回溯算法
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Ｖａｒ
种 不 同的解 ，后来 有人 用 图论 的方法 解 出９ 种 结果 。可 ２
以用 回溯 的算 法 求 出这９ 种 结果 。 图 ｌ 其 中 的一种 结 ２ 是 果。 （ Ｑ表示 皇后 的位 置 ）
Ｑ
Ｑ
Ｑ
Ｑ
ｉ ｉ ｔ ｇ ｒ ： ｎｅ ｅ ； ｂ ｇｎ ｅ ｉ
Ｑ
ｉ 当前 状 态 为 边 界 ｆ
中国 装 观代 备
ＥＮＤ；
ＳＮ ４９．３ Ｃ１７１＂ Ｓ１ ２４ Ｎ１ ９４／１８ ６
－
的状况 。在 八皇后 问题 中 ，将 行位 置作 为状 态 。
（） 界 条 件 ： 即在 什 么 情 况 下 程 序 不 再 递 归 下 ３边 去 。 在 八 皇 后 问题 中 ，将 等 于 ｎ ｌ （ 生 一 种 成 功 放 ＋ 产 法 ）作为边 界条 件 。如 果是求 满足 某个 特 定条件 的一条 最佳路 径 ，则 当前状 态 到达边 界 时并非 一定 意 味着 此 时
ＥＮ Ｄ ；
Ｐ ＯＣ Ｄ Ｒ Ｅ ＵＲＥＴ Ｙ（ Ｌ Ｉ Ｅ Ｒ ； Ｒ Ｈ，： ＮＴ ＧＥ ）
、 Ｒ ，， Ｉ Ｔ ＩＪＦ： Ｎ ＥＧＥＲ；
ＢＥＧＩ Ｎ
（） 条件 和最优 性要求 ：约束 条件是 这个数 没有 ４约束 被填过， 一个就填 上，然后填 下一个 位置（， １ 找到 １ ＋） ｌ ： ｌ
ＳＮ 】 ＳＮ 】Ａ Ｉ】 计算 ＼ 向对角 线 的和 ） ［２： ［ ２＋ ［Ｉ ｛ ＝ ，； 方
Ｅ ＮＤ ；
法 ，对于 每一种 填法 都验 证每 行 、每列 、对 角线 上的和 是不 是 等于 １ ，其 中有 ８ 填 法符 合 每行 、每列 、对 角 ５ 种 线之和 都等 于 １。 ５ （） 状态 ：填 的第ｈ ，第 ｌＵ 为状态 。 １ 定义 行 Ｙ作
ｌ ＳＳＮ１ ２． ４３ ６７ １ ８
Ｃ１４ ４ Ｎ１９ ／ ＿９Ｔ
中国 装备 观代
２ １１ ０第第期 总年２４ １ ６期 １
回溯 算法
王 凤 红
回溯 算 法 是 程 序 设 计 中 最 重 要 的基 础 算 法 之 一 ， 也 是 搜 索算 法 中 的一 种 控 制 策 略 ， 回溯 算 法 的基 本 思 想 是 ： 从 一 条 路 往 前 走 ， 能 进 则 进 ， 不 能 进 则 退 回 来 ，选 择 另外 一 条 路 再 走 。 它 是 从初 始 状 态 出发 ，运 用 题 目给 出 的条 件 、规 则 ， 按 照深 度 优 先 搜 索 的 顺序 扩 展所 有可 能 情 况 ，从 中 找 出满 足 题 意 要 求 的 解 答 。 回 溯 法 是求 解 特 殊 型 计 数 题 或较 复杂 的枚 举 题 中使 用
ＶＡＲ ＩＩ ＥＧＥ ：ＮＴ Ｒ；
