电路理论(2-第六章)
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6 3
100 6 is 3 = sin 3 10 t μ A 3 Z ( 3 ω 1 ) = 374 . 5 ∠ 89 . 19
U 3 = IS 3 Z ( 3ω 1 ) = 33 . 3 × 10
6
2
× 374 . 5 ∠ 89 . 19
12 . 47 ° = ∠ 89 . 2 mV 2
1 直流分量: 直流分量: I O = T
谐波分量: 谐波分量:
∫
T
0
1 i (t ) dt = T
∫
T /2
0
Im I m dt = 2
BKm =
∫ π
1
2π
0
i(ω t ) sin kω td (ωt )
K为偶数 为偶数 K为奇数 为奇数
0 Im 1 2I π = ( cos kω t ) 0 = m π k kπ
一,周期性非正弦函数
f ( t ) = f ( t +KT )
K=1,2,…,n 整数的函数 , , , .
二,谐波分解
∴ f (ω t ) = A0 + ∑ Bkm sin kω t +∑Ckm coskω t
k =1 k =1
∞
∞
1 2π A0 = ∫0 f (ω t )d (ω t ) 2π 1 2π Bkm = ∫ f (ω t ) sin kω td (ω t )
IS0
is1
is 3
is5
代入已知数据: 代入已知数据:
I m = 157 μA , 得: T = 6 . 28μs
直流分量
I m 157 I0 = = = 78 . 5μA 2 2
基波最大值
I 1m =
2Im
π
2 × 1 .57 = = 100 μA 3 .14
三次谐波最大值
I 3m I 5m
4.五次谐波 作用 五次谐波 20
100 is 5 = sin 5 10 6 t A 5
R
is 3
C
u
3
1 1 = 6 12 ω 5C 5 × 10 × 1000 ×10 = 0.2( KΩ )
6 3
ω 5 L = 5 × 10 × 10 = 5kΩ ( R + jX L 5 )( jX C 5 ) Z ( 5ω 1 ) = R + j (5 X L 5 X C 5 )
电路理论
主讲 谢榕
开课单位: 开课单位:电气与电子工程学院电工教学基地
第六章 周期性非正弦 稳态电路分析
主讲 谢榕
第六章
周期性非正弦稳态电路分析
一,非正弦周期交流信号的特点
半波整流电路的输Fra Baidu bibliotek信号
计算机内的脉冲信号 T
t
不是正弦波
按周期规律变化
6-1 周期函数的傅里叶级数 6-1-1 傅里叶级数
i (ω t ) = I 0 +
∑
k =1
I km sin( k ω t + k ψ k )
1 P = T
∫
T 0
u i dt
利用三角函数的正交性,整理后得: 利用三角函数的正交性,整理后得:
P = U0I0 + ∑Uk Ik cosk
k =1
∞
(k = ku ki )
= P + P + P +...... 0 1 2
结论: 平均功率=直流分量的功率+ 结论: 平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率
例. 已知电路中某支路电压和电流分别为
u(t) = 20 +100sin314t 50cos(628t + 30°)
i u
电路元件
+10sin(1256t 20°) V i(t) = 0.1+ cos(314t 60°) + 0.2cos(942t + 45°) +0.1cos(1256t +10°) A
1 2次谐波功率:P = 50×0 = 0 W 次谐波功率: 次谐波功率 2 2
3次谐波功率: P = 0×0.2 = 0 W 次谐波功率: 3 次谐波功率 4次谐波功率:P = 10×0.1×cos(20° 90 10°) = 0.25 W 次谐波功率: 4 次谐波功率
1 2 总功率: 总功率: P = P + P + P + P + P = 2 + 43.3 0.25 = 45.05 W 0 1 2 3 4
X L >> R
20 R
Z (ω 1 ) = 50 KΩ
i s1
C
L
u
1
is1 = 100 sin 10 t μ A
6
6
= I Z (ω ) 100 × 10 U 1 1 1 = 2 5000 = mV 2
50
3.三次谐波 作用 三次谐波
