第7章 参数谱估计
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第7章 参数谱估计
尹霄丽 北京邮电大学电子工程学院 yinxl@bupt.edu.cn
引言
2
功率谱估计分为非参数功率谱估计和参数功率谱估 计。 在参数谱估计中，我们先假设所讨论的随机过程服 从某一有限参数模型，再利用给定的随机序列值估 计模型的参数，然后把估计出来的模型参数代入该 模型的理论功率谱密度公式，得到谱估计。 模型法在谱分辨率和谱真实性方面比经典法有改善， 但改善的程度取决于所选模型的恰当性和模型参数 的估计质量。
k 1 k
现代信号处理
EE of BUPT
7.1 信号建模
7
参数谱估计的性能取决 于所选模型的恰当性和 模型参数的估计质量。 信号建模是参数谱估计 的重要环节。 信号建模的步骤：
现代信号处理
EE of BUPT
7.2 AR模型谱估计
8
设随机过程x(n)由AR(p)模型产生，即
x ( n ) ak x ( n k ) w ( n )
现代信号处理
EE of BUPT
经常使用的参数模型是随机信号的线性模型：自回 归模型（AR）、滑动平均模型（MA）和自回归滑 动平均模型（ARMA）。
这些模型的理论功率谱密度是已知的，因而参数谱
估计的问题就转化为怎样利用给定的一段数据估计
这些模型参数。
现代信号处理
EE of BUPT
目录
EE of BUPT
7.2.2 自相关法（全加窗法）
14
在5.4.1节中，讨论了线性预测系数与AR模型系数之 间的关系，说明可以采用线性预测的方法对AR模型 进行系统辨识。 平稳AR(p)过程的自相关函数满足Yule-Walker方程。 因此，如果给定 { rx (0), rx (1), ..., rx ( p )} ，则可以通过 求解该方程得AR模型的系数和激励噪声的方差。 对于功率谱估计问题而言，我们往往不可能精确推 导出自相关函数，而只能利用给定的观测数据进行 自相关估计。 采用Yule-Walker方程和自相关估计，即可实现 AR 谱估计。因而，AR模型谱估计的自相关法也称为 Yule-Walker法。 EE of BUPT 现代信号处理
最大熵谱估计和 AR 模型谱估计是一致的
13
设x{n}为高斯过程，则可证明最大熵谱估计为 2 p S x ( ) 2 2 p rx 0 ak rx k j k
1 ak e
k 1
k 1
ak ( k 1, 2, ..., p)和 正好满足Yule-Walker方程: 其中， rx (1) rx ( p) 1 2 rx (0)
l 0,1, ,p
EE of BUPT
其中
现代信号处理
ˆx l r
N 1 l n 0
x n l x n ,
采用自相关法进行AR模型谱估计的步骤
（2）求解方程： 方法：Levinson-Durbin算法（P107）
2 ˆ1 , a ˆ 2 , ..., a ˆ p , ˆw 解得模型参数 a 以及最小预测误差平方
功率谱估计是一个典型的从局部估计全局的问题。
传统的谱估计方法（如相关图法）具有的一个局限 是：给定长为 N 的观测值，只能估计|l|<N时的自相 ˆx (l )。由于很多信号的自相关在|l|≥N 时不为 关序列 r 零，这一处理方法（也即加窗方法）可能会显著降 低所估计谱的分辨率和精度，尤其是当信号具有窄 带谱时，其自相关随 l 的增加衰减很慢，加窗效应 更明显。
S x ( )
l p
r (l )e
x
p
j l
rex ( l )e
|l | p
j l
有若干种外推方法，Burg提出的外推准则是：在外 推区间，使信号取最随机、最不可预测的值，换言 之，就是使随机过程的熵最大。
EE of BUPT
现代信号处理
最大熵
一个功率谱为S x ( )的高斯随机过程，其熵定义为 1 π H x ln S x ( ) d 2π π 高斯过程的两个约束：
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.4 改进的协方差法（不加窗）
20
在最小二乘线性预测中，由于采用具体的一段输入 数据进行参数估计，因而，前向、后向预测的系数 和误差方差不可能相等。 为此，如果令前向、后向预测误差平方一起求和后 最小，比单一令前向（或后向）预测误差平方和最 小，更具有合理性。 在改进的协方差法中，先令后向线性预测系数倒置 后等于前向预测系数，然后最小化前向预测误差平 方和加后向预测误差的平方和。 与协方差法类似，改进的协方差法也不对数据作加 窗处理。