ＢＥＧＩ Ｎ Ｐ ＬＡＣＥ： ＴＲＵＥ； ＝ Ｆ ＯＲ Ｉ＝ｌＴＯ Ｋ． ： １Ｄ０
一
． １算法分 析 ． 列 出所 有可 能 的情况 从 中找 出符合 条件 的解 。从第 行第 ～ 列开 始 ，找一 个还 没有 填过 的数 填上 ，然 后就 填 下 一个 。当所 有可 能 的填 法都试 验 完 了以后就 回溯 到 上 一个 数 ，试 验 还没 有填 过 的数 。直 到九个 格全 部填 完
然后变 换 到ｂ ，再变 换 到Ｃ ……最后 一种 填法 是ｅ 。
Ｐ ＣＥ ＲＯ ＤＵＲ Ｒ Ｎ ； 打 印结果 ｝ ＥＰ Ｉ Ｔ ｛
Ｖ ＡＲ ：ＮＴ Ｉ Ｉ ＥＧＥＲ； ＢＥＧＩ Ｎ
Ｆ ＝ Ｏ Ｎ ＤＯ ＷＲＩ Ｅ Ｘ［ ：） ＯＲＩ １ Ｔ （ Ｉ４ ； ： Ｔ ］
Ｉ Ｘ［ ＝ Ｋ］ＯＲ（ ＢＳＸ［ － Ｋ］ ＡＢ （－ ） Ｆ（ Ｉ Ｘ【 ） ］ Ａ （ Ｉ ｘ［ ） ］ ＝ ＳＩＫ）
Ｔ Ｎ Ｐ ＡＣ ：Ｆ Ｓ ；｛ 已经 放好 的ｋ １ ＨＥ Ｌ Ｅ＝ ＡＬ Ｅ 跟 ． 个皇 后不 在 同一行跟 对角线 上 ｝
ＥＮＤ；
之 后 ，验 证 是不 是符 合条 件 。第 一种 填法 是 图３ 中的ａ ，
第 ｉ ，不产生攻击 （ ｌｃ－ｒｅ 行上 ｐａｅｔ ）作为 约束条件 。 －ｕ
［ 问题 描述】
（） 与递 归 运 算 的 参数 ：将 参 与递 归 运 算 的 参 数 ６参
设 为递 归子程 序 的值参 或局 部变 量 。若这 些参 数 的存储 量 大 （ 如数 组 ）且初 始值 需 由主程序 传入 ，为避 免 内 例 存溢 出，则必 须将 其设 为全 局变量 ，且 回溯 前 需恢 复其 递 归前 的值 。在 八皇 后 问题 中 ，将 皇后 的列 作 为参 与递 归运算 的参 数 。 ２程 序清单 ．
千 百年来 影 响 巨大 ，在文 学 、影视 中都 曾出现过 。九 宫
格最 早 叫 “ 书 ”，现在 也 叫 “ 方 ”。 洛 幻
在 《 雕 英雄传 》 中黄 蓉 曾破 解 九宫格 ， 口诀 ：戴 射 九履 一 ，左三 右七 ，二 四有 肩 ，八六 为 足 ，五居 中央 ，
如 图２ 示 。 所
Ｃ ＮＴＩ ＧＥ ＯＵ ： ＮＥ Ｒ；｛ 存放 方案 总数 ｝
Ｘ： Ｒ Ｙ［一 ＯＦ Ｉ Ｅ Ｒ ｘ ｉ 存放 第ｉ ＡＲ Ａ １Ｎ】 ＮＴ ＧＥ ；｛ ［里 ］ 列这 个 皇后放 在ｘｉ ［ 这一行 上 ｝ ］
Ｆ ＮＣ Ｉ Ｐ ＡＣ （ Ｉ Ｅ ￣ ： Ｌ ＡＮ； ｛ Ｕ Ｔ ＯＮ Ｌ Ｅ Ｋ： ＮＴ ＧＥ ＢＯＯ Ｅ 看 看第ｋ 皇后 能不 能放 上 ｝ 个
、
回溯算法说明
１ 法定义 ． 算 回溯算法 是搜 索算 法 中的一种 控制 策略 。它 在包含 问题 的所有 解 的解空 间树 中 ，按照深 度优 先 的策 略，从
根 结 点 出发 搜索 解空 间树 。算法 搜索 至解 空 间树 的任一