100 6 is 3 = sin 3 10 t A 3
C km =
2
π
∫
2π
0
i (ω t ) cos k ω t d (ω t )
2Im 1 π = sin k ω t 0 = 0 π k
AKm = B + C
2 Km 2 Km
2Im = BKm = kπ
(K为奇数) 为奇数) 为奇数
CKm K = tg =0 BKm
1
iS
Im
t
T/2 T
的最后展开式为: i s 的最后展开式为:
u3
1 1 = 6 12 ω3C 3 ×10 ×1000×10 = 0.33K
20 R
is 3
C L
( R + jX L 3 )( jX C 3 ) Z ( 3ω 1 ) = R + j ( X L 3 X C 3) = 374 . 5 ∠ 89 . 19
°
ω3 L = 3 ×10 ×10 = 3kΩ
若
u (ωt ) = U 0 + ∑ U km sin ( kωt + k )
k =1
则其平均值为: 则其平均值为:
(直流分量) (直流分量) 直流分量
UAV
1 2π = ∫0 u(ωt)dωt =U0 2π
6-3-3
平均功率
0
u (ω t ) = U
+
∞
∑U
k =1
∞
km
sin( k ω t + k )
∞ 2
利用三角函数的正交性得: 利用三角函数的正交性得:
∞
U U = U +∑ k =1 2 2 = U 02 + U 12 + U 2 +
2 0
2 km
结论: 结论:周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值 平方和的方根. 平方和的方根.
6-3-2 平均值
∞
正弦量的 平均值为0 平均值为
°
+ 4 . 166 sin( 5ω t 89 . 53 ) mV
°
计算非正弦周期交流电路应注意的问题
1. 最后结果只能是瞬时值迭加. 最后结果只能是瞬时值迭加. 不同频率正弦量不能用相量相加. 不同频率正弦量不能用相量相加.
U ≠ U0 + Uω1 + Uω 3 + Uω 5 + ...
谐波分量计算结果瞬时值迭加: 瞬时值迭加 第三步 各谐波分量计算结果瞬时值迭加:
U0 = 1.57 mV
= 5000 mV U1 2
u = U 0 + u1 + u 3 + u 5
= 12.47 ∠ 89.2° mV U3 2 = 4.166 ∠ 89.53 mV U5 2
≈ 1 . 57 + 5000 sin ω t + 12 . 47 sin( 3ω t 89 . 2 )
各种频率的谐波分量单独计算: 第二步 对各种频率的谐波分量单独计算:
1. 直流分量 IS0 作用
I S 0 = 78.5A
对直流,电容相当于断路; 对直流,电容相当于断路; 电感相当于短路. 电感相当于短路.所以输出的 直流分量为: 直流分量为:
20 R C
+ u0 +
IS0
U 0 = RI S 0 = 20 × 78 .5 ×10 = 1.57 mV
= A0 + ∑ Akm sin(kωt + φk )
k =1
6-3 周期性非正弦电量的有效值和平均值,平均功率 周期性非正弦电量的有效值和平均值, 6-3-1 有效值
u (ωt ) = U 0 + ∑U km sin(kωt + k )
k =1
∞
1 2π 2 则有效值: 则有效值 U = ∫0 u (ωt)d(ωt) 2π 1 2π = ∫0 U0 + ∑Ukm sin (kωt +k ) d(ωt) 2π k =1
π
0
Ckm =
∫ π
1
2π
0
f (ω t ) cos kω td (ω t )
f (ω t ) = A 0
直流分量
+ A sin( ω t + φ ) 1m 1
基波( 基波(和原 函数同频) 函数同频)
+ A sin( 2 ω t + φ ) 2m 2 + …..
∞
高次谐波
二次谐波 倍频) (2倍频)
6
R
IS0
u0 -
2.基波 作用 基波
i s1 = 100 sin 10 t μ A
6
20 R
1 1 = 6 12 ω 1C 10 × 1000 × 10
i s1
L = 1mH
C
L
u
= 1k
1
ω 1 L = 10 6 × 10 3 = 1k
C = 1000 pF
ω =10 rad /s
6
( R + jX L ) ( jX C ) Z (ω 1 ) = R + j( X L X C ) XLXC L ≈ = = 50 k R RC
2. 不同频率对应的 XC,XL不同. 不同.
