巧构造,妙解题
高考数学复习点拨巧构造妙解题
指数函数的单调性是指数函数的重要性质， 灵活应用此性质可以解决一些与之相关的问 题，使一些看似复杂的问题， 通过构造指数函数轻松获解． 那么在具体问题中应如何构造函 数呢？下面结合几例加以剖析．
一、确定代数式的符号
例 1 已知 x， y R ，3x 3y 3 x 3 y ，判断 x y 的符号．
c 1．
a
a
x
x
因为 f ( x) b
c 在 R 上是单调递减函数，
a
a
用心 爱心 专心
bc
所以若 m 1，则 f (1)
1，即 b c a ，显然不能构成三角形；
aa
若 m 1，则 f (m) f (1) ，
m
m
b 又 f (m)
c
1， f (1)
b
c
，
a
a
a
因此 b c a ，故能构成三角形；
5a
a 的取值范围．
x
x
解：据方程有负实根，并注意到 y 3 是单调递减的，从而得到
3
1，
4
4
于是问题就变为解不等式
评析： 本题构造函数 y
3a 2
3
1 ，可知 a 5 ．
5a
4
x
3
是关键，利用函数与方程的关系使问题得以顺利解决．
4
三、判断几何图形形状
例３ 已知 a，b，c， m 都是正数，且 am bm cm ，
m
c
1，
a
用心 爱心 专心
求当 m 取何值时，长分别为 a， b，c 的三条线段能构成三角形？
解：由于 am bm cm ，且 a，b，c， m 都是正数，
巧用构造法妙解最值题
正解：去括号，得８髫一４—３０ｘ一６＝２４．
防错诀窍：去括号、不漏乘；正不变、负改变．
三、移项
常常是把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程
右边．注意移项要变号，其理论依据是等式性质１． 例３ ８ｘ一４—３０ｘ一６＝２４．
错解：移项，得８ｘ＝３０ｘ＝２４＋４—６． 错因分析：（１）一３０ｘ仍在方程左边，没有移项，不应变号； （２）一６由等号左边移项到等号右边应变为６． 正解：移项，得８ｘ～３０ｘ＝２４＋４＋６． 防错诀窍：移项易、符号变． 四、合并同类项 根据法则将同类项合并，要防止发生符号错误和分组错误． 例４ ８ｘ一３０ｘ＝２４＋４＋６．
于是Ｐ到ＢＢ’的距离最大，即将直线向上平移到与抛物线有唯
一交点Ｐ处．设与直线ＢＢ’平行的直线Ｚ的解析式为Ｙ＝一算＋
ｍ，与Ｙ＝一ｚ２＋（√３—１）ｚ＋√３联立，消元后令ａ＝０可得所求．
点评：涉及底边为定值，且三角形第三个顶点在函数图象上
运动的面积类最值问题，常可借助一元二次方程根的判别式加
以解决．
三、利用函数构造反比例函数的性质
最多有４４名同学．
点评：在解决有关“不足、至少、至多、不超过”等的最值问
题时，尝试将如上关键词准确转化为不等量关系，并用不等式
加以刻画往往能收到较好的解决效果．
２．构造方程
例４（芜湖卷）如图２，在平面 直角坐标系中放置一直角三角板，其
顶点为Ａ（一１，Ｏ），曰（０，√３），０（０， ０），将此三角板绕原点Ｄ顺时针旋转 ９００，得到ＡＡ’Ｂ’０．
错解：合并同类项，得２２ｘ＝３４． 错因分析：系数相加时忘记符号的判断． 正解：合并同类项，得一２２ｘ＝３４． 防错诀窍：合并时、准确算；一判号，二定值． 五、系数化为１ 根据等式性质２在方程两边同时除以未知数的系数或乘以 它的倒数进行计算．易发生两种类型错误，一是符号错误，二是
巧构造妙解题
巧构造妙解题
高琴
1. 直接构造
例1. 求函数的值域。
分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令，则表示单位圆
表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线
的斜率。
显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为
1，即
所以
故
例2. 已知三条不同的直线，，
共点，求的值。
分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。
解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即
（*）
由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知
2. 由条件入手构造
例3. 已知实数x，y，z满足，求证：
分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
解：构造一元二次方程
其中x，y为方程的两实根
所以
即
故△＝0，即
3. 由结论入手构造
例4. 求证：若，，则
分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。
所以左边
故原式得证。
例5. 已知实数x，y满足，求证：
分析：要证原式成立，即证
即证
由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以
故结论成立。
巧妙构造函数 破解三类题型
中孝生皋捏化解题篇创新题！溯源高二数学2021年5月巧妙构造函数破解三类题型■河北师范大学附属实验中学闫文娟函数是支撑数学学科知识体系的重要内容，反映了客观世界两个集合间的对应关系&而导数是研究函数性质的有力工具，是高考的热点话题。
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数解题的思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面浅谈巧妙构造函数，合理运用导数，破解三类题型，旨在抛砖引玉$一、由“导^寻“源™妙解函数不等式在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型，这类题型涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由于抽象而造成的解题障碍，不能从容应对不等式的求解问题。
实际上，根据所给不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法$!!62020年河南信阳高中期末】已知函数f(')在R上存在导函数对于任意的实数都有f(!'"=A2'，当'V0时&f一)f{'"+f('">0,若e"f(2"+1"% f("+1),则实数"的取值范围是("$A. B.[-2#.[0,+7) D.(—7,0,解析：令g('"=e'f('"则当'V0时& g f('"=e'「f('"+?('),>0,g(')在(—7,0)上单调递增又g(—'"=e'f(—'"=e'f('"= g(c",故 g('"为偶函数，g(')在(0,+7"上单调递减$从而e"f(2"+1"%f("+1"等价于e2"+1f(2"+1"%e"+1f("+1",g(2"+1"% g(,"+1" $因此，I2"+1I'二I"+1I，即(2"+1)2'二2("+1"2,3"2+2"'0,解得一3'"'0,选B$点睛：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法。
巧用构造法解答数学难题