结点 时 ，总 是先 判断 该结 点是 否肯 定不包 含 问题 的解 ， 如果肯 定不 包含 ，则 跳过对 以该结 点为根 的子 树 的系统 搜 索 ，逐层 向其 祖先 结点 回溯 。否则 进入 该子 树 ，继续 按 深度 优先 的策 略进 行搜索 。回溯算 法在 用来 求 问题 的 所 有解 时 ，要回溯 到 根 ，且 根 结点 的所有 子树 都 已被 搜 索遍 才 结束 。回溯 算 法在用 来求 问题 的任 一解 时 ，只 要 搜 索到 问题 的一个 解就 可 以结束 。这 种 以深 度优 先 的方 式 系统地 搜索 问题 的解 的算法称 为 回溯算法 。 ２算法描 述 ． 回溯算 法描 述如 下 ： ｐｏ ｅ ｕｅ ｕ （ ｒｃｄ ｒ ｎ 当前状 态 ）； ｒ
的情 况全 部试 验一遍 ，找 出满足 条件 的９种 结果 。 ２
（） ２ 定义 状态 ：即如 何 描述 问题 求 解 过程 中每 一 步
作者简介 ：王凤红 ，本科 ，中教 一级 。 作者单位 ：山东省北镇 中学电教 中心。
２ １ 年７ ０１ 月
２ １年第１ 期 ０１ ４
总 １期 第２ ６
（１ 索 范 围 ：在 当前 状 态 不满 足 边 界 条 件 的情 况 ４搜
下 ，应 如何 设计算 符值 的范 围 。换句话 说 ，如何 设定 ｆｒ ｏ 语句 中循环 变量 的初 值和 终值 。在 八皇 后 问题 中 ，每列
ｘ【 ：Ｉ Ｋ］ ； ＝ Ｉ Ｌ Ｅ ￣ Ｔ Ｎ Ｒ Ｋ＋ ） 放好 了第ｋ ＦＰ ＡＣ （ ＨＥ Ｔ Ｙ（ Ｉ；｛ 列这 个
皇 后 ，接着放 第ｋ ｌ ０ ＋ Ｙ 的皇后 ｝
ＥＮＤ ； Ｅ ＮＤ ；
ＢＥ Ｎ ＧＩ
Ｔ Ｙ（） Ｒ １；
Ｗ ＲＩ ＬＮ （” ＴＨＥ Ｔ ＡＬＩ ＴＥ ＯＴ Ｓ” ． ＣＯＵＮ Ｔ） ：
ＥＮＤ．
否 满足最优 性要求 。在八皇 后 问题 中 ，将ｋ 的皇后放 在 列
（） 界条件 ： 当ｈ ３ － 说 明 已经填完 一种 方案 ； ２边 ＝ ，１４ （） 索范 围：这９ 数 ；ｌｉ９ ３搜 个 ＜ ；
ＦＯＲ Ｉ＝ｌＴＯ Ｎ２ Ｄ０ ：
Ｉ ［ ｏ Ｓ ＦＳｑ ＵＭ Ｔ Ｅ Ｅ Ｉ Ｈ Ｎ ＸＴ ；
ＣｏＵＮＴ： ＣＯＵＮＴ＋Ｉ Ｐ ＮＴ； ； ＲＩ
频率 最 高的一 种算 法 。
一
ｉ（ ｆ 子状态满 足 约束条 件） ｎ 子 状态 满足最 优性 要 ａ ｄ（ 求） ｅ ｎ子 状态 ｔ ｎｒ （ ｈ ｕ ；
ｅｄ ｛ ｒ ｎ； ｆ ｝ ｏ ｅ ｄ ｛ ｎ ｎ； ｒ ｝ ｕ
二 、经典例题分析
【 问题描 述１
