场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件

1.1.1 库仑定律
库仑定律是静电现象的基本实验定律。试验表明: 真空中两个静止 的点电荷 q1 与 q2 之间的相互作用力:
2
F21
q1q2 e12 2 4 0 R
N( 牛顿)
q1q2 e21 F12 2 4 0 R
N( 牛顿)
F21 F12
图2.1.1 两点电荷间的作用力
第2章 静电场

1
静电场： 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的
电场。 静电场是本电磁场课程的基础。由此建立的物理概念、分
析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变 场。

本章任务：
阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的
情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。
2.1 电场强度
适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力
无限大真空情况 (式中
109 0 8.85 1012 36
F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中
( 0 )
2.1.2 静电场基本物理量——电场强度
F ( x, y , z ) 定义： E( x , y , z ) V/m (N/C) lim

k 1
N
qk e 2 k Rk
dq( r' )
4
V/m
连续分布电荷产生的电场强度
r r'
40 r r' 3
体电荷分布
dq ( r' )dV'
1 40 r r' ( r' )dv' eR R2
V'
E( r )
图2.1.3 体电荷的电场

r r'
3
dq

1 4 0
dE( x , y )
dx
Ey
L2

4 o ( x 2 y 2 )
L1

y x2 y2
dx
L2 L1 ( ) 2 2 2 2 4 o y L y L1 y 2
(直角坐标)
当L L1 L2 时,
E p ( y ) Ey e y Ex ex
V/m
4 0 r r' q eR 2 4 0 R
图2.1.2 点电荷的电场

q( r r' )
3
V/m
b)
n个点电荷产生的电场强度 (矢量叠加)
E( r )
c)
1 4 0

k 1
N
qk r rk '
2
r rk ' 1 r rk ' 4 0
dE( r ) 1

v'
面电荷分布
线电荷分布
dq (r ' )ds'
E( r ) 1 40
dq (r ' )dl'
R
2

( r ' )ds'
s'
eR
E( r )
1 4 0

( r' )dl'
R
2
l'
eR
例1 真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为 ,试求P 点的电场.
5
解: 采用直角坐标系, 令y轴经过场点p,导线与x轴重合。
图2.1.4 带电长直导线的电场
Ex
L2

4 o ( x y )
2 2
L1

4 o ( x 2 y 2 ) x dEx dE 2 2 x y y dEy dE 2 2 x y x 1 1 dx ( ) 2 2 2 2 2 2 4 o x y L2 y L1 y
当r 0


单位点电荷的密度分布
V'
( x , y , z )dV ' ( r )dV ' 1
V'
( 积分区域 V' 包含r 0点 )
点电荷的密度
( r ) q( r )
2.2 静电场的无旋性和高斯定律
2.2.1 静电场的无旋性
1. 静电场旋度 点 电 荷
7
3
E( r )
ey 20 y

E( , , z ) E e E e Ez ez
e 2 0
( 圆柱坐标)

无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。
电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分, 然后再合成,即
6
E Ex ex Ey e y Ez ez
积分是对源点 ( x' , y' , z ' ) 点电荷的数学模型
进行的,计算结果是场点 ( x, y, z ) 的函数。
点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电
荷密度很大，总电量不变的带电小球体。
当 a 0 时，电荷密度趋近于无穷大，通常 用冲击函数 表示点电荷的密度分布。
( x, y , z ) ( r )
0
当r 0
( r r' ) 0
1 r r' ( r r' ) 3 3 r r' r r'
3
( r r' ) 0
故
E(r ) 0
电场强度E 的旋度等于零

可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。 即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即
E 0
8
静电场是一个无旋场。
2. 静电场的环路定律
由斯托克斯定理，得
E dl ( E) ds 0
l s
在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。
E 0
E dl 0
l二者Βιβλιοθήκη 价。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。
3 .
1)
电位函数
电位的引出
9
0 E
E 0, 根据矢量恒等式
在静电场中可通过求解电位函数，再利用上式可方便地求得电场 强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。 2) 已知电荷分布，求电位：
qt 0
3
qt
电场强度E 表示单位正电荷在电场中所受到的力(F ), 它是空间坐标的 矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。 a) 点电荷产生的电场强度
F q r r' Ep( r ) 2 qt 40 r r' r r'
F q E p( r ) e 2 r qt 40 r
E( r )
q 40
q 4 0

r r' r r'
r r' r r'
3

矢量恒等式
F F F

直接微分得
r r' r r'
3

1 r r'
( r r' ) 3
1 r r'
3
( r r' )