论中学数学教学中的具体化原则

论中学数学教学中的具体化原则
胡焕明
（太湖县北中高中邮编：246490）
摘要：本文阐述了数学(尤其是中学数学)抽象性的特征，批判了我国中学数学课堂上过分注重抽象性原则的畸形数学教学观，最后重点举出了中学数学教学中较好的运用了具体化原则的两个案例。

关键词：中学数学，具体化，抽象性,案例
数学是一门高度抽象和逻辑非常严密的学科，数学中公式与符号、定理与法则繁多而抽象。

正是这些特点使得数学规则与性质概括性强，数学语言和过程简洁明了，数学结论适用范围广。

难怪不少学生认为数学晦涩难学，枯燥乏味，公式记不住，习题不会做。

数学既不像物理化学生物那样与生活实际建立了广泛而直接的联系，也不同于语文地理历史那般故事性强，起点较低，易于接受。

尤其到了高中，数学无论是知识的深度和广度还是对学生的能力要求都有着质的飞跃。

集合符号与语言、函数与映射概念、逻辑推理语言、图形语言，还有向量符号语言都相继出现了，学生如果没有较强的数学表征能力，逻辑思维能力和问题分析与领会能力，就很难真正的理解数学，学好数学。

毋庸质疑，数学的这种高度抽象性，对于训练学生的逻辑思维能力具有不可忽略的作用，而且是必不可少的。

但是，这并不意味着数学课程的教学过程中就一味的追求抽象化，而忽略了数学教学的具体化，情景化和生活化。

而事实上，在我国高中数学课堂中，数学的抽
象性和逻辑严密性一直是备受推崇，简直是被神圣化了。

这其实是一种畸形的数学教学观。

但凡观摩一堂高中数学课，就会发现，数学老师最擅长最喜欢满黑板的满课堂的抽象概念、数学符号、逻辑推理、复杂运算。

使人感觉数学就是一门“不食人间烟火”的学科，数学王国就是那么高不可攀难以接近，数学材料内容跟学生的生活经验及心理特点是你那么的不符合，不少数学概念属性脱离了实际生产生活。

以致学生“谈数学色变”，害怕数学，进而又学不好数学。

因而，作为一位中学数学老师，应该纠正这一畸形的数学观，走出误区，在重视数学抽象性的同时，也要做到尽可能的使数学具体化，让学生易于接受和消化。

这既是高中数学的抽象属性决定的，也跟高中生心理特点有关。

很多老师认为，到了高中之后，学生生理心理成熟，具有很强的抽象思维能力，不需要将数学内容具体化。

事实上，这是片面的认识。

学习理论认为，一个人从年龄上来看成熟了，并不意味着其心智也成熟了。

很多高中生在学习一个新的概念的时候，仍然需要实际的模型或者具体的情景来辅助理解，消除心中的疑惑。

譬如，学生在初次接触向量这一概念时，如果老师光从向量的定义、性质、运算法则等这些抽象属性方面讲解，学生可能会初步接受这一系统的数学内容，但学生肯定会有困惑，难以将这一新概念与以前学过的概念建立联系，难以与生活经验建立联系。

如果老师在学习向量这一概念前，让学生先回顾物理中的力、加速度等熟悉的旧概念，那么学生就可以比较轻易的理解向量了，学生们知道力有三要素：起点、方向、大小，知道力可以分解，也可以利用三角形法则与平行四边形
法则合并；这样学生就会比较容易的理解向量的本质，还可以知道向量这个上位概念至少包括力、加速度这些下位概念。

那么，如何实现中学数学具体化呢？大概说来，主要包括以下五个方面：抽象概念形象化，抽象符号具体化，抽象问题情景化，抽象方法直观化，抽象表述通俗化。

在这里我不作展开论述。

我只想举出两个具体的教学案例来抛砖引玉。

案例一：在讲解负数乘以负数这一运算法则时，很多老师先是根据乘法与加法的关系，得出：
（-1）（+3）=-3
（-1）（+2）=-2
（-1）（+1）=-1
（-1）（0）=0 。