八皇 后 问题是 一个 古老 而著 名的 问题 ，是 回溯算法 的典型例 题 。该 问题 由ｌ 世 纪 著名 的数学 家高 斯于 １ ５ ９ ８０ 年 提 出 ：在 ８ 格 的 国 际象 棋上 摆放 ８ 皇后 ，使其 不 ×８ 个 能 互相攻 击 ， 即任 意两 个皇 后 都不 能处于 同一 行 、同一 列 或 同一 斜线 上 ， 问有 多 少种摆 法 。高斯 认 为有７ 种 方 ６ 案 。 ｌ ５ 年 在 柏 林 的 象 棋杂 志 上 不 同 的 作者 发 表 了４ ８４ ０
ｔｅ ｇｎ ｈ ｎｂｅ ｉ
Ｑ
ｉ 当前状 态为最 佳 目标 状态 ｔｅ 记 下最 ｆ ｈｎ 优 结果 ； ｅ ｉ ｘｔ ； ｅｄ ｛ ｅ｝ ｎ ； ｔ ｎ ｈ ｛ 值 ｔ 算符 最大值 ｄ ｏ ｉ ｏ ｏ
ｂ ｇｎ ｅ ｉ
图１
１ ． 分析 算法
就是 最佳 目标状 态 。因此 还须 增加 判别 最优 目标状 态 的 条件 。
Ｐ ＯＣＥ Ｅ Ｒ Ｋ： Ｅ Ｒ ； 放第 ｋ Ｒ ＤＵＲ Ｔ Ｙ（ Ｉ ＮＴ ＧＥ ） ｛ 列这个 皇
后｝
Ｖ ＡＲ ＩＩ ： ＮＴＥＧＥＲ； ＢＥＧＩ Ｎ Ｉ Ｎ＋１Ｔ Ｆ Ｋ＝ ＨＥＮ ＧＩ Ｐ ＮＴ； ＢＥ Ｎ ＲＩ ＥＸＩ ＮＤ； ＴＥ Ｆ ０Ｒ Ｉ １Ｔｏ Ｎ ＤＯ ： ： ＢＥＧＩ Ｎ
Ｐ ＯＧＲ Ｒ ＡＭ ＵＥ Ｎ； Ｑ Ｅ
ＣＯＮＳ ８ Ｔ Ｎ＝ ：
Ｖ ＡＲ ，， ： ｌ ＫＩ Ｊ ＮＴＥＧＥＲ；
九 宫格 问题 ：九 宫格游 戏 规则 ， １ 这 九个数 字 ， ～９
思考 怎么填 入 三行 三列 的方 格 中，要 求使 每行 、每 列 、 两 条对 角线 上 的数字之 和都 相等 。 九 宫格 这个游 戏不 仅仅 考验 人 的数 字推理 能力 ，也 同时考 验 了人 的思维 逻辑 能力 ，对 人们 的思维锻 炼有着 极 大 的作用 ，从 古 时起人 们便 意识 到九 宫 的教育 意义 。
的行位 置ｉ 为搜索 范 围，即 １ｉｎ 作 。 ｆ１ ５约束条 件和最 优性要 求 ：所 谓约 束条件 是指 ， 当 前扩 展 出一个 子结 点后应 满足 什么 条件 方可 继 续递 归下 去 ；如 果是 求满足 某个 特 定条 件 的一条 最佳 路径 ，那 么
在 扩展 出某 个子 状态 后是 否继 续递 归搜 索下 去 ，不仅 取 决于 子状态 是否 满足 约束 条件 ，而 且还 取决 于子 状态 是
Ｗ ＲＩ ＬＮ； ＴＥ ＣＯＵ Ｔ： ＝ＣＯＵＮＴ＋１ Ｎ ： 、
２１年７ ０１ 月
ｌ ＳＳＮ１ ２ １ ８ ６７ － ４３
Ｃ１ ９ ， Ｎ１ ９１ ４ ４ｒ
一
中国观代 装备
２ 第４ ０第 １ 总年 期 １ １
１６ ２ 期
共 有 ９ Ｘ７ Ｘ５ ×３ ×１ ３ ２ ８ 种 填 ×８ ×６ ×４ ×２ ＝ ６ ８０
（ ） 体 设 计 思 路 ：任 意２ 皇 后 都 不 能 处 于 同一 １具 个
算符ｉ 作用 于 当前状 态 ，扩 展 出一个子状 态 ；
