运筹学教程课件
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§4、运筹学的模型
• 运筹学在解决问题时,按研究
对象不同可构造各种不同的模 型。模型是研究者对客观现实 经过思维抽象后用文字、图表、 符号、关系式以及实体模样描 述所认识到的客观对象。
• 模型有三种基本形式:(1)形象模型, • • • • • •
( 2 )模拟模型,( 3 )符号或数学模型 。
这时有近似关系式
• [0.8(2-x1)+(1.4-x2)]/700≤2/1000由于每个工厂
工厂1(工业污水2万m3 )治污成本 1000元/ m3 500万m3 20%自然净化 200万m3
要求污水含量不大于0.2%
工厂2 (工业污水1.4万描述。设
两化工厂每天处理工业污水量 • 分别为 x1,x2 万 m3. 由于要求从第一 化工厂到第二化工厂之间,河流中 工业污水含量不大于0.2%,由此可 得近似关系式 • (2-x1)/500≤2/1000 • 流经第二化工厂后,河流中的工业 污水量不大于0.2%,
建立数学模型的方法主要有以下五种: (1)直接分析法 (2)类比法 (3)数据分析法 (4)试验分析法 (5)想定(构想)法
§5、运筹学的应用
• 运筹学在早期的应用主要在军
事领域。现已发展到广泛的领 域: • (1)市场销售 • (2)生产计划 • (3)库存管理 • (4)运输问题
• (5)财政和会计 • (6)人事管理 • ( 7 )设备维修、更新和可靠
•
•
•
•
可用其它方法)将模型求解。解可以是最优解、 次优解、满意解。复杂模型的求解需用计算机, 解的精度要求可由决策者提出。 (4)解的检验。首先检查求解步骤和程序有无 错误,然后检查解是否反映现实问题。 (5)解的控制。通过控制解的变化过程决定对 解是否要做一定的改变。 (6)解的实施。是指将解用到实际中必须考虑 到实施的问题,如向实际部门讲清解的用法, 在实施中可能产生的问题和修改。 以上过程应反复进行。
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– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2,则线段BC上的所有点都代表 了最优解;
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远,目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说,这说 明模型有错,忽略了一些必要的约束条件;
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200,则可行域为空域,不存在 满足约束条件的解,当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 (美元)
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时,如 bi<0,则把该 等式约束两端同时乘以-1,得到:-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例:将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解,
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远,目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说,这说 明模型有错,忽略了一些必要的约束条件;
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200,则可行域为空域,不存在 满足约束条件的解,当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 (美元)
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时,如 bi<0,则把该 等式约束两端同时乘以-1,得到:-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例:将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解,
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整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类,一类是精确解法,另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等, 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等,这些方法可以找到整 数规划的近似最优解,但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解,即如果新 解的能量比当前解的能量低,或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小,则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法,可以求解旅行商问题的最优解,即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后,求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态,以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性,建立状态转移方程,描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题,并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始,通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法,通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念,它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题,分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题, 通过优化资源配置和生产流程, 提高生产效率和利润。
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它涉及到的问题包括最短路径、 最小生成树、最大流等。
图论与网络优化在计算机科学、 交通运输、通信网络等领域有 广泛应用,如路由算法、网络 设计等。
03 运筹学在现实生活中的应 用
生产与库存管理
01
02
03
生产计划
运筹学通过数学模型和算 法,帮助企业制定生产计 划,优化资源配置,提高 生产效率。
库存控制
Excel Solver的特点
Excel Solver易于使用
它提供了一个直观的用户界面,用户可以通过简单的拖放操作来定义问题。
Excel Solver具有广泛的适用性
它可以处理各种类型的优化问题,包括线性规划、整数规划、目标规划、非线性规划等。