巧用构造法解答数学难题马沁芳(福建省龙岩初级中学ꎬ福建龙岩３６４０００)摘㊀要:解题教学是初中数学教学中的重要环节ꎬ主要检测学生综合运用所学知识处理问题的能力.在初中数学教学中存在一些较难的问题ꎬ对学生的解题水平要求较高.从本质来看ꎬ解题过程即为条件向结论转化的过程ꎬ只不过面对难度较大的数学问题时ꎬ学生无法轻松找到转化方法.教师可指导学生结合条件和结论的特殊性ꎬ建构已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ从而顺利解答数学难题.关键词:初中数学ꎻ构造法ꎻ转化ꎻ数学难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００６５－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:马沁芳(１９７９.２－)ꎬ女ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀构造法指的是当采用常规方法㊁按照定向思维无法处理某些数学问题时ꎬ可基于已知条件与所求结论的特殊性ꎬ从新角度出发ꎬ运用新观点去观察㊁分析与理解问题ꎬ把握已知条件和所求结论之间的内在联系ꎬ运用问题的数据㊁外形㊁坐标等特征ꎬ构造新数学对象ꎬ由此达到解题的目的.在初中数学解题训练中ꎬ针对一些难题ꎬ学生运用常规方法和定向思维很难解决ꎬ教师可指引学生巧用构造法ꎬ结合题设条件和结论构造新对象ꎬ最终解答数学难题[１].１巧妙构造方程ꎬ解答数学难题方程是学生从小学时期就开始学习的一类数学知识ꎬ步入初中阶段以后ꎬ学生需学习更多有关方程的内容.除一元一次方程以外ꎬ还涉及一元二次方程㊁方程组㊁分式方程等知识ꎬ属于初中数学教学的一项重要内容ꎬ在解题中有着广泛应用.在初中数学解题训练中ꎬ有的题目难度较大ꎬ教师可指引学生结合题干中提供的条件和数量关系构造新方程ꎬ获得全新的解题思路ꎬ让学生结合方程知识转化问题ꎬ难题就迎刃而解[２].例１㊀已知ｘꎬｙꎬｚ是三个互不相等的实数ꎬ且ｘ>ｙ>ｚꎬ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ那么ｘ＋ｙ的范围是什么?分析㊀题目中给出的方程关系较为特殊ꎬ是三元一次方程与三元二次方程形式ꎬ学生采用常规方法很难进行解题.此时ꎬ教师可指导学生运用构造方程的方法ꎬ将已知条件与所求结论联系到一起ꎬ利用方程知识求得结果.解㊀根据ｘ＋ｙ＋ｚ＝１可得ｘ＋ｙ＝１－ｚꎬ两边同时平方ꎬ得ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝１－２ｚ＋ｚ２.又因为ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ所以ｘｙ＝ｚ２－ｚ.由一元二次方程的根与系数的关系可以看出ꎬｘꎬｙ是方程ｍ２＋(ｚ－１)ｍ＋(ｚ２－ｚ)＝０两个不相等的实数根ꎬ再结合Δ>０可以得到－１３<ｚ<１ꎬ即为－１３<１－(ｘ＋ｙ)<１ꎬ则ｘ＋ｙ的范围是４３>ｘ＋ｙ>０.例２㊀已知实数ｘꎬｙꎬｚ满足ｘ＋ｙ＝３ꎬｚ２＝ｘｙ＋ｙ－４ꎬ求ｘ＋３ｙ＋２ｚ的值.分析㊀这是一道比较特殊的代数式求值类问题.教师可要求学生先对题目中的条件展开变形ꎬ把５６原式转变成两个式子的求解问题ꎬ再观察两个已知式子的形式ꎬ通过变形以后构造新方程ꎬ然后让学生结合方程的相关知识求解.解析㊀根据题意可得(ｘ＋１)＋ｙ＝４ꎬ(ｘ＋１)ｙ＝ｚ２＋４ꎬ通过观察易发现ꎬｘ＋１ꎬｙ是一元二次方程ｔ２－４ｔ＋ｚ２＋４＝０的两个实数根ꎬ然后结合一元二次方程根的判别式确定方程根的情况即可解决问题ꎬ求解过程从略.２巧构造不等式ꎬ解答数学难题不等式是用 >ꎬ<ꎬȡꎬɤꎬʂ 等符号表示大小关系的式子ꎬ学生在小学阶段也有所接触.在初中数学学习中ꎬ学生学习的不等式知识难度更大ꎬ深度也有所提升ꎬ涉及一元一次不等式㊁一元一次不等式组等内容ꎬ不少问题中都会用到不等式相关知识.在初中数学解题教学中ꎬ当遇到部分难题时ꎬ教师需提示学生注意题目中 最大 最小 不低于 不高于 等关键词ꎬ引导其尝试构造不等式模型ꎬ然后利用不等式知识解答难题[３].例３㊀已知某工厂存储有甲㊁乙两种原料ꎬ质量分别为３６０ｋｇ和２９０ｋｇꎬ现在准备利用这两种原料生产Ａ㊁Ｂ两种商品共计５０件ꎬ其中生产一件Ａ商品需要甲㊁乙两种原料分别为９ｋｇ㊁３ｋｇꎬ利润是７００元ꎬ生产一件Ｂ商品需要甲㊁乙两种原料分别为４ｋｇ㊁１０ｋｇꎬ利润是１２００元.(１)根据条件和要求生产Ａ㊁Ｂ两种商品一共有多少种方案?(２)设生产Ａ㊁Ｂ两种商品获得的总利润是ｙ(元)ꎬ生产Ａ商品ｘ件ꎬ请写出ｙ与ｘ之间的函数关系式ꎬ且利用函数的性质说明哪种生产方案能够获得最大利润?最大利润为多少?分析㊀先把题目中的文字语言转变成规范的数学语言ꎬ根据已知条件利用构造法建立一个不等式组ꎬ再结合不等式知识处理函数问题ꎬ然后根据实际生产情况确定方案.解㊀(１)设生产Ａ商品ｘ件ꎬ则Ｂ商品的数量为(５０－ｘ)件ꎬ根据题意可得不等式组９ｘ＋４(５０－ｘ)ɤ３６０ꎬ３ｘ＋１０(５０－ｘ)ɤ２９０.{解之得３０ɤｘɤ３２ꎬ由于ｘ的值只能是正数ꎬ故ｘ只能取３０ꎬ３１ꎬ３２ꎬ也就是Ａ商品的件数ꎬ那么根据(５０－ｘ)可以求得Ｂ商品的件数分别是２０ꎬ１９ꎬ１８ꎬ则一共有３种生产方案ꎬ即Ａ商品３０件ꎬＢ商品２０件ꎻＡ商品３１件ꎬＢ商品１９件ꎻＡ商品３２件ꎬＢ商品１８件.(２)根据题意可得ｙ＝７００ｘ＋１２００(５０－ｘ)＝－５００ｘ＋６００００ꎬ根据一次函数的性质可知ꎬ该函数中ｙ随ｘ的增大而减小ꎬ所以当ｘ＝３０时有最大利润ꎬ即生产Ａ商品３０件㊁Ｂ商品２０件获得的利润最大ꎬ此时ｙ＝－５００ˑ３０＋６００００＝４５０００ꎬ最大利润为４５０００元.ｙ与ｘ之间的函数关系式ｙ＝－５００ｘ＋６００００ꎬ由此可知ꎬ(１)中的方案１获得的利润最大ꎬ最大利润是４５０００元.３巧妙构造函数ꎬ解答数学难题函数在初高中数学课程体系中占据着重要地位ꎬ学好函数知识能够为数学学习带来诸多便利.原因在于不少题目都能够借助构造函数的方法解决ꎬ即使无法直接求解ꎬ也能够打开解题思路[４].例４㊀如图１所示ꎬ一位篮球员进行投篮练习ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ然后顺利命中篮筐ꎬ其中篮筐的高度是３.０５ｍ.图１㊀篮球的运行路线图(１)篮球在空中运行的最大高度是多少?(２)假如该篮球运动员在跳投时ꎬ篮球出手距离地面的高度是２.２５ｍꎬ那么他距离篮筐中心的水平距离是多少?分析㊀对于问题(１)ꎬ应该把整个函数图象构造出来ꎬ求出篮球在空中运行过程中距地面的最高点ꎻ对于问题(２)ꎬ要构造平面直角坐标系ꎬ结合二次函数知识与图象的性质等求解问题ꎬ从而求出运动员与篮筐中心之间的水平距离.６６解㊀(１)根据已知条件可知ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ该抛物线的顶点坐标是(０ꎬ３.５)ꎬ如图１所示大致画出篮球的运行路线ꎬ即为该抛物线的一部分ꎬ验证后可知最高点在函数的定义域内ꎬ由此可知篮球运行的最大高度是３.５ｍ. (２)建立如图１所示的平面直角坐标系ꎬ审题后可以发现求出该运动员位置的横坐标就是问题的答案ꎬ篮筐处的高度是ｙ＝３.０５ｍꎬ由此可知ｘ＝１.５ｍꎻ再根据该篮球运动员的出手高度ｙ＝２.２５ｍꎬ此时ｘ＝－２.５(ｘɤ０)ꎬ则运动员距篮筐中心的水平距离是４ｍ.例５㊀已知分式ｘ－３ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ无论ｘ取何值ꎬ该分式都有意义ꎬ那么ｍ的取值范围是什么?分析㊀因为本题中的分式恒有意义ꎬ这说明分母ｘ２－６ｘ＋ｍ的值永远不会是０.可据此构建一个二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ把分式问题转变为一个二次函数取值问题进行研究ꎬ结合二次函数的性质来解题ꎬ找出ｙʂ０的情况ꎬ以此确定ｍ的取值范围.解㊀令ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ根据题意可知ꎬｙ的值永远都不等于０ꎬ由于该抛物线的开口方向是向上的ꎬ所以该二次函数的图像不会与ｘ轴相交ꎬ则Δ＝３６－４ｍ<０ꎬ解之得ｍ<９ꎬ即为ｍ的取值范围是ｍ<９.４巧妙构造图形ꎬ解答数学难题初中数学课程主要分为代数与几何两大方面的内容.用构造法解答数学难题时ꎬ不仅可以根据题意构造代数方面的式子ꎬ还能够构造出相应的几何图形ꎬ利用数形结合思想解题.在初中解题教学中ꎬ将 数 和 形 结合起来ꎬ不少难题就易于解答.例６㊀如图２所示ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ相交于点Ｏꎬ而且ＡＣ与ＢＤ的长度相等ꎬ点ＥꎬＦ分别为对角线ＡＢ与ＣＤ的中点ꎬＥＦ分别同ＢＤꎬＡＣ相交于点ＧꎬＨ.求证:ＯＧ＝ＯＨ.分析㊀在几何图形中出现多个中点ꎬ大多数情况下都要利用中位线的性质进行解题ꎬ所以本题可以先取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦꎬ因为ＥꎬＦꎬＭ分别是ＡＢꎬＣＤꎬＢＣ的中点ꎬ由此可构造中位线ＥＭꎬ图２㊀例６题图ＭＦꎬ然后结合三角形中位线定理解题.