行 、 同一列或 同一 斜线 上 ，所 以我们 从第 一列 开始放 ， 看 看每 一列 的皇后 都放 在哪 一行 上就 可 以了 。所 有可 能
稿 件 编 号 ：Ｐ １ ３２ １０１７
种 不 同的解 ，后来 有人 用 图论 的方法 解 出９ 种 结果 。可 ２
以用 回溯 的算 法 求 出这９ 种 结果 。 图 ｌ 其 中 的一种 结 ２ 是 果。 （ Ｑ表示 皇后 的位 置 ）
Ｑ
Ｑ
Ｑ
Ｑ
ｉ ｉ ｔ ｇ ｒ ： ｎｅ ｅ ； ｂ ｇｎ ｅ ｉ
Ｑ
ｉ 当前 状 态 为 边 界 ｆ
中国 装 观代 备
ＥＮＤ；
ＳＮ ４９．３ Ｃ１７１＂ Ｓ１ ２４ Ｎ１ ９４／１８ ６
－
的状况 。在 八皇后 问题 中 ，将 行位 置作 为状 态 。
（） 界 条 件 ： 即在 什 么 情 况 下 程 序 不 再 递 归 下 ３边 去 。 在 八 皇 后 问题 中 ，将 等 于 ｎ ｌ （ 生 一 种 成 功 放 ＋ 产 法 ）作为边 界条 件 。如 果是求 满足 某个 特 定条件 的一条 最佳路 径 ，则 当前状 态 到达边 界 时并非 一定 意 味着 此 时
ＥＮ Ｄ ；
Ｐ ＯＣ Ｄ Ｒ Ｅ ＵＲＥＴ Ｙ（ Ｌ Ｉ Ｅ Ｒ ； Ｒ Ｈ，： ＮＴ ＧＥ ）
、 Ｒ ，， Ｉ Ｔ ＩＪＦ： Ｎ ＥＧＥＲ；
ＢＥＧＩ Ｎ
（） 条件 和最优 性要求 ：约束 条件是 这个数 没有 ４约束 被填过， 一个就填 上，然后填 下一个 位置（， １ 找到 １ ＋） ｌ ： ｌ
ＳＮ 】 ＳＮ 】Ａ Ｉ】 计算 ＼ 向对角 线 的和 ） ［２： ［ ２＋ ［Ｉ ｛ ＝ ，； 方
Ｅ ＮＤ ；
法 ，对于 每一种 填法 都验 证每 行 、每列 、对 角线 上的和 是不 是 等于 １ ，其 中有 ８ 填 法符 合 每行 、每列 、对 角 ５ 种 线之和 都等 于 １。 ５ （） 状态 ：填 的第ｈ ，第 ｌＵ 为状态 。 １ 定义 行 Ｙ作
ｌ ＳＳＮ１ ２． ４３ ６７ １ ８
Ｃ１４ ４ Ｎ１９ ／ ＿９Ｔ
中国 装备 观代
２ １１ ０第第期 总年２４ １ ６期 １
回溯 算法
王 凤 红
回溯 算 法 是 程 序 设 计 中 最 重 要 的基 础 算 法 之 一 ， 也 是 搜 索算 法 中 的一 种 控 制 策 略 ， 回溯 算 法 的基 本 思 想 是 ： 从 一 条 路 往 前 走 ， 能 进 则 进 ， 不 能 进 则 退 回 来 ，选 择 另外 一 条 路 再 走 。 它 是 从初 始 状 态 出发 ，运 用 题 目给 出 的条 件 、规 则 ， 按 照深 度 优 先 搜 索 的 顺序 扩 展所 有可 能 情 况 ，从 中 找 出满 足 题 意 要 求 的 解 答 。 回 溯 法 是求 解 特 殊 型 计 数 题 或较 复杂 的枚 举 题 中使 用
ＶＡＲ ＩＩ ＥＧＥ ：ＮＴ Ｒ；