Excel Solver具有高效性
它使用了多种优化算法,可以快速求解大规模问题。
它使用了高效的算法和优化的数据结构,可以快速地处理大规模数据和计算任务。
05 案例分析与实践
生产计划优化案例
总结词
生产计划是企业管理中的重要环节,通过优化生产计划可以提高企业的生产效率 和资源利用率。
详细描述
生产计划优化案例主要涉及如何根据市场需求、产品特性、生产能力等因素制定 合理的生产计划,以实现生产效益的最大化。具体包括对生产计划的制定、执行 、调整等环节进行优化,提高生产计划的准确性和灵活性。
运筹学的重要性
01
提高效率
降低成本
02
03
增强决策科学性
运筹学能够通过优化资源配置和 流程,提高系统的效率和生产力。
通过合理的资源配置和计划安排, 运筹学可以帮助企业降低成本和 资源消耗。
运筹学提供的数据分析和模型预 测等方法,有助于增强决策的科 学性和准确性。
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7
服务系统的运行指标
队长(Ls)指系统中顾客数的数学期望值。 排队长(Lq)指系统内排队顾客数的数学期
望值。 很显然,Ls =Lq+正在被服务顾客数的期望
值。 逗留时间(Ws)指一个顾客在系统中停留时
间的数学期望值。 等待时间(Wq)指一个顾客在系统中排队等
待时间的数学期望值。 很显然,Ws=[等待时间]+[服务时间] 忙期 指服务员忙于服务的时间。与此相反
泊松过程是马尔科夫过程 本章主要考虑马尔科夫过程,即泊松流。
ppt课件
17
二、生灭过程的假设条件
系统状态N(t)得分布具有下列性质时,称 其为一个生灭过程:
当N(t)=n时,顾客到达的时间间隔服从参数
为 的负指数分布
当N(t)=n时,服务时间间隔服从参数为 的
负指数分布
在一个无限短的时间间隔里,最多只有一个 顾客到达或离去
ekt
E (T ) 1
1
D[T ] k 2
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12
服务系统模型的符号表示法
为了使用上的方便,肯达(Kendal)在1953年归纳了一种服务 系统的符号表示法。它用[A/B/C]表示一个服务系统的特征。
其中 A处填写顾客到达的规律;
B处填写服务时间的分布规律;
C处填写服务通道的数目。
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18
三、生灭过程的状态转移图
生灭过程的瞬时状态一般很难求得,但 可求得稳定状态分布
对于稳定的生灭状态,从平均意义上说 有:“流入=流出”
稳定的生灭过程可以用状态转移图表示
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19
一般状态转移图示例
0 1
2
01
2
1 2 3
n2
n 1
运筹学教学课件(全)
实用举例
某公司通过市场调研,决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程,得出:生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装;生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限, 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集(凸多面体)。
引理2.1:线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的, 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2:线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程,得出:生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型!、1/10小时
检验包装;生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限,3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1:x1=6 L3:2x1+3x2=18
B 可行域
L2:x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解,则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
运筹学全部课件
运筹学
第 4页
课程简介
教学要求 (1)课前要预习、上课思路要跟上、课后认真完 成作业(要求各位同学准备标准的作业本)、 认真完成案例及实验。 (2)基本思路:模型、算法及原理(必要时复习 相关的数学知识)、建模与求解(包括软件的 应用) (3) 本课程将通过重点讲授原理方法、上机解题、 个人研究与小组讨论相结合的案例分析等环节, 培养学生全局优化的思想,使学生掌握若干类 常用的运筹学模型,并能用其解决经济管理中 的复杂问题。
运筹学
第 9页
关于OR的不同定义
●Operations Research (or, often,management science) means a scientific approach to decision making, which seeks to determine how best to design and operate a system, usually under conditions requiring the allocation of scarce resources.
第14页
3 应用领域
运筹学能够对经济管理系统中的人力、物 力、财力等资源进行统筹安排,为决策者 提供有依据的最优方案,以实现最有效的 管理。通常以最优、最佳等作为决策目标, 避开最劣的方案。
在军事,生产、决策、运输、存储、排队 等经济管理领域有着广泛的应用。
运筹学
第15页
3 应用领域
生产计划:生产作业的计划、日程表的编 排、合理下料、配料问题、物料管理等。 库存管理:多种物资库存量的管理,库存 方式、库存量等。 运输问题:确定最小成本的运输线路、物 资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址 的选择等。
第 4页
课程简介
教学要求 (1)课前要预习、上课思路要跟上、课后认真完 成作业(要求各位同学准备标准的作业本)、 认真完成案例及实验。 (2)基本思路:模型、算法及原理(必要时复习 相关的数学知识)、建模与求解(包括软件的 应用) (3) 本课程将通过重点讲授原理方法、上机解题、 个人研究与小组讨论相结合的案例分析等环节, 培养学生全局优化的思想,使学生掌握若干类 常用的运筹学模型,并能用其解决经济管理中 的复杂问题。
运筹学
第 9页
关于OR的不同定义
●Operations Research (or, often,management science) means a scientific approach to decision making, which seeks to determine how best to design and operate a system, usually under conditions requiring the allocation of scarce resources.
