) 0 YB (L1 L2 ) (FIn mg)L1 0
YB (FIn mg)L1 21.78 103 N L1 L2
ΣX 0 X A X B FI 0
X A FI X B 3.000N
ΣY 0 YA YB FIn mg 0
(FIP P)r M IO (Q sin FIC )r M IC (Q cos N ) OE 0 (2)
考虑滚子受力，列斜面法向平衡方程：
ΣFn 0 N Q cos 0 (3)
将(1)、(3)式代入方程(2)，可求得：
Q sin P
aC
g
P 2Q
II. 求地面反力。
研究整体，画受力图如图。
ΣX 0 X H FIC cos 0
(4)
ΣY 0 YH P 2Q G FIP FIC sin 0 (5)
ΣmH (F ) 0
12-3
bb
mH
( FIP
P)(r
)Q 2
2
M IO
b
(Q sin FIC )(r 2 sin )
(6)
Lb
b
Q cos ( 2 2 cos ) M IC G 3 0
在铅直方向上投影：aCy aA sin 45 aCnA cos 30 (5)
选 A 为基点，B 为动点，画加速度图如图。 在铅直方向上投影：
aB aA aBA
12-4
aCy aA sin 45 aBnA cos 30 (6)
aBA l 联立方程(1)~(6)，得
3 3 g 0.666g rad/s2 6.525 rad/s2 13 3 3 l
(2)
1 ml2 N Acos45 l sin30
12
2
(3)
N Asin45 l cos30 TB l cos30
2
2
选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图。
aCx aCy a A aCA
aC A
l
2
在水平方向上投影： aCx aA cos 45 aC A sin 30 (4)
mi ri
' air
即：
M gC mi ri'2 IC
注意：以上诸式中ε为代数量，故前面有“—”号。但在解题时，总是画出惯性力与惯 性力偶的正确方向，故写惯性力与惯性力偶时总是写成：
Qx MaCx ， Qy MaCy ， M gC IC
例 1 （补充，老书例 14-1） 用达朗伯原理求解