复合函数的微分法

§ 2 复合函数微分法
简单介绍多元复合函数及复合线路图
“外二内二”型：),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===.
“外三内二” 型： , ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;
“外二内三” 型（2个中间变量，3个自变量的情形）：
)
,,(),,()
,(u t s y y u t s x x y x f z ===
内。

的某个开集定义在内，
的值域在内，并且的某个开集定义在其中D R z D y x E R y x 2
3,, 复杂型： , ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==，z 既是中间变量，又是自变量.
一、复合函数的求导法则
定理17.5（链导法则、链式法则P118）以“外二内二”型复合函数为例.
设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微 , 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f
z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且
)
,()
,()
,()
,()
,(t s y x t s y x t s s
y y
z s
x x
z s
z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂,
)
,()
,()
,()
,()
,(t s y x t s y x t s t
y y
z t
x x
z t
z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂（4）
证明P 119
注1：如果只是求复合函数的偏导数，链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 反例如 P 119的例：如果f 的可微性条件不满足链式法则不一定成立.
例：P119
⎩⎨
⎧==≠⎪⎩
⎪
⎨⎧=+==不可微。

在)0,0(),(0
)0,0()0,0())
0,0(,(,))
0,0(,(,
0),(2
22y x f f f y x y x y x y x y x f z y x
1010.2
12),(,0
)
0,0(0
)0,0(0=⨯+⨯=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=⇒=
======t t t t
y
y z
t x x z x z dt dz t t t f z t y x 但若用链式法则：则：若令
称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”（ 或“并联加 ，串联乘” ）来概括 .
在不引起混淆的情况下，简写为：
s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ t y y z t x x z t z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂
或者
s y y f s x x f s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ t
y
y f t x x f t z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂ 对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等复合情况，用“并联加 ，串联乘”的原则可写出相应的链导公式. 例如：
1.“外二内一”情形)( , )( , ),(t y t x y x f z ψφ===.有全导数公式：
dt
dy y z dt dx x z dt dz ∂∂+∂∂= 外n 元，内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.
2.“外二内三” 型：复合函数((,,),(,,))z f x s t u y s t u =关于,,s t u 的偏导数有下列结果
设f 在点00,x y D ∈（）可微，00000000(,,),(,,)x x s t u y y s t u ==。

又x 和y 都在点000(,,)s t u E ∈关于
,,s t u 的偏导数存在，则在点000(,,)s t u 有
;;.z z x z y z z x z y z z x z y
s x s y s t x t y t u x u y u
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 3.“外三内二” 型：设(,,),(,),(,),(,).u f x y z x x s t y y s t z z s t ====则
;u u x u y u z u u x u y u z s x s y s z s t x t y t z t
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 4. 对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有
∑
=∂∂∂∂=∂∂m
k i
k
k i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 5. 复杂型： 设(,,),(,),(,).u f x y t x x s t y y s t ===则
u u x u y u zt s x s y s t s u u x u y u t t x t y t t t
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂
例1 （P 120） y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2
. 求
x z ∂∂和y
z
∂∂. 例2（ P 120）设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明
2
2
2221⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ.
例3 P121
例4（ P121）用链导公式计算下列一元函数的导数 :
（1） x
x y = ; （2） x
x x
x y cos sin ln )1(2++= .
补例1 2
2uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求
x z ∂∂和y
z ∂∂. 补例2 (
)
)
3(2
22y x y
x z ++=, 求
x z ∂∂和y
z ∂∂. 补例3 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 补例4 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证 xz y
z
xy x z y
=∂∂+∂∂2
. 二、复合函数的全微分
1. 一阶微分形式不变性
一阶微分有个很重要性质—形式不变性。

在多元函数中也有类似的性质. 设),(y x f z =是二元可微函数，如果y x ,是自变量，则：
.dy y
z
dx x z dz ∂∂+∂∂=
（dy dx ,各自独立数值） （11） 如果y x ,不是自变量而是中间变量，),,(),,(v u y y v u x x == 又设y x ,都可微，并且y x f ,,可以构成复合函数，那么：
dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=。

决定如上，由),,,,(.)()()()(
dv du v u dy dx dy y z dx x z dv v y du u y y z dv v x du u x x z v y y z v x x z u y y z su x x z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂= )11(' 由（11），)11('的dz 可知一阶微分形式的不变性.
2. 微分的四则运算法则
3. 一阶微分形式不变性在微分法中的应用 利用微分的四则运算法则一阶微分形式不变性
例4（ P122）)sin(y x e z xy +=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和y
z
∂∂. 补例5
作业 P123：1（2）、（4）、（6），2，3。