�
i S = I 0 + ∑ AKm sin( k ω t + K )
K =1
∞
Im 2Im 1 = + (sin ω t + sin 3ω t 2 π 3 1 + sin5ω t +… ) 5
等效电源
iS
Im
t T/2 T
IS0
is1 is 3 is 5
I m 2I m 1 1 iS = + (sinωt + sin 3ωt + sin 5ω t + …) 2 π 3 5
五次谐波最大值
1 = I 1m = 33 .3μA 3 1 = I 1m = 20μA 5
2π 2 × 3.14 6 = = 10 rad/s 角频率 ω = 6 T 6.28×10
iS
电流源各频率的谐波分量为 电流源各频率的谐波分量为:
Im
t
T/2 T
I S 0 = 78 .5
A
6
i s 1 = 100 sin 10 t A 100 6 is 3 = sin 3 10 t A 3 100 6 is 5 = sin 5 10 t A 5
计算该支路的平均功率 直流功率: 0 解: 直流功率:P = 20×0.1 = 2W
1 P 基频功率: 基频功率: 1 = 100×1×cos(90°+ 60°) = 43.3 W 2
u(t) = 20 +100sin314t 50cos(628t + 30°) +10sin(1256t 20°) V i(t) = 0.1+ cos(314t 60°) + 0.2cos(942t + 45°) +0.1cos(1256t +10°) A
= 208 . 3 ∠ 89 . 53
is 5
Z (5ω1 ) = 208.3∠ 89.53
U 5 = I 5 s Z ( 5ω 1 ) = 20 × 10
6
100 6 = sin 5 10 t A 5
2
208 .3∠ 89 .53
°
4 .166 ° = ∠ 89 .53 mV 2
1 2
6-4 周期性非正弦稳态电路分析
方波信号激励的电路. 例1: 方波信号激励的电路.
iS
Im
+
R
t
T/2 已知: 已知: T
iS
C L
u
-
R = 20 , L = 1mH ,C = 1000 pF I m = 157μA, T = 6 .28 S
求:
u
第一步: 第一步:将激励信号展开为傅里叶级数
100 6 is 3 = sin 3 10 t μ A 3 Z ( 3 ω 1 ) = 374 . 5 ∠ 89 . 19
U 3 = IS 3 Z ( 3ω 1 ) = 33 . 3 × 10
6
2
× 374 . 5 ∠ 89 . 19
12 . 47 ° = ∠ 89 . 2 mV 2
1 直流分量: 直流分量: I O = T
谐波分量: 谐波分量:
∫
T
0
1 i (t ) dt = T
∫
T /2
0
Im I m dt = 2
BKm =
∫ π
1
2π
0
i(ω t ) sin kω td (ωt )
K为偶数 为偶数 K为奇数 为奇数
0 Im 1 2I π = ( cos kω t ) 0 = m π k kπ
一,周期性非正弦函数
f ( t ) = f ( t +KT )
K=1,2,…,n 整数的函数 , , , .
