建筑与数学
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伊斯兰清真寺装饰图案
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三角形镶嵌
旧金山圣玛丽教堂
富勒是第一个运用六边形和五边 形构成的球形薄壳建筑结构,作成能 源耗费极低,强度却பைடு நூலகம்强大的建筑物, 后来这种结 构被广泛运用,现代运 动的足球,就是运用这个结构所制造。 这个结构也协助科学家发现了碳C60, 后来被称为 富勒烯。
美国佛罗里达千岛群岛 Florida Panhandle
瀑布的形态
闪电的形态
Mandelbulb3d生成的3d分形图形
美国羚羊谷实景照片
超越无限空间装置
法国艺术大师Serge Salat
印度, 孟买, Tote餐厅
塞瑞尔
谢 谢 !
“水立方”(奥运游泳馆)表皮 Skin
尽管每个元泡形状不同,但交点都是三条边相交的“ Y ”形 。
镶嵌图形
通过“拉伸”或“压扁”,等腰三角形、长方形、扁六边形,也能以单一个体无间隙镶嵌。
用不同的正多边形来拼铺整个平面,但每一个交叉点周围的正多边形种类和顺序都相
同,叫做半正镶嵌图。半正镶嵌图有8种。
建筑与数学
几何图形
演讲人: 米超、陶丙德、张宇
黑格尔说过:“建筑是地球引力的艺术”
建筑物的屋盖形状可以三维变化,丰富多彩,“奇形怪状”;墙体可以 在平面上“曲折”,而在竖直方向通常是直立的;当屋顶和墙面合成一体, 墙也可以是三维变化的形状。但是建筑物的楼层只能是水平的,人们需要 在上面活动。
《几何原本》古希腊 欧几里得
段一段量再加起来,在现场用厘米为单位“精细”地去量,
结果都不一样。客观事物有它自己的特征长度,要用恰当的 尺度去测量。如果用公里作测量单位,从几米到几十米的一 些曲折会被忽略;改用米来做单位,测得的总长度会增加, 但是一些厘米量级以下的还是不能反映出来。
其次,什么是英国的海岸线(长度),它不像万里长城,绵延万里, 只要不怕费时费事,总可以量出来。但海岸线不同,百万分之一地图上 是曲曲折折的,万分之一地图还是曲曲折折的,到现场观察,百米的海 岸线还是曲曲折折的,甚至蹲下来看眼前的海岸线(水与岸的交界线) 还是曲折的。即海岸线在不同的尺度下具有相似性。一些客观事物具有
抄写在纸草上的残片
第一个印刷版本
明 徐光启译本
胞体几何(Cell Geometry)
能够无间隙拼连的单一的正多边形只有三种:正三角形、正方形、正六边形。因为它 们的内角是360°的整分数:360 ° /12 = 60 °, 360 ° /4 = 90 °, 360 ° /6 = 120 °。
六边形在自然界中因为其最接近圆形,是上述三种图形中最符合“经济法则”——同样面积,边长最短。
最早用公理法则建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本 精神,是从少数的几个原始假定(定义、公设、公理)出发,通过逻 。 辑推理(因为∵… …,所以∴… …) ,得出结论。(并可作为新的 可接受的命题) 爱因斯坦:“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础,那就是: 希腊哲学家发明的形式逻辑体系(在欧几里得几何学中),以及通过 系统的实验发现有可能找出因果关系(在文艺复兴时期)”。
拓扑几何——“橡皮几何”
以色列的一位城市规划学者在清华建筑 学院做讲座,说到老北京的街道都是南北正
交,而中东的城市街道弯曲。两者的街道形
态在拓扑上“同构”的。每一个交叉口都是 两条街道相交。 一个几何图形任意“拉扯”(就像画在橡皮上),只要不发生割裂和粘接
,可做任意变形,称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相
同,则称这两个图形是“拓扑同构” 。 拓扑几何——研究几何图形在一对一连续变换中了不变的性质。不考虑几 何图形的尺寸、面积、体积等度量性质和具体形状。
此图和上面 两图同构
此图和上面 两图不同构
放射形 街道
方格形 街道
上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构 在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外 ”的区分不变,边线上点的顺序不变。 高校教材《中国建筑史》第五版
自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构并不改变。
局部与整体在形态上具有统计意义上的相似性,称为自相似性
曼德布伦特经过详细计算得出以下结果: 测量步长为500公里时,则海岸线长度为2600公里; 测量步长为100公里时,则海岸线长度为3800公里;
......