先证明әＥＭＦ是等腰三角形ꎬ根据 等边对等角 ꎬ即可证明øＭＥＦ＝øＭＦＥꎬ利用平行线的性质证明øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ最后根据 等角对等边 即可解决问题.解㊀如图２所示ꎬ取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦ.因为ＭꎬＦ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ则ＭＦʊＢＤꎬＭＦ＝ＢＤ.同理可得ＭＥʊＡＣꎬＭＥ＝ＡＣ.因为ＡＣ＝ＢＤꎬ所以ＭＥ＝ＭＦꎬøＭＥＦ＝øＭＦＥ.又因为ＭＦʊＢＤꎬ所以øＭＦＥ＝øＯＧＨ.同理可得øＭＥＦ＝øＯＨＧꎬ所以øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ所以ＯＧ＝ＯＨ.５结束语在初中数学解题教学中ꎬ有的题目难度比较大ꎬ采用常规方法和思路很难解答.面对这些难题ꎬ教师可引导学生巧妙运用构造法ꎬ重新处理题目中给出的条件和结论.把问题与熟悉的理论知识联系起来ꎬ通过构造方程㊁不等式㊁函数㊁几何图形等数学模型把问题实质清楚地反映出来ꎬ架构起结论和条件之间的桥梁ꎬ让学生从中寻求解题问题的切入点ꎬ确定合适的解题方案ꎬ继而准确解答数学难题.参考文献:[１]连继莹.例说初中数学的解题方法:以 构造法 为例[Ｊ].中学课程辅导(教师教育)ꎬ２０２１(９):１１４.[２]吴月红.巧用构造法解初中数学题[Ｊ].语数外学习(初中版)ꎬ２０２０(８):２８－２９.[３]张梅.构造法在初中数学解题中的有效运用[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(４):８０－８１. [４]张文贺.初中数学解题技巧的有效运用[Ｊ].数学大世界(下旬)ꎬ２０２０(１):７７.[责任编辑:李㊀璟]７６。
巧妙构造图形解决数学问题
巧妙构造图形解决数学问题【摘要】在数学问题解决过程中，巧妙构造图形常常起着关键作用。
通过利用几何图形的特性，我们可以更轻松地解决复杂的数学难题。
形状的对称性可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
通过观察图形的变换以及规律，我们能够更快地找出解题思路。
构造图形并用它们证明数学定理，不仅使证明过程更加清晰，也深化了我们对定理的理解。
通过图形解释抽象的数学概念，我们能够更直观地理解和应用这些概念。
巧妙构造图形可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，是解决数学难题的有力工具。
在解决数学问题时，我们应该尝试从图形构造的角度入手，以提升解题效率和深化对数学问题的理解。
【关键词】巧妙构造图形解决数学问题、几何图形、对称性、图形变换、证明数学定理、抽象数学概念、直观理解、解决数学难题、工具、图形构造、数学问题、图形构造的角度。
1. 引言1.1 巧妙构造图形解决数学问题在数学领域，巧妙构造图形成为了一种常见的解决问题的方法。
通过利用几何图形的特性，我们可以更加直观地理解和解决数学难题。
图形在数学中扮演着重要的角色，它们能够帮助我们简化计算过程，找出规律，构造证明数学定理，解释抽象概念。
利用几何图形的特性解决数学难题是一种常见的方法。
在解决几何问题时，通过构造辅助图形，我们可以得到更多的信息，从而找到解题的突破口。
图形的直观性使得复杂的数学问题变得易于理解和解决。
利用形状的对称性也可以简化计算过程。
对称性是图形的重要特征，通过观察和利用图形的对称性，我们可以推导出一些结论，从而更快地解决数学问题。
利用图形的变换找出规律也是一种常见的方法。
通过对图形进行平移、旋转、反射等操作，我们可以发现一些隐藏的规律，从而推断出数学定理或结论。
巧妙构造图形可以帮助我们更直观地理解数学问题，图形构造是解决数学难题的有力工具。
在解决数学问题时，不妨尝试从图形构造的角度入手，这可能会为我们带来意想不到的启发和发现。
2. 正文2.1 利用几何图形的特性解决数学难题利用几何图形的特性解决数学难题是数学中常用的一种方法。
巧构造、妙解证
巧构造、妙解证江西省万安县万安二中 肖华英 （邮编343800）构造是几何解题中常用的技巧，它是根据题设条件或结论将原图形构造为特殊的几何图形，以沟通题设条件与结论之间的联系，从而达到快速解题的目的，下面分别举例说明：一．构造圆形例1．如图1，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，∠BCD=140°．求∠BAD 的度数．分析：观察已知条件，由AB=AC=AD ，联想圆的定义可知B 、C 、D 三点是在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．因此作出辅助圆，问题就容易解决了．简解：以A 为圆心，AB 为半径作圆，并在优弧上任取一点E ，连接EB 、ED ．∵四边形EBCD 为⊙A 内接四边形，∠BCD=140° ∴∠E=40°，∴∠BAD=2∠E=80°．二．构造三角形例2．某片绿地的形状如图2所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长（精确到1m ，732.13 ）分析：本题已出现特殊角，若能把它放在直角三角形中，问题就容易解决了，为此可延长AD 、BC 交于E ，这样就能把原图形构造成一个直角三角形． 简解：延长AD 交BC 的延长线于点E ，则在Rt △ABE 中，易知BE=2003m ，AE=400m在Rt △CDE 中，CE=200m ，DE=1003m 则AD=400－1003≈227m BC=2003－200≈146m故：AD ≈227m BC ≈146m三．构造平行四边形例3．如图3在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 垂直相交于O ，MN 是梯形的中位线，∠DBC=30°，求证：AC=MN 分析：本题利用“三角形全等”和“等角对 等边”等常用方法来证AC 与MN 相等是很困难的，根据30°角和梯形中 位线的性质，需要添加辅助线，构成 平行四边形．简证：过D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于E ，则四边形ACED 为平行四A D EB C 图2 A DN E C M B O 图3 图1边形，且∠BDE=90°∴CE=AD ， AC=DE在Rt △BDE 中，∠DBE=30°∴DE=21（BC+CE ）=21（BC+AD ） ∴AC=21（BC+AD ） 又∵MN=21（BC+AD ） ∴AC=MN 四．构造菱形例4．凸五边形ABCDE 中，有∠A=∠B=120°（如图4）．EA=AB=BC=2，CD=DE=4，求凸五边形ABCDE 的面积． 分析：此图形是不规则图形，直接求面积很困难，因此可通过添加辅助线把所求面积转化成规则图形（基本图 形）的面积和（差）来计算，根据已知条件可知∠A=∠B=120°可延 长CB 、EA 交于F 点，将原图形构造成 菱形CDEF 和等边△ABF ，所求面积就显而易见了．简解：延长EA 、CB 交于F 点．∵∠EAB=∠CBA=120°∴△FAB 为等边三角形． 由EA=AB=BC=2 CD=DE=4易证四边形CDEF 为菱形．连接CA 、CE ，则CA ⊥EF ，在Rt △CAE 中，易求CA=32∴S 五边形ABCDE =S 菱形CDEF —S △FAB =4×37322132=⨯⨯- 五．构造正方形例5．如图5所示：A 、B 为两个村庄，AB 、BC 、CD 为公路，BD 为田地，AD 为河宽，且CD 与AD 互相垂直，现要从点E 处开始铺设通往村庄A 、村庄B 的一条电缆，有如下两种铺设方案：方案一：E →D →A →B ；方案二：E →C →B →A ，经测量，AB=34千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°，已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．（1）求河宽AD 和公路CD 的长（结果可保留根号）（2）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由。