ＢＥＧＩ Ｎ Ｐ ＬＡＣＥ： ＴＲＵＥ； ＝ Ｆ ＯＲ Ｉ＝ｌＴＯ Ｋ． ： １Ｄ０
一
． １算法分 析 ． 列 出所 有可 能 的情况 从 中找 出符合 条件 的解 。从第 行第 ～ 列开 始 ，找一 个还 没有 填过 的数 填上 ，然 后就 填 下 一个 。当所 有可 能 的填 法都试 验 完 了以后就 回溯 到 上 一个 数 ，试 验 还没 有填 过 的数 。直 到九个 格全 部填 完
然后变 换 到ｂ ，再变 换 到Ｃ ……最后 一种 填法 是ｅ 。
Ｐ ＣＥ ＲＯ ＤＵＲ Ｒ Ｎ ； 打 印结果 ｝ ＥＰ Ｉ Ｔ ｛
Ｖ ＡＲ ：ＮＴ Ｉ Ｉ ＥＧＥＲ； ＢＥＧＩ Ｎ
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Ｔ Ｎ Ｐ ＡＣ ：Ｆ Ｓ ；｛ 已经 放好 的ｋ １ ＨＥ Ｌ Ｅ＝ ＡＬ Ｅ 跟 ． 个皇 后不 在 同一行跟 对角线 上 ｝
ＥＮＤ；
之 后 ，验 证 是不 是符 合条 件 。第 一种 填法 是 图３ 中的ａ ，
第 ｉ ，不产生攻击 （ ｌｃ－ｒｅ 行上 ｐａｅｔ ）作为 约束条件 。 －ｕ
［ 问题 描述】
（） 与递 归 运 算 的 参数 ：将 参 与递 归 运 算 的 参 数 ６参
设 为递 归子程 序 的值参 或局 部变 量 。若这 些参 数 的存储 量 大 （ 如数 组 ）且初 始值 需 由主程序 传入 ，为避 免 内 例 存溢 出，则必 须将 其设 为全 局变量 ，且 回溯 前 需恢 复其 递 归前 的值 。在 八皇 后 问题 中 ，将 皇后 的列 作 为参 与递 归运算 的参 数 。 ２程 序清单 ．
千 百年来 影 响 巨大 ，在文 学 、影视 中都 曾出现过 。九 宫
格最 早 叫 “ 书 ”，现在 也 叫 “ 方 ”。 洛 幻
在 《 雕 英雄传 》 中黄 蓉 曾破 解 九宫格 ， 口诀 ：戴 射 九履 一 ，左三 右七 ，二 四有 肩 ，八六 为 足 ，五居 中央 ，
如 图２ 示 。 所
Ｃ ＮＴＩ ＧＥ ＯＵ ： ＮＥ Ｒ；｛ 存放 方案 总数 ｝
Ｘ： Ｒ Ｙ［一 ＯＦ Ｉ Ｅ Ｒ ｘ ｉ 存放 第ｉ ＡＲ Ａ １Ｎ】 ＮＴ ＧＥ ；｛ ［里 ］ 列这 个 皇后放 在ｘｉ ［ 这一行 上 ｝ ］
Ｆ ＮＣ Ｉ Ｐ ＡＣ （ Ｉ Ｅ ￣ ： Ｌ ＡＮ； ｛ Ｕ Ｔ ＯＮ Ｌ Ｅ Ｋ： ＮＴ ＧＥ ＢＯＯ Ｅ 看 看第ｋ 皇后 能不 能放 上 ｝ 个
、
回溯算法说明
１ 法定义 ． 算 回溯算法 是搜 索算 法 中的一种 控制 策略 。它 在包含 问题 的所有 解 的解空 间树 中 ，按照深 度优 先 的策 略，从
根 结 点 出发 搜索 解空 间树 。算法 搜索 至解 空 间树 的任一
