(12)稳恒电路

I B
出哪些判断?
B
A
I A I AB
图2
若能得到U AB , 则RAB =
而U AB
U AB . I = I AB r , 如何求得I AB = ?
图1
I
AB I A I′
B
A I ′′ AB
B
图3 (b)如图3,设想让电流I从A流进后各向均衡地 1 流向无限远. 此时,有 I ′ = I . AB 4 (c)如图4,设想让电流I从无限远各向均衡地流 1 进从B流出. 此时,有 I ′′ = I . AB 4 观察各图电流的分布, 不难看出:图3+图4=图2 所以在图2中, I AB = I ′ + I ′′ = 1 I AB AB 2 1 U AB = I AB r = Ir 2 U 1 RAB = AB = r. I 2
解题知识与方法研究
一,纯电阻二端网络等效电阻的计算问题 如图,无源二端电阻网络等效(总)电阻定义为: RAB = U A B I
A I
无源电阻网络
B I
物理奥赛中常用的方法有: (1)利用简单电路的串并联公式计算
R = ∑ Ri
i =1 k
U A- B
R1
R2 R1
Rk
k 1 R = ∑ Ri i =1
ε1 + Q C + Q2C = 0
1 1 2
Q1
ε1
B
Q2 + C2
Q3C3 ε 2 Q2C2 = 0
Q1 + Q3 Q2 = 0
(6)用叠加原理之逆定理计算无限网络的等效电阻
1,利用对称性简化电路 例1 如图1,6根阻值为R的电阻丝连成一正四面
D
体A-B-C-D框架,求RAB=? 解 设有电流I从A流进B流出.在电路中D,C两点 具有电阻分布的对称性. 有无电流流过电阻丝DC?为什么? 拆去电阻丝DC后对网络的总电流总 拆去电阻丝 后对网络的总电流总 电压有无影响?为什么?
例4
六个相同的电阻(阻值均为R)连成一个电阻环,六个接点依次为1,2,3,
4,5和6,如图1所示. 现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为D1,D2,…,D5. 现在将D2的1,3,5三点分别与D1的2,4,6三点用导线连接,如图2所示. 然后将D3的 1,3,5分别于D2的2,4,6三点用导线连接,……以此类推,最后将D5的1,3,5三 点分别连接到D4的2,4,6三点上. (1)证明全部接好后,在D1上的1,3两点间的等效电阻为 724 R ; 627 (2)求全部接好后,在D5的1,3两点间的等效电阻.
(图3)
3 (图4)
1
4
1 6 5 4
3
1 2 3 4
2 3 D5 D4 4 5 D3 D2 6 D1
3
1 2 3 4
5
2
1
6 6 5
2 1
2 4
3 4
3 4 5
1
通过由图3—图6的对称
6
5
(图6)
操作,得
R5 ={(4R) +(2R) } 4 = R. 3
-1
-1 -1
(图5)
对D5,D4的操作
1
(
)
1
+ (2 R ) 1
1
(图10)
R3
1
3 R3 = 52 R. 45
3
(图10)
R3
(图11)
R3
1
通过由图10—图12的对称操作,便得
1 R2 = ( R31 + (2 R ) 1 ) + 2 R
1
3
(
)
1
97 + (2 R) 1 = R. 84 724 R. + (2 R ) 1 = 627
+
C6 c
R=
I
C =( )= C Q
电源接入电容网络达到稳定 f
节点进出的电流
∑I
i
i
=0
节点进出的电量
∑Q = 0
i i
i j
R2
回路总电势降落
∑U + ∑ ε
i i j
回路总电势降落
a I1
R1
j
=0
∑U + ∑ ε
i j
=0
I2 R5 I 3 R3 R4 g I5b e ε 3 , r3 ε1 , r1 ε 2 , r2 I 4 ε 4 , r4
图4
I B
I A I AB
图2
I B
I A I AB
I
I
A I′ AB
B
A I ′′ AB
B
图2
图3
图4
题后思考 在图3,图4中的电源如何连接? 在图3,图4中的电源和图2的电源电动势 的大小关系? 在图5中,RAC=? RAD=? RAE=?