学会使用构造法，巧解初中几何题
学会使用构造法，巧解初中几何题
辅助线在几何的解题中应用非常广泛，在解题时，正确的添加辅助线，可以挖掘题目中隐藏的条件，让我们在解题的过程中，有一种“柳暗花明”的感觉，不知同学们是否有过这种体会？
今天我分享一种辅助线的作法——构造法，那么什么是构造法呢？我想就是根据题目中的已知条件，构造成我们熟悉的图形，如含30º角的直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
再利用这些特殊图形的相关结论、性质对问题进行求解。
下面结合例题进行详细讲解
例1.构造等腰三角形
如图，AB//CD，∠1=∠2，E是BC的中点。
求证：AD=AB+CD。
证明:延长DE与AB的延长线交于点F
∵AB//CD，∠1=∠2
∴∠2=∠F=∠1，∠EBF=∠DCE
又∵E是BC的中点
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(AAS)
∴D C=BF
∵∠1=∠2
∴AD=AF=AB＋BF
∴AD=AB＋CD
[思路小结]
根据题意，要求不在同一条直线上的线段和相等，我们必须将线段转化到同一条直线上，再证明相等就容易多了。
本题就是利用构造法，通过作辅助线构造一个等腰三角形，利用等腰三角形两个底角相等，那么底角所对应的边也相等的性质，将三个线段转化到一条线段，再求解。
例2.构造30º的直角三角形
[思路小结]
通过作辅助线延长CD至E，使DE=DC，连接BE；构造直角三角形，证明△BDE≌△ADC，BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，最后得AC=2BC.
例3.构造等边三角形。
巧妙构造,让数学解题更精彩
应考方略数学有数GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG 巧妙构造，让数学解题更精彩■江苏省太仓市明德高级中学王佩其数学解题，贵在巧思，巧思方可得妙解.而巧思中最为推 崇的解法是构造法，这种方法体现了数学思维的创新性，是 数学解题的最高境界.通过对题目的条件与结论进行对比分 析，找到一座沟通它们之间的桥梁，这座桥梁可以是一个函 数，一个方程，一个图形等，借助这座桥梁，可以让原问题 圆满解决，这就是所谓的构造法.本文举例说明，供同学们 参考._、巧构几何体，速解立几题在立体几何中，我们通常把正方体、长方体、正四面体 等这些形状优美，性质优美且特殊的几何体称作完美几何体. 在立体几何中，这些几何体有着十分重要的地位，起着不可 替代的作用，有些几何问题，往往可以通过对比与联想，构 造出完美几何体，借助于完美几何体的优美性质，让原问题 快速解决，同时也让我们感受到数学的奇异美.例1.已知一个棱长是a的正四面体的四个顶点均在同一 个球面上，则这个球的表面积是（)A. 37T02B-T na2C.^rTTa}D.各•jra2解析j正四面体有六条相等的棱，而正方体的六个面都是 全等的正方形，因此它们的对角线都相等，于是可以采用补 形的方法，将正四面体“还原”成正方体（如图1),那么正 方体的外接球就是与正四面体的外接球.因为四面体的棱长为a,所以正方体的棱长是A f a,于是正方体对角线f就是这个球的直径，故球半径= S:477"/?2=~^-7ra2.所以本题选 D.正方体是立方体中最完美的图形，它与它的内切球 与外接球之间的关系，能帮助我们快速找到解题“突破口 对于正四面体，将其“放入”正方体中，可以快速求出它的 外接球的半径.例2.已知乙/10B是平面a内的一个直角，0是直角顶 点，又0C是平面a的斜线，且乙4O C=Z S O C=60°,则直线 0C与平面a所成的角的大小是______._如图2所示，作正四棱锥且它的每一个侧面都是正三角形.于是a4, O B,0C满足已知条件，这相当于把题设所给的线面关系“搬到”了正四棱锥中，于是原问题等价于求侧棱C0与正四棱锥的底面a4A B所成的角.设底面中心为£,则乙C0£：即为所求的角.经图2计算可知，〇£=C£，故乙C O£=45。
高中数学 巧构造 妙解题解题思路大全
巧构造 妙解题1. 直接构造例1. 求函数f x x x ()sin cos =-+32的值域。
分析：由于f x x x()sin cos =-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆f x k ()=--=32θμ表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。
显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即||32112-+=k k所以k =±2233 故22332233-≤≤+f x ()例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。
分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。
解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即 4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*）由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知sin sin sin αβγ++=02. 由条件入手构造例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y =分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
解：构造一元二次方程p p z 22690-++=其中x ，y 为方程的两实根所以∆=-+≥364902()z即z 299+≤z z 200≤=，故△＝0，即x y =3. 由结论入手构造例4. 求证：若n ≥3，n N ∈，则13141511123333++++< n 分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。
【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】
第一章 圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF =-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为 ； ②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m ．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到外接圆的半径，另外还应分类讨论。
妙用构造法,巧解数学题
妙用构造法,巧解数学题有时我们在学习数学时会遇到很多棘手的数学题目，很容易把时间浪费在攻克难题上。
因此，我们应该学会妙用构造法巧解数学题。
1. 了解数学考试的核心知识在运用构造法来巧解数学题之前，我们应该要特别注意，自己了解数学考试的核心知识。
我们要掌握一定的基本理论及其它的配套知识，甚至是一些联系因果的定理，以便能够更好的构造出符合要求的模型。
2.明确目标在开始运用构造法解数学题之前，我们首先要明确目标，具体地说，对要求给出的数学问题要进行分析，弄清楚问题，把握关键点，以及大致方法，有了问题的清晰认识之后，就可以采取进一步的措施来实现目标了。