4
7.1 信号建模 7.2 AR模型谱估计 7.3 MA模型谱估计 7.4 ARMA模型谱估计
现代信号处理
EE of BUPT
7.1 信号建模
5
如果 {x(n)} 是一个ARMA(p, q)过程，则
x( n) ak x( n k ) w( n) bk w( n k )
p
给定一组观测数据 {x(0), x(1), , x( N 1)} ，如果通 过一种估计方法得到模型参数的估计 2 值 a ，那么功率谱密度的估计为 ˆ1 , a ˆ 2 , ..., a ˆ p , ˆw 2 ˆ w ˆ S AR ( ) 2
k 1
ˆ k e j k 1 a
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.3 协方差法（不加窗法）
18
在最小二乘线性预测中，为了在计算滤波器的输出 误差时不使用测量区间以外的数据，即不对数据作 加窗处理，取误差平方的求和范围为p到N-1，由此 引出AR模型谱估计的协方差法。 协方差法的正则方程： ˆ1 ˆx (1,1) r ˆx (1, 2) ˆx (1, p) a ˆx (1, 0) r r r a r r ˆ ˆx (2,1) r ˆx (2, 2) ˆ ˆ r (2, p ) (2, 0) x 2 x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a rx ( p, p ) rx ( p,1) rx ( p, 2) rx ( p, 0) p
2
r (1) rx (0) x rx ( p ) rx ( p 1)
a rx ( p 1) 1 0 rx (0) a p 0
现代信号处理
因此，对于高斯随机过程，最大熵谱估计和 AR 模型 谱估计是一致的。
其中 N 1 ˆx ( k , l ) x( n k ) x( n l ) x r n p k x n p l n p 1 k, l p
k 1 k 1
p
q
该随机过程的功率谱密度（PSD）为
S x ( )
2 w
1 bk e
k 1 p
q
2 j k
1 ak e j k
k 1
2 w
B(e ) A(e )
j
j
2 2
现代信号处理
EE of BUPT
7.1 信号建模
6
参数谱估计的过程： 给定平稳随机过程 {x(n)} 某次实现中的一段有限 N 1 长数据 { x(n)}n0 ，利用先验知识选择一个合理 的模型（如ARMA），然后利用给定的数据估计 p q 2 ˆ ˆ ˆ {ak }1 ,{bk }1 , w ，最后用下列公式计 模型参数： 算功率谱估计。 2 q 2 ˆ e j k j 1 b ˆ (e ) k B 2 2 k 1 ˆ ( ) ˆ ˆ S x w w p 2 j ˆ (e ) j k A ˆ 1 a e
和J min :
ˆx 0 a ˆk r ˆx k J min r
白噪声的方差为：
2 w
p
k 1
J min ˆ Np 由此，可计算功率谱密度。
现代信号处理
EE of BUPT
自相关法的MATLAB实现
17
源自文库
MATLAB平台中的Signal Processing Toolbox提供 了用Yule-Walker法进行AR模型参数估计的函数。 a = aryule(x, p) [a, e] = aryule(x, p) [a, e, k] = aryule(x, p) 由于自相关法假设了观测窗以外的数据为0，相当 于进行了加窗处理，因此自相关法估计的功率谱分 辨率会受到窗长度的限制。 自相关法的优点是，正则方程的系数矩阵具有 Toeplitz性，可以用Levinson-Durbin算法求解正则 方程，从而有效提高解方程的效率。
k 1
p
现代信号处理
EE of BUPT
主要内容
9
7.2.1 最大熵谱估计 7.2.2 自相关法 7.2.3 协方差法 7.2.4 改进的协方差法 7.2.5 Burg算法 7.2.6 AR模型阶的确定
现代信号处理
EE of BUPT
7.2.1 最大熵谱估计——外推
10
若已知部分自相关序列rx 0 , rx 1 , 熵功率谱S x ( )应使熵最大化；
rx p , 其最大
对于给定的自相关应满足维纳-欣钦关系： 1 π j l S ( )e d rx l , l p x 2π π
现代信号处理