B
A
C
D
E
图5
例2 如图1所示的平面无限电阻网络,A,B 间的较粗的电阻丝的阻值为R,其余各段电阻丝 的电阻均为r. 求RAB=? 解 上一题电阻网络(图2)的空间分 布对称性已被讨厌的"R"破坏了! 咋办呢? 图2所示的网络可认为是在由图3所示的网络 的A,B两点间并联r所构成. 设图3所示网络的A,B二端点的电阻为R′AB. 则据例1所得结果,有 1 rR′ AB r= 2 r + R′ AB 由此解出 所以在图1中
R
B
(图1)
A
R 2
B
A
(图2)
R 2
R 4
R 2 R 2 R 2 B R 2 A (图3) R 4 R 2 R 2 A
(图4) B
RAB = 2{( = 5R . 7
由对称性简化电路的方法总结 分析相对网络的二端:电阻的几何,大小的分布情况. 确定对哪些点可进行,需进行保证电势始终不变(因而总电流总电压保 持不变)的操作: 断路,短路,拆分. 对所得的简单电阻网络计算等效电阻.
RAB RR′ Rr AB = = . R + R′ R+r AB
R′ = r . AB
A
R B
图1
r
B
A
图2
找出R′AB事情就好办!
R′ B AB
题后总结 叠加也需结合 其它手段!
A
图3
二,含源纯电容网络计算(网络中未接电源时各电容器均不带电) ——研究的基本问题:求出直流电源接入一纯电容网络达到稳定后,每个电容器的 电量. 1,与含源纯电阻网络的比较 含源电阻网络
1
R2
Rk
(2)用基尔霍夫定律计算 给网络两端加上电动势为ε 理想电源,求出总电流I. 则 (3)极限法 如果网络由某种小网络元有规律的连成如下图的二端网络 则常用极限法求等效电阻. R= . I
A I
无源电阻网络
B I
ε
ε
RAB = ?
(4) " Y " 等效代换法 (5)对称性简化
A B
∞
I R R R R
C
I
R B (图1)
D
将D,C两点用理想导线连接 (如图3).或者将两点拉在一起 (如图4),对网络的总电流总电 压亦无影响. 所以 RAB = R 2
(图3)
R
A
R R
C
A
R R R R R B I
C, D
R
I
R
I
B
I (图4)
例2 有如图1所示的由阻值相同的电阻组成的 网络,求RAB=? 解 设想有电流I从A流进从B流出. 将网络中某节点拆分后所得两 点的电势若相等,这种拆分对 网络的总电流总电压有无影响? 在图中那些节点可作,需作, 如何作这种拆分操作? 将图中的O点拆分为O1,O2两点 (如图2) ,对原电路的总电流总电压 均无影响. 3R 所以 RAB = 2 另解 将对称点D和G,C和H,E 和F拉在一起,得到图3的电路,同样 有上述结果.
1
1
1 R1, = ( R2 1 + (2 R) 1 ) + 2 R 3
(
)
1
(图12)
R2
1
(2) 求D5的1,3两点的电阻等效于求D1的2,4两点的电阻(如图3,图4). 3 2 3 (图3) 1 2 6 1 5 (图4) 6
4 1 6 5 4
3
2 3 D5 D4 4 5 D3 D2 6 D1
I A R
I
A
R
R
C
R
D
R R O R R
F
R
H
R
R
E
(图1)
R
B
G
I
C
R
O2
D
I
A R 2 C,H R 2 D,G
R
H O1
R
E
R2
O
R2 R2 R2
E,F
R
G
R
R
F
R
B
B
(图2)
I
(图3)
I
例3 电阻网络如图1所示,各小段电阻丝阻值 均为R, 求RAB=? 解 设想电流I从A流进从B流出. 作由图1—图2—图3的保持总电流,总电压不 变的对称变换. 则 5 5 RAB = {R 1 + ( R) 1}1 = R. 2 7 另解 作由图1—图2—图4的保持总电流, 总电压不变的对称变换. 则 R R R 1 R 1 + + ) +( ) } 2 2 4 2
Q1 =
ε
C1
; Q2 = = ε C1
ε
C2
= ε C2 .(符号表示与标定的极性反向)
Q =ε(
1 1 + ) = ε (C2 + C2 ) C1 C2
1 例2 如图,三个电容器C1,C2,C3和电源 ε1,ε 2 相连,其中 C1 = C2 = C3 = 2 F , 2 ε1 =6V, ε 2 = 9V. 求每个电容器所带的电量. 解 引入类电阻参量C = 1 C. 标定各支路类电流方向. 对所选回路和节点A,由基尔霍夫定律有
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中学物理奥赛解题研究
第十二专题 稳恒电路
解题知识与方法研究
一,纯电阻二端网络等效电阻的计算问题 1,利用对称性简化电路 2,用叠加原理计算无限电阻网络的等效电阻 二,含源纯电容网络计算 三,二端无源电容网络的等效电容计算 四,直流电源,电阻,电容的混合网络计算 五,电容器充放电过程中的静电能损失.