第14页
3 应用领域
运筹学能够对经济管理系统中的人力、物 力、财力等资源进行统筹安排,为决策者 提供有依据的最优方案,以实现最有效的 管理。通常以最优、最佳等作为决策目标, 避开最劣的方案。
在军事,生产、决策、运输、存储、排队 等经济管理领域有着广泛的应用。
运筹学
第15页
3 应用领域
生产计划:生产作业的计划、日程表的编 排、合理下料、配料问题、物料管理等。 库存管理:多种物资库存量的管理,库存 方式、库存量等。 运输问题:确定最小成本的运输线路、物 资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址 的选择等。
《运筹学教程》胡云权-第五版-第二章--运输问题PPT课件
B1
14
82
8
10
8 v1
u2 v3 3 u3 v2 5 u3 v4 6
B2
2 12 10
1
14 5
14 v2
B3 10 4 23
11
12
12 v3
设 u2 0 v1 2,
u1
-
1,
B4
产量
ui
6 11
16
u1
9
-1
10
u2
86
22
u3
14
48
v4
v2 9, u3 4,
v3 3
-
4
运输问题的数学模型
针对单一品种物资运输调度问题
设某物资有m个产地A1,A2,…,Am,产量分别是a1,a2,… ,am , 有n个销地B1,B2, …,Bn ,销量分别是b1,b2,… ,bn。
从产地Ai (i=1,2, …,m)到销地Bj (j=1,2, …,n )运输单位物品的运价是cij 。 如何调运这些物资使得总费用最小?
行罚数
①②③④⑤
0 0 07 0 1 1 16 0 12
①
2
列②
2
5
1
3
初始基可行解:x13=12,
1
3
罚③ 数④
2
1
2
x14=4, x21=8, x24=2,
1
2
x32=14, x34=8,其余均为0。
⑤
-
2
z=244
16
产销平衡运输问题解法——表上作业法
1、确定初始基可行解
当最小元素或最大罚数对应的ai和bj相等时,即对应的产 量和销量相等时,为保证基变量的个数为m+n-1个,除了在产 销平衡表填xij=ai外,还应在产销平衡表中的第i行或第j列某空 格(相应运价未被划掉)处填一个“0”,然后同时划去运价 表上的第i行和第j列,该“0”看作是数字格。
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通过具体案例展示线性规划问题 的建模过程,如生产计划、资源 分配等问题。
单纯形法求解过程
单纯形法原理
介绍单纯形法的基本思想、算法步骤和求解 过程。
迭代过程
详细阐述单纯形法的迭代过程,包括入基、 出基、检验数计算等操作。
初始可行解
讲解如何找到一个初始可行解作为算法的起 点。
终止条件
说明单纯形法的终止条件及如何判断最优解 。
存储模型要素
需求、补充、成本、存储策略等。
常见存储模型
经典EOQ模型、动态规划模型、随机存储模 型等。
存储论求解方法及实例分析
求解方法
数学解析法、数值计算法、仿真模拟 法等。
实例分析
以某企业为例,运用存储论优化其库 存管理策略,降低库存成本。
排队论基本概念及模型构建
排队论定义
研究等待线(队列)的数学理论和方法,又称随机服务系统理论。
最短路径问题
通过实例分析最短路径问题 的动态规划解法,如
Dijkstra算法、Floyd算法等 。
1
背包问题
针对不同类型的背包问题, 探讨其动态规划解法及应用
场景。
资源分配问题
研究资源分配问题的动态规 划模型及求解方法,如多阶 段资源分配问题等。
生产与存储问题
分析生产与存储问题的动态 规划解法,讨论其在企业生 产管理中的应用。
整数约束
决策变量需满足整数约束条件,如人员数量、设备台 数等。
目标函数选择
根据问题类型,选择合适的目标函数,如成本最小化 、利润最大化等。
分支定界法求解过程
初始可行解
通过松弛整数约束,得到一个初始可 行解。
分支过程
根据初始可行解,将问题分解为若干 个子问题,分别求解。
运筹学第一课.ppt
怎样辨别一个模型是线性规划模型?
