拉氏变换及应用

§2-3拉普拉斯变换及其应用

时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。

一、拉氏变换的定义

已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为

(2-45)

式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为

(2-46)

因为是复自变量的函数，所以是复变函数。

有时，拉氏变换还经常写为

(2-47)

拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为

(2-48)

上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。

二、常用信号的拉氏变换

系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。

(1)单位脉冲信号

理想单位脉冲信号的数学表达式为

(2-49)

且

(2-50)

所以

(2-51)

说明：

单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。

在坐标图上经常将单位脉冲函数

表示成单位高度的带有箭头的线段。

由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号

单位阶跃信号的数学表示为

(2-52)

又经常写为

(2-53)

由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为

(2-54)

因为

阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。

(3)单位斜坡信号

单位斜坡信号的数学表示为

(2-55)

图2-15单位斜坡信号

另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为

(2-56)

为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式

得

(2-57)

(4)指数信号

指数信号的数学表示为

(2-58)

拉氏变换为(2-59)

(5)正弦、余弦信号

正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换为

(2-60)

因为

(2-61)

由欧拉公式

(2-62)

有

(2-63)

分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为

(2-64)

同时，余弦信号的拉氏变换为

(2-65)

常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。

表2-1常见函数的拉普拉斯变换表

三、拉氏变换的一些基本定理

(1)线性定理

若函数的拉氏变换分别为，则

(2-66)

(2)延迟定理

若函数的拉氏变换为，则

(2-67)

信号与它在时间轴上的平移信号的关系见图2-18所示。该定理说

明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。

应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。

例2-9周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。

解：该信号为周期信号。因此，已知信号第一周期的拉氏变换为时，应用拉氏变换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为

锯齿波信号第一周期的拉氏变换为

所以，锯齿波信号的拉氏变换为

(3)衰减定理

若函数的拉氏变换为，则

(2-68)

该定理说明了时间信号在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐

标平移。当时间函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其拉氏变换的求取计算。

例2-10试求时间函数的拉氏变换。

解：因为正弦函数的拉氏变换为

所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出

另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。

(4)微分定理

若函数的拉氏变换为，且的各阶导数存在，则各阶导数的拉

氏变换为

(2-69)

(2-70)

…………

(2-71) 当所有的初值(各阶导数的初值)均为零时，即

则

(2-72)

(2-73)

…………

(2-74)

证明：(在此只证明一阶导数的拉氏变换，其余请读者自证) 由拉氏变换的定义式

利用分部积分公式

令

则

所以

证毕。

(5)积分定理

若函数的拉氏变换为，则

(2-75)

定理的证明同样采用分部积分公式可以证得，请读者自证。式中

为函数的在时刻的积分值。积分定理与微分定理互为逆定理。

(6)初值定理

若函数的拉氏变换为，且在处有初值，则

(2-76)

即时域函数的初值，可以由变换域求得。

证明由微分定理令即可证得。

注意，拉氏变换的初值定理是满足拉氏变换的定义的，因此由初值定理所求得的时间信号的初值为，而不是或者。例如阶跃信号，可以利用拉氏变换的初值定理求得其初值为