D1
2 3 2 4 6
D2
1 3 4 2 3 4
2
1 6
3 2 5 6 5 6
1 2 3 4
1
1 5 (图1)
1 6
4
1 6 5 4
3
6
5 5 (图2)
解 (1) 如图3,将立体网络化为平面网络.
2 3 D5 D4 4 5 D3 D2 6 D1
1 2 3 4
5
(图3)
2
1 6
3 2 5 6 5 6
3 4 R. 3
3
(图6)
R5 =
(图7)
1
1
3 通过由图6—图8的对称
操作,得
1 R4 = ( R51 + (2 R) 1 ) + 2 R 7 = R. 6
R4
(图8)
(
)
1
+ (2 R)
1
1
1
3 7 R4 = R. 6 (图8)
3
(图9)
1
1
3 通过由图8—图10的对称
操作,得
1 R3 = ( R4 1 + (2 R) 1 ) + 2 R 52 = R. 45
R A I
R
R R R I
C
R B (图1)
D
R R R
D,C两点电势相等,DC中无电流通过. 拆去DC 后对网络的总电流总电压无影响(如图2). 所以 RAC R = 2
A I
C
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R B I
(图2)
另解 将电阻丝DC用理想导线替换 (或者将D,C两点拉在一起) 对网络的总电流总电压有无影 响?
D R A
支路各电阻电流 相等,方向相同 相等, 电阻和电压电流 的关系 U
f
+
C2
含源电容网络
支路各电容电量 相等,极性一致 电容倒数和电压电量 的关系 1 U
Q1 C1 a
+
Q2 C5 Q Q3 C3 C4 g 5 b e + + + ε 3 , r3 Q ε , r ε1 , r1 ε 2 , r2 4 4 4
5 6
1 2 3 4
2
1
6
2
1
2 3
1 2 4
5 6 题后总结与思考 3 4
3 4
4
5
6 5
1
仿(1)作从内向外的对 称性拆分操作,最终得到 R2,4 = 388 R. 627
5
立体网络化成平面网络 起往往便于观察分析! 还可以从外向里简化电路!自己不妨试试?
2,用叠加原理计算无限网络的等效电阻 2-1,何谓叠加原理? 电路中有多个电源, 则通过电路中任意支路的电流等于各个电动势单独存在时(所 有电阻——包括电源内阻分布均不变)在该支路产生的电路的代数和. 2-2,如何应用叠加原理之逆定理计算无限电阻网络的等效电阻? 例1 如图1所示的平面无限电阻网络,设每一段电阻丝的电阻均为r. 求RAB=? 解 (a)如图2,设想在A,B加上恒定电 压便有电流I从A流进从B流出. 如图2. 压便有电流 从 流进从 流出 如图 图示的各电流的 大小关系你能做
例1 含源电容网络如图,求电容器C1,C2的电量. 解 标出各支路类电流参量的方向,引入内电阻参量 C = 对回路Ⅰ,有电压方程 ε + Q1C1 = 0 对回路Ⅱ,有电压方程
Q2C2 Q1C1 = 0
1 . C Q
① ② ③
ε
A Q1 Q2 + C1 ⅡC2 Ⅰ + B
对节点A,有电量方程 Q + Q2 = Q1 解① ② 得 代入③得
电源内阻起作用 内阻有电势降落
电源内阻不起作用 内阻无电势降落
R6
电源接入电阻网络达到稳定
c
2,结论: 可将原来适用于含源电阻网络一切物理定律,方法用于处理含源电容网络.仅需:
()用C = (1 C )替代R. (C 常被称为电容器的类电阻参量) 1 ( )用Q替代I . (Q常被称为电容器的类电流参量) 2 ( )并注意到电容网络中电源内阻不起作用,视为理想电源. 3