其特征是: 1.解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数,通常是求最大值或 最小值; 2.解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。
2 人力资源分配的问题
例2.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下:
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00 —— 10:00 10:00 —— 14:00 14:00 —— 18:00 18:00 —— 22:00 22:00 —— 2:00 2:00 —— 6:00 所需人数 60 70 60 50 20 30
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 - 甲乙 丙使用的原料单价*原料数量,故有
目标函数
Max 50(x11+x12+x13)+35(x21+x22+x23)+25(x31+x32+x33)-65 (x11+x21+x31)-25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33) = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
0
x4 + x5 x4 ≥ 100 2x4 + x5 ≥ 100 + 3x5 ≥ 100
9
• 用软件计算得出最优下料方案:按方案1下料30根;按方案 2下料10根;按方案4下料50根。
即 x1=30;
x2=10; x3=0; x4=50; x5=0;
只需90根原材料就可制造出100套钢架。
• 注意:在建立此类型数学模型时,约束条件用大于等于号 比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会 多出一根某种规格的圆钢,但它可能是最优方案。如果用 等于号,这一方案就不是可行解了。
其特征是: 1.解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数,通常是求最大值或 最小值; 2.解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。
2 人力资源分配的问题
例2.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下:
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00 —— 10:00 10:00 —— 14:00 14:00 —— 18:00 18:00 —— 22:00 22:00 —— 2:00 2:00 —— 6:00 所需人数 60 70 60 50 20 30
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 - 甲乙 丙使用的原料单价*原料数量,故有
目标函数
Max 50(x11+x12+x13)+35(x21+x22+x23)+25(x31+x32+x33)-65 (x11+x21+x31)-25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33) = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
0
x4 + x5 x4 ≥ 100 2x4 + x5 ≥ 100 + 3x5 ≥ 100
9
• 用软件计算得出最优下料方案:按方案1下料30根;按方案 2下料10根;按方案4下料50根。
即 x1=30;
x2=10; x3=0; x4=50; x5=0;
只需90根原材料就可制造出100套钢架。
• 注意:在建立此类型数学模型时,约束条件用大于等于号 比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会 多出一根某种规格的圆钢,但它可能是最优方案。如果用 等于号,这一方案就不是可行解了。
运筹学基础教学课件PPT
都江堰水利工程
Page 4
川西太守李冰 父子主持修建, 其目标是利用 岷江上游的水 资源灌溉川西 平原,追求的 效益还有防洪 与航运。其总 体构思是系统 思想的杰出运 用
北宋丁谓主持修复皇宫
Page 5
例2、北宋丁谓主持修复皇宫 面临的问题:木材、石材、 砖瓦等建筑材料如何取得?
修建如何进行?
大街 开封 皇宫
2、策略集
策 略:在对策中,局中人在整个决策过程中针对一系 列行动制定的完整行动方案。
策略集:每个局中人策略的全体集合。 局 势:每个局中人从自己的策略集合中选择一个策
略,构成一个局势。
3、赢得函数
利用全部局势集合上的一个实值函数,来描述 每个局势完结后局中人的得失的报酬数值。
对策的分类
Page 23
目标函数: 约束条件:1原材料的限制 2工时的限制 3座椅的限制 4非负限制 数学模型:
图解法
x2
1000
5x1+2.5x2≤2500
x1=400
800
Z=2600
600
400
Z=1800
Page 20
max Z=4x1+3x2
2x1 2x2 1600 5x1x1420.05x2 2500 x1 0、x2 0
线平衡率 秒表法/PTS
动作和方法研究
动改法
成本控制 设施规划
双手操作法 人机配合法
物流分析
防错法
PMP体系
PAC体系
系统设计
……
工作抽样法 流程程序法
五五法 其它
1工程学 2人机学(人因工程学) 3材料学 4管理学 5统计学 6运筹学 7系统工程学 8材料力学 9工程力学 10物流与设施规划
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布,服务时间服从负指 数分布,单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布,服务时间服从确定 型分布,单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例,以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ,研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量,其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法,以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题,缺点是计算量较大,需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件(割平面)来缩小可行域的范围,从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤,通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题,缺点是构造割平面的难 度较大,需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布,服务时间服从负指 数分布,单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布,服务时间服从确定 