二,谐波分解
∴ f (ω t ) = A0 + ∑ Bkm sin kω t +∑Ckm coskω t
k =1 k =1
∞
∞
1 2π A0 = ∫0 f (ω t )d (ω t ) 2π 1 2π Bkm = ∫ f (ω t ) sin kω td (ω t )
IS0
is1
is 3
is5
代入已知数据: 代入已知数据:
I m = 157 μA , 得: T = 6 . 28μs
直流分量
I m 157 I0 = = = 78 . 5μA 2 2
基波最大值
I 1m =
2Im
π
2 × 1 .57 = = 100 μA 3 .14
三次谐波最大值
I 3m I 5m
4.五次谐波 作用 五次谐波 20
100 is 5 = sin 5 10 6 t A 5
R
is 3
C
u
3
1 1 = 6 12 ω 5C 5 × 10 × 1000 ×10 = 0.2( KΩ )
6 3
ω 5 L = 5 × 10 × 10 = 5kΩ ( R + jX L 5 )( jX C 5 ) Z ( 5ω 1 ) = R + j (5 X L 5 X C 5 )
电路理论
主讲 谢榕
开课单位: 开课单位:电气与电子工程学院电工教学基地
第六章 周期性非正弦 稳态电路分析
主讲 谢榕
第六章
周期性非正弦稳态电路分析
一,非正弦周期交流信号的特点
半波整流电路的输Fra Baidu bibliotek信号
计算机内的脉冲信号 T
t
不是正弦波
按周期规律变化
6-1 周期函数的傅里叶级数 6-1-1 傅里叶级数
i (ω t ) = I 0 +
∑
k =1
I km sin( k ω t + k ψ k )
1 P = T
∫
T 0
u i dt
利用三角函数的正交性,整理后得: 利用三角函数的正交性,整理后得:
P = U0I0 + ∑Uk Ik cosk
k =1
∞
(k = ku ki )
= P + P + P +...... 0 1 2
结论: 平均功率=直流分量的功率+ 结论: 平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率
例. 已知电路中某支路电压和电流分别为
u(t) = 20 +100sin314t 50cos(628t + 30°)
i u
电路元件
+10sin(1256t 20°) V i(t) = 0.1+ cos(314t 60°) + 0.2cos(942t + 45°) +0.1cos(1256t +10°) A
1 2次谐波功率:P = 50×0 = 0 W 次谐波功率: 次谐波功率 2 2
3次谐波功率: P = 0×0.2 = 0 W 次谐波功率: 3 次谐波功率 4次谐波功率:P = 10×0.1×cos(20° 90 10°) = 0.25 W 次谐波功率: 4 次谐波功率
1 2 总功率: 总功率: P = P + P + P + P + P = 2 + 43.3 0.25 = 45.05 W 0 1 2 3 4
X L >> R
20 R
Z (ω 1 ) = 50 KΩ
i s1
C
L
u
1
is1 = 100 sin 10 t μ A
6
6
= I Z (ω ) 100 × 10 U 1 1 1 = 2 5000 = mV 2
50
3.三次谐波 作用 三次谐波
100 6 is 3 = sin 3 10 t A 3
C km =
2
π
∫
2π
0
i (ω t ) cos k ω t d (ω t )
2Im 1 π = sin k ω t 0 = 0 π k
AKm = B + C
2 Km 2 Km
2Im = BKm = kπ
(K为奇数) 为奇数) 为奇数
CKm K = tg =0 BKm
1
iS
Im
t
T/2 T
的最后展开式为: i s 的最后展开式为:
u3
1 1 = 6 12 ω3C 3 ×10 ×1000×10 = 0.33K
20 R
is 3
C L
( R + jX L 3 )( jX C 3 ) Z ( 3ω 1 ) = R + j ( X L 3 X C 3) = 374 . 5 ∠ 89 . 19
°
ω3 L = 3 ×10 ×10 = 3kΩ
若
u (ωt ) = U 0 + ∑ U km sin ( kωt + k )
k =1
则其平均值为: 则其平均值为:
(直流分量) (直流分量) 直流分量
UAV
1 2π = ∫0 u(ωt)dωt =U0 2π
6-3-3
平均功率
0
u (ω t ) = U
+
∞
∑U
k =1
∞
km
sin( k ω t + k )
∞ 2
利用三角函数的正交性得: 利用三角函数的正交性得:
∞
U U = U +∑ k =1 2 2 = U 02 + U 12 + U 2 +
2 0
2 km
结论: 结论:周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值 平方和的方根. 平方和的方根.
6-3-2 平均值
∞
正弦量的 平均值为0 平均值为
°
+ 4 . 166 sin( 5ω t 89 . 53 ) mV
°
计算非正弦周期交流电路应注意的问题
1. 最后结果只能是瞬时值迭加. 最后结果只能是瞬时值迭加. 不同频率正弦量不能用相量相加. 不同频率正弦量不能用相量相加.
U ≠ U0 + Uω1 + Uω 3 + Uω 5 + ...
