全国高中数学 青年教师展评课 圆锥曲线起始课教学设计(上海西南位育中学) (2)

圆锥曲线起始课教学设计

一、教学内容解析

●指定课题说明

⏹课题：圆锥曲线起始课

⏹课型：概念课

⏹说明：体现数学史融入数学教学的思想，借助信息技术、实物模型等，通过丰富的

实例，使学生了解圆锥曲线的背景和应用。经历从具体情境中抽象椭圆本质特征的

过程，建立椭圆的概念、标准方程。

●《上海市中小学数学课程标准》

以生活中的实例引出椭圆的概念，再抽象为动点的轨迹。根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，重点讨论焦点在x轴上的标准方程。

●《全国高中数学课程标准》

了解圆锥曲线的实际背景；了解圆锥曲线在刻画现实世界和实际问题中的作用和应用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；体会数形结合的思想；掌握椭圆的定义、标准方程。

根据指定课题要求，并参考《上海市中小学数学课程标准》、《全国高中数学课程标准》以及上海市二期课改教材，本节课的教学内容主要设定为：了解圆锥曲线的历史、背景和应用，从生活实例或具体情境出发形成椭圆（以及焦点、焦距）的概念并建立椭圆的标准方程。

在上海市二期课改教材中，椭圆的第一课时课题并非“圆锥曲线起始课”而是“椭圆的标准方程”，从椭圆规画椭圆的过程中归纳椭圆的定义，并重点研究椭圆的标准方程。由于指定课题说明中对于椭圆概念的形成过程和数学史的融入有更具体的要求，相比上海教材更符合圆锥曲线的历史发展顺序和学生的认知顺序，更有利于学生掌握椭圆的概念，因此考虑将上海教材第一课时“椭圆的标准方程”的教学内容稍作调整，将焦点在y轴上的标准方程以及椭圆标准方程的简单应用移至后续课时完成。

二、学生学情分析

本节课为借班上课，授课班级是浦东洋泾中学高二（12）班学生。据了解，该校为市示范性高中，而本次授课班级是高二四个物理班之一。但由于借班上课，与学生只有不到半个小时的交流，对班级学生的具体情况仍比较模糊，需要为学生水平的低限做好准备，在难点处多预设一些铺垫，以作备用。

此外，受承办学校教学进度制约，授课班级未学习直线的方程、圆的方程，只学习了曲线方程的概念和求法（仅1课时）。依此判断，学生虽然具备推导椭圆标准方程的基础，但接触解析几何时日不多，求曲线方程的经验也并不丰富。因此在教学时，一方面可有意在数学史部分渗透解析几何的核心思想，让学生在了解本章节的研究内容的同时了解其研究方法；另一方面，在建立椭圆标准方程之前应适当回顾求曲线方程的一般步骤，并给学生搭建一些平台，便于学生推导，以免因推导过程的漫长乏味影响学生的学习兴趣。

本节课的教学过程中还可能涉及一些空间图形（椭圆的起源所决定），而立体几何是上海市二期课改教材高三内容，高二学生尚未学习。因此，如果设计空间图形为背景的教学过程，需要作较细致的铺垫或形象的教具辅助学生理解，且学生思考的过程应以观察、发现为主，而不是严格的证明。

三、教学目标设置

根据教学内容解析、学生学情分析制定本节课的教学目标、重难点如下：

教学目标

1.通过历史的回溯和实例的展示，了解圆锥曲线的背景（产生、发展）、应用及其研究方法，感受其中蕴含的数学文化；

2.经历从具体情境中抽象椭圆的本质特征以及椭圆定义的过程，掌握椭圆的概念；

3.根据椭圆的定义建立焦点在x轴上的椭圆标准方程，进一步巩固求曲线方程的一般方法和步骤，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。

教学重点：掌握椭圆的概念。

教学难点：从具体情境中抽象椭圆的本质特征。

四、教学策略分析

1.数学史的呈现

圆锥曲线的历史发展过程中蕴含着丰富的数学文化。除了概念、性质、标准方程这些显性数学文化之外，在圆锥曲线形成的历史背景和实际应用中还包含着数学思想（化归思想、数形结合思想）、数学方法（用代数方法研究几何问题、构造法）、信念品质（探索真理、理性分析）、价值判断和审美追求（圆锥曲线的实际应用）等丰富的隐性数学文化。显性的数学文化（椭圆的概念）是本节课的重点，必须落实。但同时，课堂也需要隐性数学文化的浸润，才能充满生机。

根据学生的知识基础，教师在教学设计时，应在圆锥曲线的2000多年的发展史中选取学生能够理解的且有一定教学价值的部分按历史顺序“去支强干”进行重组，对学生理解有负

面作用的作以合理改编（例如椭圆的起源有许多其他猜想，仅选取“削尖的木桩”作为椭圆的起源介绍给学生），对难度过高的内容作以调整或铺垫（例如选取圆柱背景的“旦德林球”发现椭圆的性质，而非通过圆锥背景的“旦德林球”或古希腊纯几何证明发现），将这些丰富的数学文化以符合学生认知基础和认知规律的教学形态呈现给学生。具体图表如下：圆锥曲线发展史教学价值

圆锥曲线的起源

了解圆锥曲线的来历和最初的图形角度定义，感受几何图形源于生活

服务于生活；

圆锥曲线的成果

了解圆锥曲线的历史成果，欣赏与感受古希腊数学家的理性与智慧，

引出解析几何的发展史；

解析几何学的创立了解解析几何的核心思想以及它在数学史上的地位和作用，了解从数量关系角度定义椭圆的时代背景和学科发展背景，渗透数形结合数学思想，引出椭圆的性质；

椭圆性质的发现经历从具体情境中抽象椭圆本质特征的过程，了解椭圆最初定义与椭圆本质特征的联系；渗透化归数学思想，体验巧妙的数学方法——构造法；

椭圆的再次定义

经历从数量关系角度再次定义椭圆的过程，培养探索真理和理性分析

的信念品质，掌握椭圆的概念，引出椭圆的标准方程；

椭圆的应用了解圆锥曲线的实际应用；激发学生的学习兴趣；

2.椭圆概念的形成

几何图形都源于生活，是从具体事物中抽象出来的，椭圆也不例外。历史上，椭圆最早的定义是图形角度的定义（通过平面与圆柱或圆锥的交线定义椭圆），而教材中的定义则是解析几何诞生之后，人们为了方便用代数方程研究圆锥曲线，根据椭圆的性质，从数量关系角度对椭圆进行的再次定义。

虽然两者等价，但从形式上看却相差甚远。因此在建立椭圆概念时，如果脱离图形角度的椭圆定义，直接抛出数量关系形式的椭圆定义，或以其他方式抽象出该定义（例如利用椭圆规抽象出定义、利用圆心“分离”抽象出定义），这样的概念形成过程虽然易于教学，但不符合椭圆概念的形成与发展的自然顺序。学生会产生“为什么这样定义椭圆？”、“这样定义的椭圆和我们生活中熟悉的椭圆一样吗？”、“为什么椭圆又叫圆锥曲线？”这样的疑问。