型分布,单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例,以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ,研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量,其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法,以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题,缺点是计算量较大,需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件(割平面)来缩小可行域的范围,从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤,通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题,缺点是构造割平面的难 度较大,需要较高的数学技巧。
运筹学PPT完整版
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存(制定最优再定购点和定购 量确保安全库存) 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排,以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元,销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题,就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解,使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 28
可行解:满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值,为了化为求最大值,令z′=-z,得到max z′=-z,即当z达到最小值时z′达到最大值,反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下:
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2,2阶子矩阵有10个,其中基矩阵只有9个,即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
Page 17
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存(制定最优再定购点和定购 量确保安全库存) 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排,以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元,销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题,就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解,使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 28
可行解:满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值,为了化为求最大值,令z′=-z,得到max z′=-z,即当z达到最小值时z′达到最大值,反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下:
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2,2阶子矩阵有10个,其中基矩阵只有9个,即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
Page 17
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
运筹学教程ppt
运筹学
主讲人: 张延欣教授
zhangyanxin@源自名称来源运筹学的英文词Operational Research,缩写为 OR。原意为“作战研究”、 操作研究、作业研究、 运用研究、作战研究等。在美国称为 Operations Research 这里译作运筹学,是借用了《史记· 高祖本记》中, 高祖的一句话:“夫运筹策于帷幄之中,决胜于千里之 外,吾不如子房” 一语中的“运筹”二字,具有运用筹 划、谋划、规划调度、运营研究等含义。 注:子房,刘邦的得力辅佐大臣张良的字。
定每方出上马、中马、下马各一匹各赛一局,每 局赌注是黄金一千两。 由于田忌的马比齐王同等级的马都要略逊一筹, 而在头一轮的比赛中,双方都是用同等级的马进 行对抗,所以齐王很快赢了全部三场,得到了三 千两黄金。
田忌的军师孙膑得知后,便 替田忌出了一个主意:
用自己的下等马和国王的上等马比赛,而用自己 的上等马和国王的中等马比赛,中等马和国王的 下等马比赛。 比赛开始,第一场国王的马以极 大的优势取得了 胜利。国王没有料到田忌的马竟然如此不堪一击, 为此俯仰大笑,得意不已。但美景不长,在二、 三场中田忌的马都取得了胜利。这一轮国王不但 没 赢,反而输了一千金。 可笑的是,齐王输了钱还弄不清自己是怎样输的 呢!
5、一个定义是:运筹学是一门应用科学,它应用现有的科学
技术知识和数学方法,解决实际中提出的专门问题,为决策 者选择最优方案,提供定量依据,以实现对系统的最有效管 理。 研究领域:军事、经济、管理
研究内容:资源合理配置、规划、运作和预测
研究方法:量化(数学)方法、分析、实验 研究目的:最优方案、有效管理、资源有效利用
二、运筹学的基本信念
不改变要素条件的基础上,可以通过结构的优 化,提升整体的性能。
主讲人: 张延欣教授
zhangyanxin@源自名称来源运筹学的英文词Operational Research,缩写为 OR。原意为“作战研究”、 操作研究、作业研究、 运用研究、作战研究等。在美国称为 Operations Research 这里译作运筹学,是借用了《史记· 高祖本记》中, 高祖的一句话:“夫运筹策于帷幄之中,决胜于千里之 外,吾不如子房” 一语中的“运筹”二字,具有运用筹 划、谋划、规划调度、运营研究等含义。 注:子房,刘邦的得力辅佐大臣张良的字。
定每方出上马、中马、下马各一匹各赛一局,每 局赌注是黄金一千两。 由于田忌的马比齐王同等级的马都要略逊一筹, 而在头一轮的比赛中,双方都是用同等级的马进 行对抗,所以齐王很快赢了全部三场,得到了三 千两黄金。
田忌的军师孙膑得知后,便 替田忌出了一个主意:
用自己的下等马和国王的上等马比赛,而用自己 的上等马和国王的中等马比赛,中等马和国王的 下等马比赛。 比赛开始,第一场国王的马以极 大的优势取得了 胜利。国王没有料到田忌的马竟然如此不堪一击, 为此俯仰大笑,得意不已。但美景不长,在二、 三场中田忌的马都取得了胜利。这一轮国王不但 没 赢,反而输了一千金。 可笑的是,齐王输了钱还弄不清自己是怎样输的 呢!
