03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动

FI(t)
y ( 0) y ( 0) v y
C2 y v C1 w
（d）式可以写成
y (t ) y cos w t
Baidu Nhomakorabeav
w
sin w t................(e)
1
2015/10/15
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
y ( t ) y cos w t v
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
y (t ) y cos w t v
运动方程的求解
y y

运动方程的求解
w
sin w t................( e)
由式(e)可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的 正弦运动的合成，为了便于研究合成运动, 令 (e)式改写成
cv kv 0 mv
s c c w2 2m 2m
2
得到临界阻尼体系反应的最终形式：
0 t ]e wt v ( t ) [v 0 (1 wt ) v
临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的， 临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的 ，依照指 数规律衰减，回复到零点。 临界阻尼的物理意义是： 临界阻尼的 在自由振动反应中不出 现震荡所需要的最小阻 尼值。 尼值 。
2015/10/15
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
静平衡位置
m获得初位移y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： (1)它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。
m获得初速度 y
m获得初位移y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： (1)它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。
m获得初速度 y
电视塔
水塔
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
v( t )
如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m<w ，这时，特征方程根 式中的值必然为负值，则s 值成为 值成为： ：
v0
.
引入符号： 引入符号 ：
. w t [ v0 ( 1+ w t )+ v0 t ] e
c c i w2 2m 2m c c c xw x c c 2m w 2m s
A sin w t w
w
0
-A
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
由式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
自振周期计算公式：
T 2 m D st 2 k g
自振周期和频率
及图可见动位移是一个周期函数。
自振周期和频率
w
k m
Ak mAw 2
w 2
(t ) w 2 y (t ) 0 y
1 12EI md 11 7 ml 3
T
2
w
2
7ml 3 12EI
2
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第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
二、有阻尼的自由振动
阻尼（英语： damping）是指任何振动系统在振动中 是指任何振动系统在振动中， ，引起振动幅度逐渐下降的
刚度法常用于层间模型，柔度法常用于质点模型。
y ( t ) C1 sin w t C2 cos w t .....( d )
设 t=0 时
刚度法实质： 从静力平衡角度建立运动 微分方程,思路类同于位移 法方程的建立。
柔度法实质： 从变形协调角度建立运动 微分方程,思路类同于力法 方程的建立。
导管架平台
. . yy .
k
S(t) m m W FI(t)
j d
.y
d
m获得初速度 y
质量m在任一时刻的位移 重力 弹性力 惯性力
W
y(t)=yj+yd
恒与位移反向
+
S (t ) ky (t ) k ( y j y d )
(t ) m( j d ) FI (t ) m y y y
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
w
sin w t.....(e)
T t
y cos w t
y (t ) A sin(w t ).........( f )
-y
0 y
y A sin ,
A cos w y (t ) A sin(w t )......................( f )
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立(动)位移协调方程。 静平衡位置
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
ky 0 m y ....................................(c)
T (t )
1 2 1 (t ) mA2w 2 cos 2 (wt ) my 2 2
l
l/2
(3)利用振动规律 (3) 利用振动规律
y (t ) A sin(wt )
(t ) Aw 2 sin(wt ) y
(4)利用建立运动微分方程 (4) 利用建立运动微分方程
运动方程的建立
应用条件：微幅振动（线性微分方程）
力学模型
静平衡位置 m m获得初位移y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： (1)它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 (2)它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼……….
v
T t y
v
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
w
sin w t
v w
0
v w
T t A

振幅 相位角
v y2 w y w tg 1 v A
2
.......... .......... .........( g )
可得与 (b) 相同的方程
y ( t ) C1 sin wt C2 cos wt
积分常数C1，C2由初始条件确定 静平衡位置 m
.......... .....( d )
1 d k
ky 0 m y
....................................( b)
其中 或
kyj=W
j d ) k ( y j yd ) W ……………(a) m( y y j 0 上式可以简化为 y 及 d ky d 0 m y ky 0 m y ....................................( b)
d11
7 l3 1 1 2 1 2 2 1l l 2l ( l l l l l l ) 12 EI EI 2 3 2 3 3 23 2 32
(t ) mAw 2 sin(wt ) FI (t ) m y
对比后知，动位移与惯性力同频同步。 且有幅值方程：
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
二、有阻尼的自由振动
1.临界阻尼
特征方程： 特征 方程：
外界作用或系统本身固有的原因。 外界作用或系统本身固有的原因 。 阻尼力：
v (t)
FD cx
由刚度法易得运动方程： 由刚度法易得
c p (t) m k
s
c c w2 2m 2m
运动方程的建立
运动方程的求解
m
. y (t ) F (t )d my(t )d .
I
.......... .(c )
改写为
y
k y 0 m
w 2 y 0 其中 w 2 y
k m
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为： FI(t)
(t )d y 0 m y
临界阻尼自由振动方程的解为：
随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超 阻尼三种体系的运动型式。
cv kv 0 mv
v ( t ) (G1 G2 t )e wt
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
二、有阻尼的自由振动
1.临界阻尼
速度 由初始条件：
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
二、有阻尼的自由振动
2.低阻尼
自由振动方程： 特征方程：
v(t ) (G1 G2t )e wt
G1 v0 0 w v 0 G 2 v
( t ) wG1 (1 wt )G2 e wt v
v ( 0 ) v 0 (0 ) v 0 v
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
y (t ) A sin(w t )
y T A 0
t
圆频率计算公式： w
一些重要性质：
k m
1 g md Wd
g D st

w
-A

周期－T
2
w
,
1 w 工程频率－ f ( Hz ), T 2
2 圆频率－w 2 f T
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。 干扰力只影响振幅A。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自 振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构 的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之， 两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力 性能基本一致。
2
v0
其中x 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：
t
s xw i w 2 (xw ) 2 xw iw 1 x 2
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
二、有阻尼的自由振动
2.低阻尼
引入符号： 引入符号 ：
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
二、有阻尼的自由振动
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
s1 s 2 c c / 2 m w
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2.低阻尼
wd w 1 x 2
成为：
v (t ) e xw t ( A sin w d t B cos w d t )
s xw iw d
的解为：
iw d t iw d t
其中wd 称为 称为阻尼振动 阻尼振动频率 频率。 。 则