结点 时 ，总 是先 判断 该结 点是 否肯 定不包 含 问题 的解 ， 如果肯 定不 包含 ，则 跳过对 以该结 点为根 的子 树 的系统 搜 索 ，逐层 向其 祖先 结点 回溯 。否则 进入 该子 树 ，继续 按 深度 优先 的策 略进 行搜索 。回溯算 法在 用来 求 问题 的 所 有解 时 ，要回溯 到 根 ，且 根 结点 的所有 子树 都 已被 搜 索遍 才 结束 。回溯 算 法在用 来求 问题 的任 一解 时 ，只 要 搜 索到 问题 的一个 解就 可 以结束 。这 种 以深 度优 先 的方 式 系统地 搜索 问题 的解 的算法称 为 回溯算法 。 ２算法描 述 ． 回溯算 法描 述如 下 ： ｐｏ ｅ ｕｅ ｕ （ ｒｃｄ ｒ ｎ 当前状 态 ）； ｒ
的情 况全 部试 验一遍 ，找 出满足 条件 的９种 结果 。 ２
（） ２ 定义 状态 ：即如 何 描述 问题 求 解 过程 中每 一 步
作者简介 ：王凤红 ，本科 ，中教 一级 。 作者单位 ：山东省北镇 中学电教 中心。
２ １ 年７ ０１ 月
２ １年第１ 期 ０１ ４
总 １期 第２ ６
（１ 索 范 围 ：在 当前 状 态 不满 足 边 界 条 件 的情 况 ４搜
下 ，应 如何 设计算 符值 的范 围 。换句话 说 ，如何 设定 ｆｒ ｏ 语句 中循环 变量 的初 值和 终值 。在 八皇 后 问题 中 ，每列
ｘ【 ：Ｉ Ｋ］ ； ＝ Ｉ Ｌ Ｅ ￣ Ｔ Ｎ Ｒ Ｋ＋ ） 放好 了第ｋ ＦＰ ＡＣ （ ＨＥ Ｔ Ｙ（ Ｉ；｛ 列这 个
皇 后 ，接着放 第ｋ ｌ ０ ＋ Ｙ 的皇后 ｝
ＥＮＤ ； Ｅ ＮＤ ；
ＢＥ Ｎ ＧＩ
Ｔ Ｙ（） Ｒ １；
Ｗ ＲＩ ＬＮ （” ＴＨＥ Ｔ ＡＬＩ ＴＥ ＯＴ Ｓ” ． ＣＯＵＮ Ｔ） ：
ＥＮＤ．
否 满足最优 性要求 。在八皇 后 问题 中 ，将ｋ 的皇后放 在 列
（） 界条件 ： 当ｈ ３ － 说 明 已经填完 一种 方案 ； ２边 ＝ ，１４ （） 索范 围：这９ 数 ；ｌｉ９ ３搜 个 ＜ ；
ＦＯＲ Ｉ＝ｌＴＯ Ｎ２ Ｄ０ ：
Ｉ ［ ｏ Ｓ ＦＳｑ ＵＭ Ｔ Ｅ Ｅ Ｉ Ｈ Ｎ ＸＴ ；
ＣｏＵＮＴ： ＣＯＵＮＴ＋Ｉ Ｐ ＮＴ； ； ＲＩ
频率 最 高的一 种算 法 。
一
ｉ（ ｆ 子状态满 足 约束条 件） ｎ 子 状态 满足最 优性 要 ａ ｄ（ 求） ｅ ｎ子 状态 ｔ ｎｒ （ ｈ ｕ ；
ｅｄ ｛ ｒ ｎ； ｆ ｝ ｏ ｅ ｄ ｛ ｎ ｎ； ｒ ｝ ｕ
二 、经典例题分析
【 问题描 述１
八皇 后 问题是 一个 古老 而著 名的 问题 ，是 回溯算法 的典型例 题 。该 问题 由ｌ 世 纪 著名 的数学 家高 斯于 １ ５ ９ ８０ 年 提 出 ：在 ８ 格 的 国 际象 棋上 摆放 ８ 皇后 ，使其 不 ×８ 个 能 互相攻 击 ， 即任 意两 个皇 后 都不 能处于 同一 行 、同一 列 或 同一 斜线 上 ， 问有 多 少种摆 法 。高斯 认 为有７ 种 方 ６ 案 。 ｌ ５ 年 在 柏 林 的 象 棋杂 志 上 不 同 的 作者 发 表 了４ ８４ ０