正是在这样的一些概念和理论的讨论基础上,20世纪70年代末80年 代初,产生了新兴的分形几何(fractal geometry)。 曼德布伦特1975年发表《分形对象:形态,机遇和维数》,确立了 分形几何理论体系。1982年改版为《自然的分形几何学》,对自然界中 的分形现象进行几何学解释。曼德布伦特给出分形的定义:分形是局部 与整体在某种意义下存在相似性的形状。强调分形物体基本特征: (1)每点处有无限的细节;对于分形物体的放大,可以连续地看到 如同在原图中出现的更多的细节。 (2)物体整体与局部特性之间的“自相似性”,或者说唯有具备自 相似结构的那些几何形体才是分形。 后来,英国数学家法尔科内提出分形应具有以下所有五个基本特征 或其中的大部分: ⑴形态的不规则性;⑵结构的精细性;⑶局部与整体的自相似性; ⑷维数的非整数性;⑸生成的迭代性。
从外到里,从里到外的路径与边界交奇数次;从外到外,从里到里的路径与边界交
偶数次。路径可以是曲折的,也可以穿过边界进进出出。 房屋就是封闭图形(体),人流流线就是“路径”,墙是“边界”,墙上的门就是 “交点”。
球和立方体同构,与轮胎不同构。
欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同,前者与球同构,后者与轮胎同构。
线),粘成莫比乌斯带,然后沿线剪开,结果又会怎样?沿着线剪的时候,要不要剪
完一条线,再剪另一条线? 感兴趣的同学,课下可以尝试一下。
马清运设计的莫比乌斯造型雕塑
扎哈设计的莫比乌斯造型雕塑
杭州科技馆方案
威尼斯双年展上的莫比乌斯圈 UN Studio
2010世博会丹麦馆 BIG
分形几何
1967年,英国学者曼德布伦特(Mandelbrot)在《科学》 杂志发表论文“英国的海岸线到底有多长?”。 首先,这个问题涉及到如何丈量,在一张百万分之一地图 上量,在若干张万分之一地图上量再相加,到现场用米尺一
P229 “拓扑同构图”
上述四个图形不同构:封闭曲线,开口曲线,有一个三叉
点的开口曲线,有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线
在拓扑变换中端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。
封闭图形的“里”与“外”
封闭围线构成一个封闭图形,如何判别“里”与“外”呢?在图形的“外”部确定 一点,这容易判定,只要它离图形足够远。从这一点出发到需判定的点的路径,如果和 围线(边界)相交奇数次,则需判定的点在“里”,如果和围线(边界)相交偶数次, 则需判定的点在“外”。当然首选的出发点在“里”,从此点到需判定的点的路径,如 果和围线(边界)相交奇数次,则需判定的点在“外”,如果和围线(边界)相交偶数 次,则需判定的点在“里”。也可简述为:
拓扑学奇趣:莫比乌斯带 Mö bius Strip
家莫比乌斯发明
德国数学
将一个长方形纸条 的一端固定,另一端扭
转半周后,把两端粘合
在一起 ,得到的曲面就 是莫比乌斯带。 用一种颜色,在纸圈上面涂抹,画笔没有越过纸边,却把 整个纸圈涂抹成一种颜色,不留下任何空白。或,一个蚂蚁不 越出纸边,就可以爬过纸面所有表面。 小试验:(1)如果在裁好的一条纸带正中间画一条线(正反两面都画上中线),粘 成莫比乌斯带,然后沿中线剪开,把这个圈一分为二,结果会怎样? (2)在裁好的一条纸带正中间画两条线(三等分带子宽度,正反两面都画上
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蒙特利尔博览会美国馆
富勒
1967
富勒发明的张力杆件穹窿,直径76 m。三角形金属网状 结构组合成一个球体。 “以最小追求最大。” (Doing the most with the least.) 圆球建筑以“无一定尺寸限制的结构”为概念,不连续的和连续的张力相结合,以最小的 材料和最合理的结构、最小的投资创造出最大的内部空间。 富勒说,“评判建筑结构优劣的一个好指标,是遮盖一平方米地面所需要的结构重量。常 规墙顶设计中,这数字往往是2500公斤每平方米,但‘网球格顶’设计却可以用4公斤每平方 米完成。”