5、一个定义是:运筹学是一门应用科学,它应用现有的科学
技术知识和数学方法,解决实际中提出的专门问题,为决策 者选择最优方案,提供定量依据,以实现对系统的最有效管 理。 研究领域:军事、经济、管理
研究内容:资源合理配置、规划、运作和预测
研究方法:量化(数学)方法、分析、实验 研究目的:最优方案、有效管理、资源有效利用
二、运筹学的基本信念
不改变要素条件的基础上,可以通过结构的优 化,提升整体的性能。
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16
运筹学方法在中国使用情况
(随机抽样)
17
运筹学的推广应用前景
据美劳工局1992年统计预测:社会 对运筹学应用分析人员的需求从1990 年到2005年,其增长百分比预测为73%, 增长速度排到各项职业的前三位。
18
运筹学的推广应用前景
结论: --运筹学在国内或国外的推广应 用前景是非常广阔的。 --工商企业对运筹学应用的需求 是很大的。 --在工商企业推广运筹学方面有 大量的工作要做。
3
运筹学
1.绪论 2.线性规划建模及单纯形法 3.线性规划问题的对偶与灵敏度分析 4.运输问题 5.动态规划 6.排队论 7.决策分析
8.图与网络分析
第一章 绪 论
5
运筹学概况简述
运筹学(Operations Research) 直译为“运作研究”。
运筹学是运用科学的方法(如 分析、试验、量化等)来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一 门学科。
23
如何学习运筹学课程
2.要在理解了基本概念和理论的基础上
研究例题,注意例题是为了帮助理解概念、 理论的。作业练习的主要作用也是这样,它 同时还有让你自己检查自己学习的作用。因 此,做题要有信心,要独立完成,不要怕出 错。因为,整个课程是一个整体,各节内容 有内在联系,只要学到一定程度,知识融会 贯通起来,你自己就能够对所做题目的正确 性作出判断。
11
运筹学的产生和发展
战后这些研究成果被应用到生产、 经济领域,并得到迅速发展——有关理 论和方法的研究、实践不断深入。
1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig)
提出了求解线性规划的有效方法——单 纯形法。
12
运筹学的产生和发展
数学对运筹学的作用——是有 关理论和方法的研究基础,是建立 运筹学模型的工具。
24
如何学习运筹学课程
3、要学会做学习小结。每一节 或一章学完后,必须学会用精炼的语 言来概述该书所讲内容。这样,你才 能够从较高的角度来看问题,更深刻 地理解有关知识和内容。这就称作 “把书读薄”,若能够结合相关参考 文献并深入理解,把相关知识从更深 入、广泛的角度进行论述,则称为 “把书读厚”。
6
运筹学概况简述
运筹学能够对经济管理系统中 的人力、物力、财力等资源进行统 筹安排,为决策者提供有依据的最 优方案,以实现最有效的管理。
通常以最优、最佳等作为决策 目标,避开最劣的方案。
7
运筹学在工商管理中的应用
生产计划:生产作业的计划、
日程表的编排、合理下料、配料问 题、物料管理等。
库存管理:多种物资库存量
21
如何学习运筹学课程
学习运筹学要把重点放在分 析、理解有关的概念、思路上。 在自学过程中,应该多向自己提 问,例如一个方法的实质是什么, 为什么这样进行,怎么进行等。
自学时要掌握三个重要环节:
22
如何学习运筹学课程
1.认真阅读教材和参考资料, 以指定教材为主,同时参考其他有 关书籍。一般每一本运筹学教材都 有自己的特点,但是基本原理、概 念都是一致的。注意主从,参考资 料会帮助你开阔思路,使学习深入。 但是,把时间过多放在参考资料上, 会导致思路分散,不利于学好。
产品甲
设备A 设备B 设备C
利润(元/件)
3 2 0 1500
产品乙
2 1 3 2500
设备能力 (h) 65 40 75
29
1.线性规划的概念
问题:工厂应如何安排生产可获得最 大的总利润?