于是，按照以上一系列的递推规律，就得出了：
（-1）（-1）=+1
（-1）（-2）=+2
（-1）（-3）=+3 。

这样处理负负得正这一运算法则，有些牵强，学生并不能真正领会。

有没有一些更好的方法，使学生有更加直观的感受？一位美国学者设计了一个实验来说明这一法则：有一个容器里装有3升水，若用量杯每分钟可以量取1升水，那么一分钟后，容器里就只剩下2升水，两分钟后就只剩下1升水，三分钟后容器里就没有水了。

然后用一个性
能好的摄象机把这一过程拍摄下来。

现在我们把摄象机里的内容倒过来，这样时间就倒流了（可以认为是负数），当把时间倒推三分钟，容器里就又装了3升水啦，即（-1）（-3）=+3 。

这样解释乞不妙哉？还有一种不错的解释。

我们可以把好人规定为正的，则坏人规定为负的；把进村规定为正的，离开村子为负的。

那么：
1．若好人进入村子里，这对村子有利，（+）（+）=+ ；
2．若好人离开村子了，这对村子不利，（+）（-）=- ；
3．若坏人进入村子里，这对村子不利，（+）（-）=- ；
4．若坏人离开村子了，这对村子有利，（-）（-）=+ 。

为什么负负得正，这个案例就给学生一个很直观形象的解释了，而且不失幽默。

如果学生听了这样的讲解，不仅会乐意听下去的，还会理解得非常透彻的。

案例二：这是我自己在带家教时切身体会到的。

在讲到高中数学课中的正弦定理的时候，有这样一个问题：如果已知两条边和一个对角，需要学生求出剩下的那个对角。

这是一个比较棘手的问题，因为有好几种情况出现：有可能求不出那个对角，也有可能只能求出一个锐角，还有可能同时求出一个钝角和一个锐角来。

对于这些情况，我们该如何讲给学生呢？第一次讲解的时候，我就按照正弦定理，把各种情况逐一逐一的讲解说明，好象是讲清楚了；但学生普遍反映听得很迷糊，太烦琐。

第二次讲的时候，我就直接构造了一个学生们在初中已经学过的几何图形（如下面左图所示）。

其中，∠A=36,∠C=∠ABC=72,BD平分∠ABC。

很明显，若已知∠A=36，边c和a的长度，则根据正弦定理，可以求出c的对角有两种情况：∠BAC=72或者∠ADB=108。

按照这种方式讲解时，学生只有记住了这一经典的几何模型，就会理解上面罗列的所有情况了。

因为我们可以进一步分析：如下面右图所示，过点B点作CD的垂线，垂足为点E，再以B点为圆心，a为半径画圆B，则与AC有两个交点D与C，从而有两种情况。

对于以上问题再据此作更一般的推广：
1.若sin
a c A
〉•=BE，圆B与AC直线有两个交点，于是边c的对角有两个，且它们互补。

2.若sin
=•=BE，圆B与AC直线有一个交点，于是边c的对
a c A
角有一个，且为直角。

3.若sin
〈•=BE，则B与AC直线没有交点，从而不存在这样的
a c A
三角形。

如此教学效果明显要好许多，不仅推理过程很流畅，学生也容易接受，而且学生不容易忘记。

究其原因，我所构造的那一直观的众所周知的几何模型，本身已经揭示了其中的本质原因。

由此可见，在具体的数学教学工作中应该充分地认识和适应学生在成长发育过程中的心理特点,努力使抽象的高中数学具体化，从而让数学走出王宫，走向大众，走下金字塔，走进生活实际。

［1］A lfred S.Posamentier ﹠Herbert A.Hauptman，101+
GREAT IDEAS for Introducing Key Concepts Mathematices
﹠［M］.CORWIN PRESS.
［2］郑新君，如何使抽象的高中数学具体化[J]，中国科技创新
导刊，2009（18）.。