谐波分量计算结果瞬时值迭加: 瞬时值迭加 第三步 各谐波分量计算结果瞬时值迭加:
U0 = 1.57 mV
= 5000 mV U1 2
u = U 0 + u1 + u 3 + u 5
= 12.47 ∠ 89.2° mV U3 2 = 4.166 ∠ 89.53 mV U5 2
≈ 1 . 57 + 5000 sin ω t + 12 . 47 sin( 3ω t 89 . 2 )
各种频率的谐波分量单独计算: 第二步 对各种频率的谐波分量单独计算:
1. 直流分量 IS0 作用
I S 0 = 78.5A
对直流,电容相当于断路; 对直流,电容相当于断路; 电感相当于短路. 电感相当于短路.所以输出的 直流分量为: 直流分量为:
20 R C
+ u0 +
IS0
U 0 = RI S 0 = 20 × 78 .5 ×10 = 1.57 mV
= A0 + ∑ Akm sin(kωt + φk )
k =1
6-3 周期性非正弦电量的有效值和平均值,平均功率 周期性非正弦电量的有效值和平均值, 6-3-1 有效值
u (ωt ) = U 0 + ∑U km sin(kωt + k )
k =1
∞
1 2π 2 则有效值: 则有效值 U = ∫0 u (ωt)d(ωt) 2π 1 2π = ∫0 U0 + ∑Ukm sin (kωt +k ) d(ωt) 2π k =1
π
0
Ckm =
∫ π
1
2π
0
f (ω t ) cos kω td (ω t )
f (ω t ) = A 0
直流分量
+ A sin( ω t + φ ) 1m 1
基波( 基波(和原 函数同频) 函数同频)
+ A sin( 2 ω t + φ ) 2m 2 + …..
∞
高次谐波
二次谐波 倍频) (2倍频)
6
R
IS0
u0 -
2.基波 作用 基波
i s1 = 100 sin 10 t μ A
6
20 R
1 1 = 6 12 ω 1C 10 × 1000 × 10
i s1
L = 1mH
C
L
u
= 1k
1
ω 1 L = 10 6 × 10 3 = 1k
C = 1000 pF
ω =10 rad /s
6
( R + jX L ) ( jX C ) Z (ω 1 ) = R + j( X L X C ) XLXC L ≈ = = 50 k R RC
2. 不同频率对应的 XC,XL不同. 不同.
�
i S = I 0 + ∑ AKm sin( k ω t + K )
K =1
∞
Im 2Im 1 = + (sin ω t + sin 3ω t 2 π 3 1 + sin5ω t +… ) 5
等效电源
iS
Im
t T/2 T
IS0
is1 is 3 is 5
I m 2I m 1 1 iS = + (sinωt + sin 3ωt + sin 5ω t + …) 2 π 3 5
五次谐波最大值
1 = I 1m = 33 .3μA 3 1 = I 1m = 20μA 5
2π 2 × 3.14 6 = = 10 rad/s 角频率 ω = 6 T 6.28×10
iS
电流源各频率的谐波分量为 电流源各频率的谐波分量为:
Im
t
T/2 T
I S 0 = 78 .5
A
6
i s 1 = 100 sin 10 t A 100 6 is 3 = sin 3 10 t A 3 100 6 is 5 = sin 5 10 t A 5
计算该支路的平均功率 直流功率: 0 解: 直流功率:P = 20×0.1 = 2W
1 P 基频功率: 基频功率: 1 = 100×1×cos(90°+ 60°) = 43.3 W 2
u(t) = 20 +100sin314t 50cos(628t + 30°) +10sin(1256t 20°) V i(t) = 0.1+ cos(314t 60°) + 0.2cos(942t + 45°) +0.1cos(1256t +10°) A
= 208 . 3 ∠ 89 . 53
is 5
Z (5ω1 ) = 208.3∠ 89.53
U 5 = I 5 s Z ( 5ω 1 ) = 20 × 10
6
100 6 = sin 5 10 t A 5
2
208 .3∠ 89 .53
°
4 .166 ° = ∠ 89 .53 mV 2
1 2
6-4 周期性非正弦稳态电路分析
方波信号激励的电路. 例1: 方波信号激励的电路.
iS
Im
+
R
t
T/2 已知: 已知: T
iS
C L
u
-
R = 20 , L = 1mH ,C = 1000 pF I m = 157μA, T = 6 .28 S
求:
u
第一步: 第一步:将激励信号展开为傅里叶级数