幂级数复习总结
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思考: 如何利用本题结果求级数
1 e x (sin nx n cos nx) bn e sin nx d x 2 0 0 1 n n 1 e (1) n ( n 1, 2 , ) 2 1 n
1
x
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有 e 1 1 f (0 ) f (0 ) 1 n 1 2 2 2
x 2 x2 2 2 x (2 x 2 ) 2
x2 1 2 x 1 x2 2
x2 (0 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散, 故和函数为
1 1 n (2) 原式 x n 1 n n 1
x
于是
(1) n 2 n (1) n 2 n 2 f (x) 1 x x n 1 2n 1 n 0 2n 1
(1) n 2 n (1) n 2 n 2 f (x) 1 x x n 1 2n 1 n 0 2n 1 (1) 2 n 1 x n 1 2n 1
一、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R 处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式 • 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
练习:
例题. 求下列级数的敛散区间:
1 n 解: lim an lim (1 ) e n n n 1 1 1 R , 即 x 时原级数收敛 . e e e
n
(1) n 1 2 n x n 1 2n 1
1 1 2n 1 (1) x 2n 1 2n 1 n 1
(1) n 2 n 1 2 x , 2 n 11 4n
n
2. 函数的傅里叶级数展开法
系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法 练习: 例题. 设 f (x)是周期为2的函数, 上的表达式为 将其展为傅里叶级数 . 它在 [ , )
例3. 求幂级数
法1 易求出级数的收敛域为
x
1 x sin x cos x , 2 2
法2 先求出收敛区间
设和函数为
则
1 2 x sin x 2 1 x S ( x) sin x cos x, 2 2
练习: 例题 . 求下列幂级数的和函数：
x≠0 解: (1)
1 1 2 n 1 x 2 ) n 原式 n ( x ) ( 2 x n 1 n 1 2
x2 2
x2 当 1 , 即 2 x 2 时， 级数收敛; 2
当 x 2时 , 一般项 u n n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2 , 2 ) .
例2.
解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数
注意:
∵ 原级数 =
极限不存在
R min{R1 , R 2 } 1 ∴ 其收敛半径 4
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .
根据和函数的连续性 , 有
三、函数的幂级数和傅里叶级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 1. 将函数 展开成 x 的幂级数.
1 1 1 1 1 x 解: 2 2 1 2 2 x (2 x) 2
1 n x n 1 n , 源自文库 n 1 2
x 2n n 0
n
2. 设 x 的幂级数 , 并求级数
1 解: (1) n x 2 n , 1 x 2 n 0
, 将 f (x)展开成 的和.
x (1,1)
1 (1) n 2 n 1 dx arctan x x , x [1,1] 2 1 x n 0 2n 1 0
n
1 当 x 时, e
1 n (1 ) n n un
e 1
1 n 1 (1 ) e n
1 0 ( n ) e
1 1 因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( , ) . e e
u n 1 ( x) 解: 因 lim lim n u n ( x) n
x0
x
1 tn d t n 1 x 0
1 t (0 x 1) dt x 01 t 1 1 ln (1 x) x 1 1 ( 1) ln (1 x) x
x
即得
1 1 ( 1) ln (1 x) , 0 x 1 x
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） • 映射变换法
n 0
an x
S (x)
n
逐项求导或求积分
n 0
an x n
难
求和
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 求和
直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
y
解答提示 1
an
0
1 e (1) 1 1 n2
n
o x 1 e x (n sin nx cos nx) x e cos nx d x 0 2 1 n
( n 0 , 1, 2 , )
e 1 1 f ( x) 2 n 1 ( x k , k 0 , 1 , 2 , )
1 e x (sin nx n cos nx) bn e sin nx d x 2 0 0 1 n n 1 e (1) n ( n 1, 2 , ) 2 1 n
1
x
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有 e 1 1 f (0 ) f (0 ) 1 n 1 2 2 2
x 2 x2 2 2 x (2 x 2 ) 2
x2 1 2 x 1 x2 2
x2 (0 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散, 故和函数为
1 1 n (2) 原式 x n 1 n n 1
x
于是
(1) n 2 n (1) n 2 n 2 f (x) 1 x x n 1 2n 1 n 0 2n 1
(1) n 2 n (1) n 2 n 2 f (x) 1 x x n 1 2n 1 n 0 2n 1 (1) 2 n 1 x n 1 2n 1
一、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R 处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式 • 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
练习:
例题. 求下列级数的敛散区间:
1 n 解: lim an lim (1 ) e n n n 1 1 1 R , 即 x 时原级数收敛 . e e e
n
(1) n 1 2 n x n 1 2n 1
1 1 2n 1 (1) x 2n 1 2n 1 n 1
(1) n 2 n 1 2 x , 2 n 11 4n
n
2. 函数的傅里叶级数展开法
系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法 练习: 例题. 设 f (x)是周期为2的函数, 上的表达式为 将其展为傅里叶级数 . 它在 [ , )
例3. 求幂级数
法1 易求出级数的收敛域为
x
1 x sin x cos x , 2 2
法2 先求出收敛区间
设和函数为
则
1 2 x sin x 2 1 x S ( x) sin x cos x, 2 2
练习: 例题 . 求下列幂级数的和函数：
x≠0 解: (1)
1 1 2 n 1 x 2 ) n 原式 n ( x ) ( 2 x n 1 n 1 2
x2 2
x2 当 1 , 即 2 x 2 时， 级数收敛; 2
当 x 2时 , 一般项 u n n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2 , 2 ) .
例2.
解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数
注意:
∵ 原级数 =
极限不存在
R min{R1 , R 2 } 1 ∴ 其收敛半径 4
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .
根据和函数的连续性 , 有
三、函数的幂级数和傅里叶级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式 • 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 1. 将函数 展开成 x 的幂级数.
1 1 1 1 1 x 解: 2 2 1 2 2 x (2 x) 2
1 n x n 1 n , 源自文库 n 1 2
x 2n n 0
n
2. 设 x 的幂级数 , 并求级数
1 解: (1) n x 2 n , 1 x 2 n 0
, 将 f (x)展开成 的和.
x (1,1)
1 (1) n 2 n 1 dx arctan x x , x [1,1] 2 1 x n 0 2n 1 0
n
1 当 x 时, e
1 n (1 ) n n un
e 1
1 n 1 (1 ) e n
1 0 ( n ) e
1 1 因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( , ) . e e
u n 1 ( x) 解: 因 lim lim n u n ( x) n
x0
x
1 tn d t n 1 x 0
1 t (0 x 1) dt x 01 t 1 1 ln (1 x) x 1 1 ( 1) ln (1 x) x
x
即得
1 1 ( 1) ln (1 x) , 0 x 1 x
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） • 映射变换法
n 0
an x
S (x)
n
逐项求导或求积分
n 0
an x n
难
求和
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 求和
直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
y
解答提示 1
an
0
1 e (1) 1 1 n2
n
o x 1 e x (n sin nx cos nx) x e cos nx d x 0 2 1 n
( n 0 , 1, 2 , )
e 1 1 f ( x) 2 n 1 ( x k , k 0 , 1 , 2 , )