第4讲：数学美的类型

，是平移和旋转变换下不变的量。
1. 0, 0, 为椭圆;
0, 为双曲线; =0为抛物线. 2. =0, 0, 为椭圆; 0为相交两直线; =0平行或重合两直线
奇异：稀罕、出呼意料但有引人入胜！
1 0.166666666666666666666 6 1 0.142857 142857 142857 142857 7 987654321 8.00000007290000066339 123456789 0006036849 05493532699 11470239
统一与和谐美是数学美的又一侧面， 它比对称美具有广泛性。以几何与 代数的和谐与统一的表现为例：行 列式与矩阵
平面上过点(x1, y1),(x2, y2)的直线 方程:
x x1 x2
y
1
y1 1 0 y2 1
平面上过点(x1, y1),(x2, y2), (x3, y3) 的圆方程: 2 2 x y x y 1
n
勾股定理 : x y z 有非零的正整数解:Biblioteka Baidu
2 2 2
3,4,5;5,12,13. 其一般解为: x a b , y 2ab, z a b
2 2 2 3 3 2
其中a b为一奇一偶的正整数. 那么,3次不定方程:x y z 有没有非零的正整数解?
3
而且 : 987654321 9 8 123456789 123456789 而 9 9 91 3 10 10 9 10 10 123456789 10 91 n 0 10
3 n
所以 987654321 91 3 10 8 9 10 10 123456789 n 0 10
美的不同表现形式有不同的形容：
壮美、俊美、秀美、柔美、优美
数学美也呈现多样性，我们分为：
简洁美、对称美、和谐美和奇异美。
简洁美是人们最欣赏的一种
美，在艺术、建筑、徽标等的
设计中最为常见。中国画更是 体现了简洁美。数学以简洁而 著称！
•大数和小数的表示：
10
221
，2
86243
，10
-900
•数的表示： 所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0 表示.(称为阿拉伯数字,但是由
其它符号的简洁美：
未知量：x,y,z
已知量：π,e, a,b,c 函数关系：f(x)
形状符号：
其它符号的简洁美：
d 运算符号： ，，，，sin,cos, , dx
F 函数与逻辑： 0 v c, 牛顿第一定律 d F ( mv ), 牛顿第二定律 dt m1m2 F k ，万有引力定律 2 r
x y
2 1 2 2 2 3
x y
x y
2 1 2 2 2 3
x1 x2 x3
y1 1 y2 1 y3 1
0
平面上所有直线一般形式： ax by c 0 平面上所有二次曲线一般形式： ax 2bxy cy dx ey f 0
2 2
其性质和类型取决三个量： h a c, a b b c a b d , b d c e e f
印度人发明的.由阿拉伯人传 到西方.)形式上和位置上意义 非凡, 绝妙非常.实际上, 0的出 现大约要晚好几百年.
23 6 23 6 2306
简洁美的发展过程: 235×4=940 罗马人的算法:
CCXXXV IV CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV DCCC 表示900 CMXL CXX XX 表示40
此即为著名的费马猜想 : x y z
n n n
当n 2时没有正整数解! 费马在一本书的边上写道, 他已经解决了 这个问题.但是没有留下证明在此后的300 . 年一直是一个悬念.
18世纪最伟大的数学家欧拉(Euler)证明了 n=3,4时费马定理成立； 后来，有人证明当n<10 是定理成立。
几何：点对称、线对称、面对称、 球对称。球面被认为最完美！ 代数与函数论：共轭数（共轭复数、 共轭空间）。 运算：交换律、分配律，函数与反 函数运算。
二项式定理的展开式中的系数构成 的杨辉三角形：
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 5 1
命题变换中：
命题 逆命题 否命题 逆否命题
十进制与二进制:十进制:89
89= 1× 2 +0× 2 + 1 × 2 + 1
×2 +0×2 +0×2 +1×2 二进制:1011001
3 2 1 0
6
5
4
十进制:符号多(10),表示上简洁,方 便人工运算,但系统复杂. 二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便 机器运算,但系统简单. 二进制与最简单的自然现象(信号的 两极)结合,造就了计算机！
5
20世纪80年代以来，取得了突破性的进展。 1995年英国数学家Andrew Wiles的108页论 文解决了费马定理。他1996年获wolf奖， 1998年获Fielz奖。
推广 : n 4时不定方程 x x x
n 1 n 2 n n 1
x
n n
是否有非平凡整数解 ?