3.分析数学题并寻找对应的构造法我们需要根据问题的性质，判断出问题的类型，比如：几何中的角度判断、三角形求边长和角度等等。
然后再从问题的特点出发，寻求构造法来实现目的，要做到这一点，我们可以先画出图形，根据图形来分析问题，并寻找对应的解决办法。
4.利用构造法注意事项在采用构造法来解决数学问题时，我们特别要引起注意，避免出现构造出来的图形出现错误，因为很多时候，只是因为图形的错误，会导致整个问题的结果出错。
此外，我们在构造出正确的图形后，要根据理论知识，对构造出来的图形进行精确分析，以便得到最终结果。
总结起来，妙用构造法巧解数学题，需要注意以下几点：1. 了解数学考试的核心知识；2. 明确目标；3. 分析数学题并寻找对应的构造法；4. 利用构造法时注意事项。
只有在了解了数学考试的核心知识之后，明确了目标，分析出数学题的性质，寻求出对应的构造法，并且在构造出正确的图形后精确分析，根据考试的要求来及时解决问题，才能妙用构造法巧解数学题。
巧用构造法 解答数学题
巧用构造法㊀解答数学题杨少婷(福建省晋江市英林中学ꎬ福建泉州３６２２５６)摘㊀要:数学作为我国课程体系中的三大主科之一ꎬ不仅是学生学习所有理科知识的基础ꎬ还关系到他们思维能力与推理能力的发展.在初中数学教学中ꎬ解题教学属于一个常规环节ꎬ主要锻炼学生运用所学知识解决数学问题的能力.教师既要关注理论知识的讲授ꎬ还需介绍一些常用的解题方法ꎬ构造法即为其中一个ꎬ可指导他们巧用构造法解答数学题ꎬ助其解题水平稳步升高.笔者针对如何巧用构造法解答初中数学题作探讨ꎬ并罗列部分解题案例.关键词:构造法ꎻ方程ꎻ不等式ꎻ函数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００８９－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:杨少婷(１９７７.３－)ꎬ女ꎬ福建省泉州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀构造法就是当处理部分数学试题时ꎬ采用常规方法或者按照定向思维很难处理ꎬ可结合题目中已知条件与所求结论的性质㊁特征ꎬ基于新观点㊁新视角重新分析与理解ꎬ把握好反映问题条件和结论之间的内在联系ꎬ以原题中条件为基础ꎬ通过已知数学理论与关系式构造出新对象ꎬ呈现题目中的隐性关系ꎬ从而方便㊁快捷地解决数学试题[１].初中数学教师应指引学生巧用构造法解答试题ꎬ使其会根据实际情况构造新对象ꎬ让他们轻松完成试题求解.１巧用方程构造法ꎬ解答数学题方程 作为学生从小学阶段就开始接触到的一个知识ꎬ进入初中以后ꎬ他们将会学习到更多与方程相关的知识ꎬ不仅要学习简单的一元一次方程ꎬ还要学习一元二次方程及方程组等内容ꎬ在初中数学教学中占据着关键地位ꎬ而且方程知识在解题中应用广泛.针对初中数学解题教学来说ꎬ部分试题难度系数较高ꎬ教师可以指导学生以认真阅读题目内容为前提ꎬ根据题干中给出的已知条件与数量关系构造出新的方程形式ꎬ由此把方程思想体现出来ꎬ使其结合方程知识找到合理的解题思路ꎬ让他们有效转化问题ꎬ降低解题难度ꎬ顺利解答数学题.例１㊀已知ｘ㊁ｙ㊁ｚ为三个不一样的实数ꎬ其中ｘ>ｙ>ｚꎬ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ请求出ｘ＋ｙ的取值范围.分析㊀本题中出现的方程比较特殊ꎬ形式分别是三元一次方程和三元二次方程.如果使用常规方法受限于已知条件难以顺利完成解题ꎬ首选思路通常是采用整体替换法ꎬ根据题目中给出的条件进行替换ꎬ但是采用这样的方法解题过程较为复杂ꎬ很难轻松求出代数式ｘ＋ｙ的取值范围.可以巧妙应用构造方程的方法ꎬ根据题干中的所给条件与结论构造出新的方程形式ꎬ然后再利用方程相关知识求出ｘ＋ｙ的取值范围.详解㊀因为ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬ所以ｘ＋ｙ＝１－ｚꎬ将两边同时平方以后可以得到(ｘ＋ｙ)２＝(１－ｚ)２ꎬ又因为ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ整理㊁化简以后能够得到ｘｙ＝ｚ２－ｚꎬ结合这两个式子可以看出ｘ㊁ｙ为方程ｍ２＋(ｚ－１)ｍ＋(ｚ２－ｚ)＝０两个不一样的实数根ꎬ即为构造９８出的新方程ꎬ然后根据ә>０能够得到－１３<ｚ<１ꎬ也就是－１３<１－(ｘ＋ｙ)<１ꎬ所以ｘ＋ｙ的取值范围为４３>ｘ＋ｙ>０.例２㊀已知三个实数ｘꎬｙꎬｚ同时满足ｘ＋ｙ＝３ꎬｘｙ＝(ｚ－３)２＋ｘ＋１ꎬ请问ｘ＋２ｙ＋３ｚ的值是什么?分析㊀本题属于较为常见的代数式求值类题目ꎬ可以先对题干中给出的几个条件进行变形处理ꎬ将原式整理为关于两个式子的求解题目ꎬ再认真观察题目提供的已知式子的特征与形式ꎬ代入和化简后构造出一个新方程ꎬ随后借助方程的性质就能轻松解题.详解㊀因为ｘ＋ｙ＝３ꎬ所以ｙ＝－ｘ＋３ꎬ将式子ｙ＝－ｘ＋３代入到式子ｘｙ＝(ｚ－３)２＋ｘ＋１中ꎬ消去变量ｙꎬ然后所有项全部移动至右边ꎬ配方以后可以得到一个新的方式(ｘ－１)２＋(ｚ－３)２＝０ꎬ由此得到ｘ－１＝０ꎬｚ－３＝０ꎬ解得ｘ＝１ꎬｚ＝３ꎬ又因为ｘｙ＝(ｚ－３)２＋ｘ＋１ꎬ求得ｙ＝２ꎬ所以ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１＋２ˑ２＋３ˑ３＝１＋４＋９＝１４.２巧用不等式构造法ꎬ解答数学题不等式本身就是一类与众不同的代数式ꎬ通常用 >㊁<㊁ȡ㊁ɤ㊁ʂ 等特殊符号来表示式子的大小关系ꎬ学生在小学阶段也有所接触ꎬ不过在初中阶段他们所学的不等式知识更为复杂ꎬ难度和深度均更高ꎬ会遇到一元二次不等式与不等式组等新知识ꎬ而且很多题目中都涉及不等式方面的内容.对于初中数学解题教学而言ꎬ当遇到部分题干比较长的题目时ꎬ教师需要提醒学生在阅读过程中关注一些特殊词语ꎬ像 最小 最大 至少 不高于 不低于 等ꎬ使其审清题意构造出不等式ꎬ让他们结合不等式的性质解答数学题.例３㊀已知某公司准备有Ａ㊁Ｂ两种材料ꎬ重量分别是３６０千克和２９０千克ꎬ现在计划使用这两种材料生产甲㊁乙两种产品一共５０个ꎬ生产一个甲产品分别需用到Ａ㊁Ｂ两种材料９千克与３千克ꎬ利润为７００元/个ꎬ生产一个乙产品分别需Ａ㊁Ｂ两种材料４千克与１０千克ꎬ利润是１２００元/个ꎬ请求:(１)根据上述条件与要求生产甲㊁乙两种产品一共有几种方案?分别写出来ꎻ(２)设生产甲㊁乙两种产品能够得到的总利润为ｙ(元)ꎬ生产甲商品ｘ个ꎬ那么ｙ与ｘ之间的函数关系式是什么?然后结合函数性质指出(１)种哪种生产方案可以得到最大利润?最大利润是多少钱?分析㊀处理第(１)问时ꎬ本题题干较长ꎬ阅读过程中需善于把握住关键信息ꎬ基于专业的数学语言重新描述题意ꎬ结合已知条件巧妙应用构造法构造一个不等式组ꎬ然后根据不等式的性质将符合题意的几种方案都设计出来ꎻ解决第(２)问时ꎬ可结合第(１)问信息列出一个函数解析式ꎬ随后根据函数性质及实际生产情况确定最终生产方案ꎬ且求出最大利润.详解㊀(１)因为生产甲产品ｘ个ꎬ那么生产的乙产品是(５０－ｘ)个ꎬ结合题意可以构造出下列不等式组:９ｘ＋４(５０－ｘ)ɤ３６０３ｘ＋１０(５０－ｘ)ɤ２９０{ꎬ求得３０ɤｘɤ３２ꎬ因为ｘ的值只可以是正整数ꎬ所以ｘ只能取３０ꎬ３１ꎬ３２ꎬ即为生产甲产品的数量ꎬ结合(５０－ｘ)能够分别求得乙产品的数列分别为２０ꎬ１９ꎬ１８ꎬ那么总的来说一共有３种生产方案ꎬ分别是:①甲商品３０个ꎬ乙商品２０个ꎻ②甲商品３１个ꎬ乙商品１９个ꎻ③甲商品３２个ꎬ乙商品１８个.(２)结合题意能够列出函数解析式ｙ＝７００ｘ＋１２００(５０－ｘ)＝－５００ｘ＋６００００(３０ɤｘɤ３２)ꎬ结合一次函数的性质知道这是一个减函数ꎬｘ的值越大ꎬｙ的值就越小ꎬ所以当ｘ＝３０时利润有最大值ꎬ即为生产甲产品３０个㊁乙产品２０个时可以得到最大利润ꎬ这时ｙ＝－５００ˑ３０＋６００００＝４５０００ꎬ求出最大利润是４５０００元ꎬ所以说ｙ与ｘ之间的函数关系式是ｙ＝－５００ｘ＋６００００ꎬ按照(１)中的方案①可以得到最大利润ꎬ最大利润为４５０００元.３巧用函数构造法ꎬ解答数学题函数可谓是贯穿于整个初高中的数学教学ꎬ在课程体系中有着相当重要的地位.学习好函数知识意义重大ꎬ不仅可以解决函数方面的问题ꎬ还能够用０９来分析和解决其它方面的数学试题ꎬ究其原因主要在于很多数学试题都可以通过构造函数的方法进行解题ꎬ虽然有时难以直接求解ꎬ不过有助于解题思路的打开.