EE of BUPT
采用自相关法进行AR模型谱估计的步骤
(1) 设定模型阶数p，建立正则方程（增广的WienerHopf矩阵） f rx (0) rxT 1 PM w Rx f 0 rx
ˆx (0) ˆx (1) r r r ˆx (1) ˆx (0) r ˆx ( p) r ˆx ( p 1) r ˆx ( p) 1 J min r ˆ ˆx ( p 1) a1 0 r ˆ ˆx (0) r a p 0
如果我们能对自相关进行更精确的外推，就可能消 除加窗效应。
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.1 最大熵谱估计——burg外推
11
最大熵谱估计的思想是：假设已知（或可以估计 出） {rx (0), rx (1), ..., rx ( p)} ，为了用自相关序列计算 功率谱，需外推自相关函数。 设外推得到的自相关为 rex ( p 1), rex ( p 2), ... ， 则该随机过程的功率谱为：
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.4 改进的协方差法
21
正则方程
ˆx (1,1) r ˆx (1, 2) r r ˆx (2,1) r ˆx (2, 2) ˆx ( p,1) r ˆx ( p, 2) r ˆ1 ˆx (1, p) a ˆx (1, 0) r r a r ˆ ˆ ˆx (2, 0) rx (2, p) 2 ˆ ˆ ˆ a rx ( p, p ) rx ( p, 0) p
ˆx ( k , l ) x( n k ) x( n l ) r ˆx ( l , k ) r
现代信号处理
n p
N 1
1 k, l p
EE of BUPT
7.2.3 协方差法
19
采用协方差法进行AR模型谱估计的步骤为： ˆx ( k , l ) ， 设定模型阶数 p，采用快速算法计算 r 然后建立正则方程。 H 采用LDL 分解方法求解正则方程，并计算Jmin。 计算功率谱。 MATLAB函数 a = arcov(x, p) [a, e] = arcov(x, p) 在协方差法中，我们不对数据作加窗处理，因此， 对短数据记录，协方差法一般可获得比自相关法有 更高分辨率的谱估计。
尹霄丽 北京邮电大学电子工程学院 yinxl@bupt.edu.cn
引言
2
功率谱估计分为非参数功率谱估计和参数功率谱估 计。 在参数谱估计中，我们先假设所讨论的随机过程服 从某一有限参数模型，再利用给定的随机序列值估 计模型的参数，然后把估计出来的模型参数代入该 模型的理论功率谱密度公式，得到谱估计。 模型法在谱分辨率和谱真实性方面比经典法有改善， 但改善的程度取决于所选模型的恰当性和模型参数 的估计质量。
k 1 k
现代信号处理
EE of BUPT
7.1 信号建模
7
参数谱估计的性能取决 于所选模型的恰当性和 模型参数的估计质量。 信号建模是参数谱估计 的重要环节。 信号建模的步骤：
现代信号处理
EE of BUPT
7.2 AR模型谱估计
8
设随机过程x(n)由AR(p)模型产生，即
x ( n ) ak x ( n k ) w ( n )
现代信号处理
EE of BUPT
经常使用的参数模型是随机信号的线性模型：自回 归模型（AR）、滑动平均模型（MA）和自回归滑 动平均模型（ARMA）。
这些模型的理论功率谱密度是已知的，因而参数谱
估计的问题就转化为怎样利用给定的一段数据估计
这些模型参数。
现代信号处理
EE of BUPT
目录
EE of BUPT
7.2.2 自相关法（全加窗法）
14
在5.4.1节中，讨论了线性预测系数与AR模型系数之 间的关系，说明可以采用线性预测的方法对AR模型 进行系统辨识。 平稳AR(p)过程的自相关函数满足Yule-Walker方程。 因此，如果给定 { rx (0), rx (1), ..., rx ( p )} ，则可以通过 求解该方程得AR模型的系数和激励噪声的方差。 对于功率谱估计问题而言，我们往往不可能精确推 导出自相关函数，而只能利用给定的观测数据进行 自相关估计。 采用Yule-Walker方程和自相关估计，即可实现 AR 谱估计。因而，AR模型谱估计的自相关法也称为 Yule-Walker法。 EE of BUPT 现代信号处理
最大熵谱估计和 AR 模型谱估计是一致的
13
