九年级数学中考第二轮复习专题探索性问题

Ⅰ、综合问题精讲：

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直

角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．

①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；

③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.

∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。 设抛物线的解析式为2

y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

得1242242x

a b c a b c

=⎧⎪

=-+⎨⎪=++⎩

解得1,0,14a b c ===

∴此抛物线的解析式为2

1

14y x =+

方法二：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2)。

根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+。 其过点A(0，1)和C(-2．2)

124c a c

=⎧⎨

=+⎩ 解得1,14a c == 此抛物线解析式为2

1

14y x =+

(2)解：

①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ．

∵P 点在抛物线y=214x +l 上．可设P 点坐标为21(,1)4

a a +．∴PS ＝2

1

14a +，OB ＝NS ＝2，BN ＝a 。∴

PN=PS —NS=2114

a - 在Rt PNB 中．

PB 2

＝22222

2211(1)(1)44

PN BN a a a +=-+=+ ∴PB ＝PS ＝2

1

14a +

②根据①同理可知BQ ＝QR 。 ∴12∠=∠， 又∵13∠=∠， ∴23∠=∠， 同理∠SBP ＝∠B ∴2523180∠+∠=︒

∴5390∠+∠=︒∴90SBR ∠=︒. ∴△SBR 为直角三角形． ③方法一：设,PS b QR c ==，

∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+。∴222()()SR b c b c =+--

∴2SR bc =。假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR ＝2bc x - 。若使△PSM ∽△MRQ ， 则有2b bc x x

c

-=。即220x bcx bc -+=

∴12x x bc ==。∴SR ＝2bc

∴M 为SR 的中点. 若使△PSM ∽△QRM ， 则有

2b c

x bc x

=-。∴2b bc x b c =+。

∴

2212MR bc x bc c QB RO

MS x b BP OS b bc

b c

-==-===

+。 ∴M 点即为原点O 。

综上所述，当点M 为SR 的中点时．∆PSM ∽ΔMRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ． 方法二：若以P 、S 、M 为顶点的三角形与以Q 、M 、R 为顶点三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，

∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况。 当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ．

由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90°。∴90PMQ ∠=︒。 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12

PQ=1()2

QR PS +．

∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线,

∴点M 为SR 的中点 当△PSM ∽△QRM 时，

RM QR QB

MS PS BP ==

。又RM RO MS OS

=，即M 点与O 点重合。∴点M 为原点O 。 综上所述，当点M 为SR 的中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△QRM 。

点拨：通过对图形的观察可以看出C 、F 是一对关于y 轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个

点的坐标就可以应用三点式或 y=ax 2

+c 型即可．而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a ，14a 2

+1）．这样再过点B 作BN ⊥PS ．得出的几何图形求出PB 、PS 的大小．最后一问的关键是

要找出△PSM 与△MRQ 相似的条件．

【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m ∥n，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点． （1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；

（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________与△ABC 的面积相等．理由是：_________________.