解:设变量xi为第i种(甲、乙)产 品的生产件数(i=1,2)。根据题意,
我们知道两种产品的生产受到设备能力
25
如何学习运筹学课程
在建数学模型 时,要结合实 际应用。
26
运筹学课件
27
第二章
线性规划建模及单纯形法
本章内容重点
线性规划模型与解的主要概念 线性规划的单纯形法,线性规 划多解分析 线性规划应用——建模
28
1.线性规划的概念
例2.1:某工厂拥有A、B、C三种类型的
设备,生产甲、乙两种产品。每件产品在 生产中需要占用的设备机时数,每件产品 可以获得的利润以及三种设备可利用的时 数如下表所示:
计算机的发展,促进运筹学的 进一步发展——高速、可靠的计算 是运筹学解决问题的基本保障。
13
运筹学的分支
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划
多目标规划 随机规划 模糊规划等
14Biblioteka 运筹学的分支图与网络理 论 存储论 排队论 决策论
对策论
排序与统筹 方法
可靠性理论 等
15
运筹学方法使用情况(美1983)
的管理,库存方式、库存量等。
运输问题:确定最小成本的
运输线路、物资的调拨、运输工具
的调度以及建厂地址的选择等。
8
运筹学在工商管理中的应用
人事管理:对人员的需求和使 用的预测,确定人员编制、人员合 理分配,建立人才评价体系等。
市场营销:广告预算、媒介选择 定价、产品开发与销售计划制定等。
9
运筹学在工商管理中的应用
财务和会计:包括预测、贷款、 成本分析、定价、证券管理、现金 管理等。
其他: 设备维修、更新,项 目选择、评价,工程优化设计与管 理等。
10
运筹学的产生和发展
运筹学思想的出现可以追溯到很
早—“田忌齐王赛马”(对策论)、孙 子兵法等都体现了优化的思想。
“运筹学”这一名词最早出现在 第二次世界大战期间—— 美、英等国 家的作战研究小组为了解决作战中所 遇到的许多错综复杂的战略、战术问 题而提出的。
运筹学课件
2
运筹学
课件
版权所有,未经准许,不得翻制
本课件配合《运筹学》教材,是总结 我们多年教学中积累的教学课件做成的 光盘。在这里为了支撑教师的教学和学 生的学习,奉献给读者特别是教师。
其中的内容不是教材的简单复制,如 此是为了扩大整个教学的信息量,作为 附件仅供教师与其他读者参考。
由于我们的水平,以及对工作投入的 限制,课件存在许多不足和问题,诚挚 欢迎提出宝贵的意见和建议。
19
运筹学解决问题的过程
1)提出问题:认清问题。 2)寻求可行方案:建模、求解。 3)确定评估目标及方案的标准或方 法、途径。 4)评估各个方案:解的检验、灵敏 性分析等。
20
运筹学解决问题的过程
5)选择最优方案:决策。 6)方案实施:回到实践中。 7)后评估:考察问题是否得到完 满解决。
1)2)3)形成问题;4)5)分析 问题:定性分析与定量分析相结合,构 成决策。
(机时数)的限制。对设备A,两种产品
运筹学方法在中国使用情况
(随机抽样)
17
运筹学的推广应用前景
据美劳工局1992年统计预测:社会 对运筹学应用分析人员的需求从1990 年到2005年,其增长百分比预测为73%, 增长速度排到各项职业的前三位。
18
运筹学的推广应用前景
结论: --运筹学在国内或国外的推广应 用前景是非常广阔的。 --工商企业对运筹学应用的需求 是很大的。 --在工商企业推广运筹学方面有 大量的工作要做。
3
运筹学
1.绪论 2.线性规划建模及单纯形法 3.线性规划问题的对偶与灵敏度分析 4.运输问题 5.动态规划 6.排队论 7.决策分析
8.图与网络分析
第一章 绪 论
5
运筹学概况简述
运筹学(Operations Research) 直译为“运作研究”。
运筹学是运用科学的方法(如 分析、试验、量化等)来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一 门学科。
23
如何学习运筹学课程
2.要在理解了基本概念和理论的基础上
研究例题,注意例题是为了帮助理解概念、 理论的。作业练习的主要作用也是这样,它 同时还有让你自己检查自己学习的作用。因 此,做题要有信心,要独立完成,不要怕出 错。因为,整个课程是一个整体,各节内容 有内在联系,只要学到一定程度,知识融会 贯通起来,你自己就能够对所做题目的正确 性作出判断。
11
运筹学的产生和发展
战后这些研究成果被应用到生产、 经济领域,并得到迅速发展——有关理 论和方法的研究、实践不断深入。
1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig)
提出了求解线性规划的有效方法——单 纯形法。
12
运筹学的产生和发展
数学对运筹学的作用——是有 关理论和方法的研究基础,是建立 运筹学模型的工具。
24
如何学习运筹学课程
3、要学会做学习小结。每一节 或一章学完后,必须学会用精炼的语 言来概述该书所讲内容。这样,你才 能够从较高的角度来看问题,更深刻 地理解有关知识和内容。这就称作 “把书读薄”,若能够结合相关参考 文献并深入理解,把相关知识从更深 入、广泛的角度进行论述,则称为 “把书读厚”。
6
运筹学概况简述
运筹学能够对经济管理系统中 的人力、物力、财力等资源进行统 筹安排,为决策者提供有依据的最 优方案,以实现最有效的管理。
通常以最优、最佳等作为决策 目标,避开最劣的方案。
7
运筹学在工商管理中的应用
生产计划:生产作业的计划、
日程表的编排、合理下料、配料问 题、物料管理等。
库存管理:多种物资库存量
21
如何学习运筹学课程
学习运筹学要把重点放在分 析、理解有关的概念、思路上。 在自学过程中,应该多向自己提 问,例如一个方法的实质是什么, 为什么这样进行,怎么进行等。
自学时要掌握三个重要环节:
22
如何学习运筹学课程
1.认真阅读教材和参考资料, 以指定教材为主,同时参考其他有 关书籍。一般每一本运筹学教材都 有自己的特点,但是基本原理、概 念都是一致的。注意主从,参考资 料会帮助你开阔思路,使学习深入。 但是,把时间过多放在参考资料上, 会导致思路分散,不利于学好。
产品甲
设备A 设备B 设备C
利润(元/件)
3 2 0 1500
产品乙
2 1 3 2500
设备能力 (h) 65 40 75
29
1.线性规划的概念
问题:工厂应如何安排生产可获得最 大的总利润?