设x{n}为高斯过程，则可证明最大熵谱估计为 2 p S x ( ) 2 2 p rx 0 ak rx k j k
1 ak e
k 1
k 1
ak ( k 1, 2, ..., p)和 正好满足Yule-Walker方程: 其中， rx (1) rx ( p) 1 2 rx (0)
l 0,1, ,p
EE of BUPT
其中
现代信号处理
ˆx l r
N 1 l n 0
x n l x n ,
采用自相关法进行AR模型谱估计的步骤
（2）求解方程： 方法：Levinson-Durbin算法（P107）
2 ˆ1 , a ˆ 2 , ..., a ˆ p , ˆw 解得模型参数 a 以及最小预测误差平方
功率谱估计是一个典型的从局部估计全局的问题。
传统的谱估计方法（如相关图法）具有的一个局限 是：给定长为 N 的观测值，只能估计|l|<N时的自相 ˆx (l )。由于很多信号的自相关在|l|≥N 时不为 关序列 r 零，这一处理方法（也即加窗方法）可能会显著降 低所估计谱的分辨率和精度，尤其是当信号具有窄 带谱时，其自相关随 l 的增加衰减很慢，加窗效应 更明显。
S x ( )
l p
r (l )e
x
p
j l
rex ( l )e
|l | p
j l
有若干种外推方法，Burg提出的外推准则是：在外 推区间，使信号取最随机、最不可预测的值，换言 之，就是使随机过程的熵最大。
EE of BUPT
现代信号处理
最大熵
一个功率谱为S x ( )的高斯随机过程，其熵定义为 1 π H x ln S x ( ) d 2π π 高斯过程的两个约束：
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.4 改进的协方差法（不加窗）
20
在最小二乘线性预测中，由于采用具体的一段输入 数据进行参数估计，因而，前向、后向预测的系数 和误差方差不可能相等。 为此，如果令前向、后向预测误差平方一起求和后 最小，比单一令前向（或后向）预测误差平方和最 小，更具有合理性。 在改进的协方差法中，先令后向线性预测系数倒置 后等于前向预测系数，然后最小化前向预测误差平 方和加后向预测误差的平方和。 与协方差法类似，改进的协方差法也不对数据作加 窗处理。
4
7.1 信号建模 7.2 AR模型谱估计 7.3 MA模型谱估计 7.4 ARMA模型谱估计
现代信号处理
EE of BUPT
7.1 信号建模
5
如果 {x(n)} 是一个ARMA(p, q)过程，则
x( n) ak x( n k ) w( n) bk w( n k )
p
给定一组观测数据 {x(0), x(1), , x( N 1)} ，如果通 过一种估计方法得到模型参数的估计 2 值 a ，那么功率谱密度的估计为 ˆ1 , a ˆ 2 , ..., a ˆ p , ˆw 2 ˆ w ˆ S AR ( ) 2
k 1
ˆ k e j k 1 a
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.3 协方差法（不加窗法）
18
在最小二乘线性预测中，为了在计算滤波器的输出 误差时不使用测量区间以外的数据，即不对数据作 加窗处理，取误差平方的求和范围为p到N-1，由此 引出AR模型谱估计的协方差法。 协方差法的正则方程： ˆ1 ˆx (1,1) r ˆx (1, 2) ˆx (1, p) a ˆx (1, 0) r r r a r r ˆ ˆx (2,1) r ˆx (2, 2) ˆ ˆ r (2, p ) (2, 0) x 2 x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a rx ( p, p ) rx ( p,1) rx ( p, 2) rx ( p, 0) p
2
r (1) rx (0) x rx ( p ) rx ( p 1)
a rx ( p 1) 1 0 rx (0) a p 0
现代信号处理
因此，对于高斯随机过程，最大熵谱估计和 AR 模型 谱估计是一致的。
其中 N 1 ˆx ( k , l ) x( n k ) x( n l ) x r n p k x n p l n p 1 k, l p
k 1 k 1
p
q
该随机过程的功率谱密度（PSD）为
S x ( )
2 w
1 bk e
k 1 p
q
2 j k
1 ak e j k
k 1
2 w
B(e ) A(e )
j
j