在初中数学解题训练中ꎬ当遇到难度较大的试题时ꎬ如果在短时间内很难找到解题的切入点ꎬ教师可指导学生仔细阅读题干内容ꎬ从中找到关键性信息ꎬ让他们构造出相应的函数关系ꎬ使其根据函数图像㊁性质等处理数学试题.例４㊀如图１所示ꎬ一位篮球员正在进行篮球投篮训练ꎬ其中篮球的运动轨迹是一条抛物线ꎬ解析式为ｙ＝－１５ｘ２＋３.５ꎬ可以顺利投入篮筐ꎬ已知篮筐距离地面的高度为３.０５米ꎬ求:(１)篮球在空中运行过程中最高点是多高?(２)如果这名篮球运动员进行跳投时ꎬ出手时篮球与地面的高度为２.２５米ꎬ请问他同篮筐中心之间的水平距离为多远?图１㊀一位篮球员投篮示意图分析㊀处理第(１)问时ꎬ需要将整个函数图形给构造完整ꎬ结合函数图象及性质计算出篮球整个运行轨迹中最高点是多高ꎻ解决第(２)问时ꎬ应该把这一函数的坐标系构造出来ꎬ根据二次函数的图象和性质进行求解ꎬ顺畅求出这名运动员同篮筐中心之间的水平距离.详解㊀(１)结合题意知道篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋３.５的轨迹运行ꎬ根据二次函数的性质可知该抛物线的顶点坐标为(０ꎬ３.５)ꎬ如图１所示ꎬ将篮球的运行轨迹大致画出来ꎬ属于这条抛物线的一段ꎬ验证以后能够判断出最高点位于函数的定义域内ꎬ即为在空中运行过程中最高点是３.５米ꎻ(２)在图１建立坐标系ꎬ如图所示ꎬ经过审题后能够判定出该篮球运动员所处位置的横坐标ꎬ根据篮筐处的高度为ｙ＝３.０５米ꎬ代入抛物线的解析式可以求得这时ｘ＝１.５米ꎻ再结合该篮球运动员进行跳投时出手高度是ｙ＝２.２５米ꎬ则求得ｘ＝－２.５(ｘɤ０)ꎬ所以说该运动员同篮筐中心之间的水平距离为１.５＋２.５＝４米.例５㊀如果ｘ１㊁ｘ２是方程(ｘ－ｍ)(ｘ－３)＝－１的两个根ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬｍ<３ꎬ那么实数ｘ１ꎬｘ２ꎬ３ꎬｍ的大小关系如何?(Ａ)ｍ<ｘ１<ｘ２<３(Ｂ)ｘ１<ｍ<ｘ２<３(Ｃ)ｘ１<ｍ<３<ｘ２(Ｄ)ｘ１<ｘ２<ｍ<３分析㊀虽然本题是一道典型的方程题目ꎬ但是方程和函数存在着十分密切的联系ꎬ处理此类试题时可基于函数视角切入ꎬ根据题设条件构建出相应的函数ꎬ借助函数的图象平移与性质等顺利完成解题.详解㊀因为ｘ１㊁ｘ２是方程(ｘ－ｍ)(ｘ－３)＝－１的两个根ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬｍ<３ꎬ所以可构造函数ｙ１＝(ｘ－ｍ)(ｘ－３)ꎬｙ２＝(ｘ－ｍ)(ｘ－３)＋１ꎬ其中函数ｙ１图象与ｘ轴的交点是ｘ＝ｍꎬｘ＝３ꎬ函数ｙ２图象与ｘ轴的交点是ｘ１㊁ｘ２ꎬ函数ｙ２图象能够视为由函数ｙ１图象ꎬ往上平移一个单位后得到的ꎬ在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象ꎬ如图２所示ꎬ能够清晰看到ｍ<ｘ１<ｘ２<３ꎬ所以正确答案是选项Ａ.图２㊀函数ｙ１与函数ｙ２的图象参考文献:[１]黄智增.穷则变变则通: 构造法 巧解初中数学题举隅[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２３(１５):２５－２７.[责任编辑:李㊀璟]１９。
巧用构造思想妙解数学难题
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即｛，－＿１
Ｌ＝０
四、证明几阔不等式
倒４如罔．垃正打形ＡＢＣＤ的 现点ｆ作任意～条赶线与ＡＢ、ＡＤ 的延长线分驯交于点Ｅ Ｆ．求证：
ＡＥ＋Ａ
一、习ｌ代熬式的值
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巧用构造思想妙解数学难题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 朱元生
初中生学习（中考与作文） STUDY FOR JUNIOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS 2008，""(8) 0次
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一元二次方程是柳中教学的重要内晷．自构造一 元二次方程辑题是初中教学的一种思想方法有些问 题，若用常蝇方法解比较困难，而根据其结构特＾，巧
【数学】巧用数学构造法解数列题
【关键字】数学巧用数学构造法解数列题永福中学：陈容丽构造法作为一种重要的数学方法，而不是一个数学概念，没有严格的定义。
解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手。
在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解．而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。
它的特点是：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识，极大限度地发散思维。
本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。
数列是高中很重要且有相当难度的一章内容，在近几年的高考中，一般有一道中档的填空题和一道压轴的解答题，所占分值较高。
数列问题中的构造新数列在近几年高考题中经常出现，这类题目的难度及区分度往往很大，学生不容易掌握，有时甚至无从下手。
下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。
一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。
1．(为常数)，可构造等比数列求解．例1已知数列满足，（），求通项．解由，得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，∴．注：一般地，递推关系式(p、q为常数，且p≠0，p≠1)可等价地改写成，则{}为等比数列，从而可求．2．为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。
如(为常数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解．例2（1）已知数列{an}中，，，求通项．（2）已知数列满足，，求通项．解（1）由条件，得，令，则，即，又，，∴数列为等比数列，故有，即，∴．（2）由条件，得，即，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴，故．3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解．例3已知数列满足，（），求．解令，则，∴，代入已知条件，得，即，令，，解得=－4，=6，所以，且，∴是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故．注此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．4．为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解．法一、构造等差数列求解：例4在数列中，（1）若，其中，求数列的通项公式；（2）若，求通项．解（1）由条件可得，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故，∴．（2）由条件可得：，∴数列是首项为，公差为2的等差数列，∴．法2、构造等比数列求解：例5已知数列满足，，求数列的通项公式．解设，将已知条件代入此式，整理后得，令，解得，∴有，又，且，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，∴，故．