解:设变量xi为第i种(甲、乙)产 品的生产件数(i=1,2)。根据题意,
我们知道两种产品的生产受到设备能力
25
如何学习运筹学课程
在建数学模型 时,要结合实 际应用。
26
运筹学课件
27
第二章
线性规划建模及单纯形法
本章内容重点
线性规划模型与解的主要概念 线性规划的单纯形法,线性规 划多解分析 线性规划应用——建模
28
1.线性规划的概念
例2.1:某工厂拥有A、B、C三种类型的
设备,生产甲、乙两种产品。每件产品在 生产中需要占用的设备机时数,每件产品 可以获得的利润以及三种设备可利用的时 数如下表所示:
计算机的发展,促进运筹学的 进一步发展——高速、可靠的计算 是运筹学解决问题的基本保障。
13
运筹学的分支
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划
多目标规划 随机规划 模糊规划等
14Biblioteka 运筹学的分支图与网络理 论 存储论 排队论 决策论
对策论
排序与统筹 方法
可靠性理论 等
15
运筹学方法使用情况(美1983)
的管理,库存方式、库存量等。
运输问题:确定最小成本的
运输线路、物资的调拨、运输工具
的调度以及建厂地址的选择等。
8
运筹学在工商管理中的应用
人事管理:对人员的需求和使 用的预测,确定人员编制、人员合 理分配,建立人才评价体系等。
市场营销:广告预算、媒介选择 定价、产品开发与销售计划制定等。
9
运筹学在工商管理中的应用
财务和会计:包括预测、贷款、 成本分析、定价、证券管理、现金 管理等。
其他: 设备维修、更新,项 目选择、评价,工程优化设计与管 理等。
10
运筹学的产生和发展
运筹学思想的出现可以追溯到很
早—“田忌齐王赛马”(对策论)、孙 子兵法等都体现了优化的思想。
“运筹学”这一名词最早出现在 第二次世界大战期间—— 美、英等国 家的作战研究小组为了解决作战中所 遇到的许多错综复杂的战略、战术问 题而提出的。
运筹学课件
2
运筹学
课件
版权所有,未经准许,不得翻制
本课件配合《运筹学》教材,是总结 我们多年教学中积累的教学课件做成的 光盘。在这里为了支撑教师的教学和学 生的学习,奉献给读者特别是教师。
其中的内容不是教材的简单复制,如 此是为了扩大整个教学的信息量,作为 附件仅供教师与其他读者参考。
由于我们的水平,以及对工作投入的 限制,课件存在许多不足和问题,诚挚 欢迎提出宝贵的意见和建议。
19
运筹学解决问题的过程
1)提出问题:认清问题。 2)寻求可行方案:建模、求解。 3)确定评估目标及方案的标准或方 法、途径。 4)评估各个方案:解的检验、灵敏 性分析等。
20
运筹学解决问题的过程
5)选择最优方案:决策。 6)方案实施:回到实践中。 7)后评估:考察问题是否得到完 满解决。
1)2)3)形成问题;4)5)分析 问题:定性分析与定量分析相结合,构 成决策。
(机时数)的限制。对设备A,两种产品