ｔｅ ｇｎ ｈ ｎｂｅ ｉ
Ｑ
ｉ 当前状 态为最 佳 目标 状态 ｔｅ 记 下最 ｆ ｈｎ 优 结果 ； ｅ ｉ ｘｔ ； ｅｄ ｛ ｅ｝ ｎ ； ｔ ｎ ｈ ｛ 值 ｔ 算符 最大值 ｄ ｏ ｉ ｏ ｏ
ｂ ｇｎ ｅ ｉ
图１
１ ． 分析 算法
就是 最佳 目标状 态 。因此 还须 增加 判别 最优 目标状 态 的 条件 。
Ｐ ＯＣＥ Ｅ Ｒ Ｋ： Ｅ Ｒ ； 放第 ｋ Ｒ ＤＵＲ Ｔ Ｙ（ Ｉ ＮＴ ＧＥ ） ｛ 列这个 皇
后｝
Ｖ ＡＲ ＩＩ ： ＮＴＥＧＥＲ； ＢＥＧＩ Ｎ Ｉ Ｎ＋１Ｔ Ｆ Ｋ＝ ＨＥＮ ＧＩ Ｐ ＮＴ； ＢＥ Ｎ ＲＩ ＥＸＩ ＮＤ； ＴＥ Ｆ ０Ｒ Ｉ １Ｔｏ Ｎ ＤＯ ： ： ＢＥＧＩ Ｎ
Ｐ ＯＧＲ Ｒ ＡＭ ＵＥ Ｎ； Ｑ Ｅ
ＣＯＮＳ ８ Ｔ Ｎ＝ ：
Ｖ ＡＲ ，， ： ｌ ＫＩ Ｊ ＮＴＥＧＥＲ；
九 宫格 问题 ：九 宫格游 戏 规则 ， １ 这 九个数 字 ， ～９
思考 怎么填 入 三行 三列 的方 格 中，要 求使 每行 、每 列 、 两 条对 角线 上 的数字之 和都 相等 。 九 宫格 这个游 戏不 仅仅 考验 人 的数 字推理 能力 ，也 同时考 验 了人 的思维 逻辑 能力 ，对 人们 的思维锻 炼有着 极 大 的作用 ，从 古 时起人 们便 意识 到九 宫 的教育 意义 。
的行位 置ｉ 为搜索 范 围，即 １ｉｎ 作 。 ｆ１ ５约束条 件和最 优性要 求 ：所 谓约 束条件 是指 ， 当 前扩 展 出一个 子结 点后应 满足 什么 条件 方可 继 续递 归下 去 ；如 果是 求满足 某个 特 定条 件 的一条 最佳 路径 ，那 么
在 扩展 出某 个子 状态 后是 否继 续递 归搜 索下 去 ，不仅 取 决于 子状态 是否 满足 约束 条件 ，而 且还 取决 于子 状态 是
Ｗ ＲＩ ＬＮ； ＴＥ ＣＯＵ Ｔ： ＝ＣＯＵＮＴ＋１ Ｎ ： 、
２１年７ ０１ 月
ｌ ＳＳＮ１ ２ １ ８ ６７ － ４３
Ｃ１ ９ ， Ｎ１ ９１ ４ ４ｒ
一
中国观代 装备
２ 第４ ０第 １ 总年 期 １ １
１６ ２ 期
共 有 ９ Ｘ７ Ｘ５ ×３ ×１ ３ ２ ８ 种 填 ×８ ×６ ×４ ×２ ＝ ６ ８０
（ ） 体 设 计 思 路 ：任 意２ 皇 后 都 不 能 处 于 同一 １具 个
算符ｉ 作用 于 当前状 态 ，扩 展 出一个子状 态 ；
行 、 同一列或 同一 斜线 上 ，所 以我们 从第 一列 开始放 ， 看 看每 一列 的皇后 都放 在哪 一行 上就 可 以了 。所 有可 能
稿 件 编 号 ：Ｐ １ ３２ １０１７