2、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解．例6在数列中，，，，求．解由条件可得，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，故==…===．例7已知数列满足，，（），求．解由已知可得：，又，所以数列是首项为、公比为的等比数列，∴，即，亦即，又，∴数列是首项为2、公差为6的等差数列，∴，∴．三、一些较为特殊的数列，可利用“取倒数”的方法构造等差数列或等比数列求解．例8已知数列中，，（），，求．解由已知，得，设，则，故是以为首项，1为公差的等差数列，∴，即．例9已知数列，其中，且，求通项an．解由条件得：，设，则，令，解得，于是有，∴数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列，∴，即，代入bn＝，得．例10若数列中，，是数列的前项之和，且，求数列的通项公式．解由，得，令，则有，故，∴数列{}是以为首项，3为公比的等比数列，∴=，∴，当n时，由（）得，∴．四、对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解．如满足（A，B，C，D为常数，且）的数列，可令特征方程为，变形为，若方程有二异根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公比为的等比数列；若方程有二重根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公差为的等差数列。
巧构造，妙解题
构造法是一种解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答数列问题、立体几何问题、导数问题、方程问题时，巧妙地构造出新数学模型，便可从新角度找到解题的方案.这样不仅能有效地提升解题的效率，还能拓宽解题的思路.运用构造法解题，难点在于怎样构造出合适的数学模型.下面结合实例来进行探讨.一、妙用构造法，解数列问题数列问题侧重于考查等差、等比数列的通项公式、性质、前n项和公式.对于一些复杂的数列问题，我们常需要根据已知条件，构造出等差或等比数列，利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式来求解.巧妙地运用构造法，来构造出辅助数列，可使复杂的问题简单化.例1.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n-3n，求数列的通项公式.解：因为a1=S1=2a1-3，所以a1=3,当n≥2时,an=S n-S n-1=(2a n-3n)-(2a n-1-3n-1),化简可得an-2a n-1=2·3n-1,设bn-1=an2n-a n-12n-1=æèöø32n-1(n≥2),则{b n}是一个以32为首项，32为公比的等比数列，设b n的前n项和为T n，则Tn-1=a222-a121+a323-a222+…+a n2n-a n-12n-1=32éëêùûú1-æèöø32n-11-32,整理得an2n-a121=2·æèöø32n-3，故an=2·3n-3·2n-1，所以数列的通项公式为a n=2·3n-3·2n-1.解答本题，需先根据数列的前n项和与a n之间的关系a n={S1,n=1,Sn-S n-1,n≥2,来消去Sn，得到关于an、an-1的关系式，然后根据其特征，在其左右同时除以2n，构造辅助数列{b n}.根据等比数列的定义可知该数列为等比数列，于是根据等比数列的前n项和公式求出数列{a n}的通项公式.构造辅助数列的常用途径有在递推式的左右同时除以一个常数、同时取对数、同时取倒数等.二、妙用构造法，解立体几何问题立体几何问题对同学们的空间想象能力和抽象思维能力有较高的要求.有些立体几何问题较为复杂，很难快速找到解题的思路，此时可根据几何图形的特点和相关的定理、性质、定义来添加合适的辅助线，构造出规则的几何体、向量、平行线、垂线等，这样便能将问题简化，快速找到解题的突破口.例2.在四面体OABC中，OA=OB=OC，∠AOC=∠AOB.证明：OA在△OBC所在的平面的射影平分∠BOC.分析：本题采用几何法证明较为困难，于是转换思路，构造向量OA、OB、OC，并以这3个向量为基底，分别表示出其他向量，然后根据向量的数量积公式证明cos∠BOH=cos∠COH，即可解题.证明：如图，过A向平面OBC作垂线，垂足为H，则OH为OA在平面OBC上的射影.解题宝典40设 OA =a , OB =b ,OC =c ,则|a |=|b |=|c |，且 OH = OA + AH =a +AH ，于是 OB · OH =| OB |·|OH |·cos ∠BOH=|b |·| OH |·cos ∠BOH =b ·(a + AH )=b ·a +b ·AH =b ·a =|b |·|a |·cos ∠AOB ，所以cos ∠BOH =|a ||b |·cos ∠AOB |b ||OH |=|a ||OH |cos ∠AOB.同理可得cos ∠COH =|a ||OH |cos ∠AOC因为∠AOB =∠AOC ，所以cos ∠BOH =cos ∠COH .所以∠BOH =∠COH .即OA 在平面OBC 上的射影平分∠BOC .通过构造向量来将问题转化为向量问题求解，是解答立体几何问题的常用思路.三、妙用构造法，解不等式问题很多不等式问题中给出的条件较为简单，为了证明结论，常需运用构造法，将不等式进行变形，构造出合适的函数模型、方程、几何图形等，利用函数的性质、方程的性质、几何图形的位置关系来解题.这样能减少计算量，降低解题的难度.例3.已知x >0，证明：ln x +1x -1x +1>0.证明：设f (x )=lnx +1x -1x +1,x >0,令x +1x=t ，其中x >0，所以x =1t -1，t >1，则f (t )=ln t +1t-1，其中t >1,所以f ′(t )=1t -1t 2=t -1t2，因为当t ∈(1,+∞)时，f ′(t )>0，所以f (t )在t ∈(1,+∞)上为增函数，所以f (t )>f (1)=0,故f (x )>0.要证明ln x +1x -1x +1>0，只需构造函数f (x )，证明f (x )>0，即证f (x )的最小值大于0，这样便将不等式证明问题转化为函数的最值问题.根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数f (x )的单调性，求得函数f (x )的最小值，即可证明不等式成立.在构造新的数学模型时，通常需将不等式进行适当的变形，再根据其代数式的特征和几何意义进行构造.四、妙用构造法，解方程问题解答方程问题常用的方法有因式分解法、配方法、换元法、待定系数法等.但当面对一些复杂的解方程题目时，运用这些方法往往很难奏效，此时可运用构造法，根据方程中代数式的特点、几何意义，构造出向量、函数、几何图形，运用向量的运算法则、函数的图象、性质、几何图形的位置关系来解题.例4.解方程x 4-5x 2-4x +13+x 4+x 2-2x +1=10.分析：该方程中含有根式且未知数的最高次数达到了4次，不能直接去根号.可将根号下的式子整理为平方和的形式，根据两点间的距离公式构造出三个点A 、B 、C ，根据三点之间的位置关系以及斜率公式来解题.解：x 4-5x 2-4x +13+x 4+x 2-2x +1=(x 2-3)2+(x -2)2+(x 2-0)2+(x -1)2=10,设A (x ,x 2)，B (2,2)，C (1,0)，则|AB |=(x 2-3)2+(x -2)2,|AC |=(x 2-0)2+(x -1)2,因为|AB |+|AC |=10，又|BC |=(2-1)2+32=10，则|AB |+|AC |=|BC |，故A ,B ,C 三点共线，从而可得K AB K CB ,即3-x 22-x =3-02-1，解得x ，因为A 位于B ,C 之间，所以1<x <2，故x =16(3+21)是方程的唯一解.在解题受阻时，要学会转换解题的思路，可以将复杂的数列与等差、等比数列靠拢；也可以将不等式与函数、方程关联起来；也可以利用“向量”的双重身份，根据几何图形的特点构造出向量，还可以深入挖掘问题中代数式的特点、几何意义，构造出几何图形，运用构造法来解题.这就要求我们在解题时，展开想象，运用发散性思维，将问题与其他知识关联起来，以便另辟蹊径，构造出合适的数学模型，利用其他板块的知识来解题，从而将复杂问题简单化.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）解题宝典41。