2 2
现代信号处理
EE of BUPT
7.1 信号建模
6
参数谱估计的过程： 给定平稳随机过程 {x(n)} 某次实现中的一段有限 N 1 长数据 { x(n)}n0 ，利用先验知识选择一个合理 的模型（如ARMA），然后利用给定的数据估计 p q 2 ˆ ˆ ˆ {ak }1 ,{bk }1 , w ，最后用下列公式计 模型参数： 算功率谱估计。 2 q 2 ˆ e j k j 1 b ˆ (e ) k B 2 2 k 1 ˆ ( ) ˆ ˆ S x w w p 2 j ˆ (e ) j k A ˆ 1 a e
和J min :
ˆx 0 a ˆk r ˆx k J min r
白噪声的方差为：
2 w
p
k 1
J min ˆ Np 由此，可计算功率谱密度。
现代信号处理
EE of BUPT
自相关法的MATLAB实现
17
源自文库
MATLAB平台中的Signal Processing Toolbox提供 了用Yule-Walker法进行AR模型参数估计的函数。 a = aryule(x, p) [a, e] = aryule(x, p) [a, e, k] = aryule(x, p) 由于自相关法假设了观测窗以外的数据为0，相当 于进行了加窗处理，因此自相关法估计的功率谱分 辨率会受到窗长度的限制。 自相关法的优点是，正则方程的系数矩阵具有 Toeplitz性，可以用Levinson-Durbin算法求解正则 方程，从而有效提高解方程的效率。
k 1
p
现代信号处理
EE of BUPT
主要内容
9
7.2.1 最大熵谱估计 7.2.2 自相关法 7.2.3 协方差法 7.2.4 改进的协方差法 7.2.5 Burg算法 7.2.6 AR模型阶的确定
现代信号处理
EE of BUPT
7.2.1 最大熵谱估计——外推
10
若已知部分自相关序列rx 0 , rx 1 , 熵功率谱S x ( )应使熵最大化；
rx p , 其最大
对于给定的自相关应满足维纳-欣钦关系： 1 π j l S ( )e d rx l , l p x 2π π
现代信号处理
EE of BUPT
采用自相关法进行AR模型谱估计的步骤
(1) 设定模型阶数p，建立正则方程（增广的WienerHopf矩阵） f rx (0) rxT 1 PM w Rx f 0 rx
ˆx (0) ˆx (1) r r r ˆx (1) ˆx (0) r ˆx ( p) r ˆx ( p 1) r ˆx ( p) 1 J min r ˆ ˆx ( p 1) a1 0 r ˆ ˆx (0) r a p 0
如果我们能对自相关进行更精确的外推，就可能消 除加窗效应。
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.1 最大熵谱估计——burg外推
11
最大熵谱估计的思想是：假设已知（或可以估计 出） {rx (0), rx (1), ..., rx ( p)} ，为了用自相关序列计算 功率谱，需外推自相关函数。 设外推得到的自相关为 rex ( p 1), rex ( p 2), ... ， 则该随机过程的功率谱为：
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.4 改进的协方差法
21
正则方程
ˆx (1,1) r ˆx (1, 2) r r ˆx (2,1) r ˆx (2, 2) ˆx ( p,1) r ˆx ( p, 2) r ˆ1 ˆx (1, p) a ˆx (1, 0) r r a r ˆ ˆ ˆx (2, 0) rx (2, p) 2 ˆ ˆ ˆ a rx ( p, p ) rx ( p, 0) p
ˆx ( k , l ) x( n k ) x( n l ) r ˆx ( l , k ) r
现代信号处理
n p
N 1
1 k, l p
EE of BUPT
7.2.3 协方差法
19
采用协方差法进行AR模型谱估计的步骤为： ˆx ( k , l ) ， 设定模型阶数 p，采用快速算法计算 r 然后建立正则方程。 H 采用LDL 分解方法求解正则方程，并计算Jmin。 计算功率谱。 MATLAB函数 a = arcov(x, p) [a, e] = arcov(x, p) 在协方差法中，我们不对数据作加窗处理，因此， 对短数据记录，协方差法一般可获得比自相关法有 更高分辨率的谱估计。