巧构造,妙解题
构造法是根据题目的条件与特征，构造出一种新的数学模型，从一种新的角度解题的方法.巧妙运用此方法解题，往往可以将复杂的数学问题转化为简单的问题，达到化难为易、化繁为简的目的.一、构造方程方程是指含有未知数的等式.在解题时，我们可根据问题中所给的数量关系和特征，确定一个或几个未知数，从而构造出一个新的方程，然后通过解方程，或运用方程的性质来解题.例1.若x ，y ∈R ，且x 2+y 2+xy =3，求x 2+y 2-xy的最值.解：由x 2+y 2+xy =3及x 2+y 2-xy =k 可知x 2+y2=k +32，x 2y 2=-6k +9+k 24，可将x 2，y 2看作关于t 的方程t 2-k +32t +-6k +9+k 26=0的两个根，则判别式△≥0，即k 2-10k +9≤0，解得1≤k ≤9，故x 2+y 2-xy 的最小值为1，最大值为9.将题中的两个代数式进行变形可得出x 2+y 2、x 2y 2的表达式，于是联想到一元二次方程的根与系数的关系，于是构造方程t 2-k +32t +-6k +9+k 26=0，根据一元二次方程的判别式大于或等于0建立不等式，从而求得问题的答案.二、构造函数用函数可以表示出变量之间的关系.若某个变量与另一个变量之间存在一定的联系，此时我们便可根据题意构造出一个函数模型，利用函数的图象和性质来解题.例2.已知x ，y ，z ∈R ，求证：x 2+4y 2+9z 2≥4xy +6zx -12yz .证明：要证明x 2+4y 2+9z 2≥4xy +6zx -12yz ，只要证明x 2-(4y +6z )x +4y 2+9z 2+12yz ≥0，不妨设f (x )=x 2-(4y +6z )x +4y 2+9z 2+12yz ，此函数图象的开口向上，其判别式△=(4y +6z )2-4(4y 2+9z 2+12yz )=0，由其图象可知，f (x )≥0，即12yz ≥0成立，所以x 2+4y 2+9z 2≥4xy +6zx -12yz 得证.此题中的变量较多，并且不等式中的各项都是二次的，难以破解.于是可以确定一个主元，并以其为自变量构造一个二次函数，利用二次函数的图象讨论根的分布情况，即可证明不等式成立.三、构造数列当遇见与自然数n 相关的数学问题时，可以根据题意构造一个数列，运用数列的性质、通项公式、前n 项和公式进行求解.例3.证明：∑k =1n1k>n (n ≥2).证明：构造数列{}x n ，这里x n=k =nn，则x n +1-xn =1n +1+n -n +1=所以x n +1n ，则{}x n 是单调递增数列，从而可得x n +1>x n ≥x 2，又x 2=(1-2=10，所以x n >0，即∑k =1n1k>n （n ≥2）.欲证含有与自然数n 有关的不等式f (n )>g (n )，可以构造数列模型x n =f (n )-g (n )，然后设法证明数列是单调数列，并且说明x n >0，且f (n )，g (n )均为正值，即可运用数列的单调性证明不等式成立.可见，巧妙运用构造法解题，能使问题快速获解.而运用构造法解题的关键在于构造合适的数学模型，从新的角度思考解题的方案.因此在运用构造法解题时，同学们要仔细审题，明确问题的本质，展开联想，将问题中的未知数、变量、自然数与方程、函数、数列关联起来，然后构造出相应的方程、函数、数列，灵活运用方程、函数、数列的性质以及相关的公式来解题.（作者单位：江苏省大丰高级中学）考点透视唐卉35。
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巧构造，妙解题
等腰三角形的性质定理和判定定理分别为：等边对等角，等角对等边。
在求解或证明边长与角度的问题时，如果能够巧妙地构造出等腰三角形，就可以利用等腰三角形的性质定理和判定定理简便地解决问题。
下面介绍几种构造等腰三角形的方法，供大家学习时参考。
一、“角平分线+平行线”构造等腰三角形
例1、如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点F ，过F 作DE//BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD +CE=10，则线段DE 的长为_______
F E D
C B
A
分析：由DE//BC ，BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，先判断△BDF 和△CEF 是等腰三角形，从而将DE 转化为DF +FE= BD +CE
解：∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF=∠FBC ，又∵DE//BC ，则∠DFB=∠FBC ，∴∠DBF=∠DFB ，∴DB=DF ，同理EF=EC ，∴DE=DF +FE= BD +CE=10
二、“角平分线+垂行线”构造等腰三角形
例2、如图所示，在△ABC 中，BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM 于点D ，求证：∠BAD=∠DAC +∠C
M E D C B
A
分析：由BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM ，我们只要延长AD 与BC 交于点E ，△ABE 就是等腰三角形。
证明：延长交BC 于点E ，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠EBD ，∵AD ⊥BM ，
∴∠ADB=∠EDB=90°，在△ABD 和△EBD 中，ABD EBD ADB EDB BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ABD ≌△EBD ，
∴∠BAD==∠BED=∠DAC +∠C ，即∠BAD=∠DAC +∠C
三、用“垂直平分线” 构造等腰三角形
例3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点M ，BD=8，求AC 的长
M
D
C B
A
分析：由MD 垂直平分AB ，联想到连接AD ，构造出一个等腰三角形，则AD=BD ，∠B=∠BAD=15°，再结合直角三角形的性质可得
解：连接AD ，∵MD 垂直平分AB ，∴ND=AD=8，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=∠B +∠BAD=30°，在Rt △ACD 中，∠ADC =30°，∴142
AC AD =
= 四、用“三角形中2倍角的关系” 构造等腰三角形
例4、如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C ，求证：AB BD CD += 分析：由已知AD ⊥BC ，∠B=2∠C ，如果我们在CD 上截取DE=DB ，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形△ABE 和△AEC E
D C
B A
证明：在上截取DE=DB ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，DE=DB ，∴AE=AB ，∴∠B=∠AEB ，又∵∠AEB=∠C +∠CAE=2∠C ，∴∠CAE=∠C ，∴AE=EC ，AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=。