清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-10能量原理-A

变分：
dx δx 0;dy δy;dy ' δy ';dy ( n ) δy ( n )
F F F F δy δy ' ( n ) δy ( n ) y y ' y
17
Appendix B.2
复合函数的变分
高阶变分：
δ2 F δ(δF );;δk F δ(δ( k -1) F )
引入函数：
F ( x1, , xn , ) f ( x1, , xn ) g ( x1, , xn )
驻值条件：
F f g 0, xi xi xi
4
F g 0
Appendix B.1
泛函极值问题
泛函
如果变量 J 依赖于在一定约束条件下函数关系可以任
b
27
Appendix B.6
欧拉方程和自然边界条件
J ( y( x)) F ( x, y, y ', y '')dx Qy(b)
a b
若令
1 F EI ( y ")2 ; Q P; a 0, b l 2
则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为
d2 Fy 0 2 dx

22
Appendix B.5
变分法
泛函极值的必要条件（驻值条件）为泛函的一阶变 分为零，即
δJ 0
泛函的极值的充分条件还需考虑二阶变分，即
2 J 0 为极小值 δJ 0 2 J 0 为极大值
若 2 J 0 ，则还需看高阶变分的性质。
23
Appendix B.5
J ( y( x)) J ( y( x)) 0

或
J ( y( x)) J ( y( x)) 0
则称泛函 J ( y ( x)) 在状态 y ( x )下取极小值（或极大 值），统称取极值。
10
Appendix B.1
函数的微分和变分
函数的微分和变分

微分：
dy y '( x)dx
能量原理中的可能状态：
① 变形可能状态或运动可能状态：满足变形关系，而
不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状 态。用右上角加 (k) 来表示。 描述变形可能状态的基本量是变形可能位移 k 和变形可能应变 ij 。
ui
k
35
Chapter 10.1
基本概念和术语
经典能量原理中的可能状态有两类：
(m) (δy ) (l ) (δy )( m ) 0 y (l ) y (l , m 0,1, 2,, n)
作为自变函数的增量，y（及其各阶导数）的高阶变 分均为零，即
δ y
k
( m)
0 (k 2, m 0,1, 2,, n)
Appendix B.3
19
泛函的变分
δJ δF ( x, y, y ', y '')dx Qδy (b)
a
Fy δy Fy 'δy ' Fy ''δy ''dx Qδy (b) a
26
Appendix B.6
b
欧拉方程和自然边界条件
d d2 δJ [ Fy Fy ' + 2 Fy '' ]δy ( x )dx a dx dx d [ Fy ' Fy '' ]b Q δy (b) [ Fy '' ]b δy '(b) dx d [ Fy ' Fy '' ]a δy ( a ) [ Fy '' ]a δy '( a ) 0 dx d d2 Fy Fy ' + 2 Fy '' =0 欧拉微分方程 dx dx d Fy '( b ) Fy ''( b ) Q 0 dx 自然边界条件 Fy ''( b ) 0
b
21
Appendix B.4
变分法
变分法的基本问题：在满足约束条件的容许函数中， 求能使泛函 J(y(x)) 取极值的自变函数 y x ，若
J 0 为极小值 J 0 为极大值
其中 J =J y ( x ) J y x ； y(x) 为 y x 邻域内的任意容许函数。
y y x
Ax0, y0
O x
L( y( x)) ds
A
B
B A
dx dy
2 2
x1
x0
1 y ( x)dx
'2
6
Appendix B.1
泛函极值问题
例2 悬臂梁问题Leabharlann Baidu
悬臂梁-砝码系统的总势能
l 1 EI ( y '')2 dx Py(l ) 0 2
泛函的极值与变分
泛函极值问题 函数的微分与变分 复合函数的变分 泛函的变分 变分法
3
Appendix B
泛函极值问题
求条件极值的拉格朗日乘子法 条件极值问题：求函数 f f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足条件 g ( x1, x2 , , xn ) 0 下的极值。
20
Appendix B.4
泛函的变分
J F ( x, y, y ',, y )dx
(n) a b
泛函J的各阶变分：
δ J δ Fdx
k k a
b
由变分y引起的泛函 J 的增量为：
1 2 1 k J δFdx δJ δ J δ J a 2! k!
25
Appendix B.6
欧拉方程和自然边界条件
根据两端的边界条件，变分y的边界值应满足：
δy(a) 0;δy '(a) 0 δy(b) 0;δy '(b) 0
泛函
J ( y( x)) F ( x, y, y ', y '')dx Qy(b)
a
b
的驻值条件为：
b
δJ 0
即
EIy (l ) 0
4
即为材料力学中梁的挠度微分方程。
28
Appendix B.6
欧拉方程和自然边界条件
自然边界条件成：

d Fy '' P 0 dx
Fy '' (l ) 0
EIy '''(l ) P 0 EIy ''(l ) 0
这就是自由端处剪力和弯矩的力边界条件。此外，基本边界条 件就是固支端的位移边界条件：
是悬臂梁挠度曲线 y(x) 的泛函。 可以证明，使总势能 ( y ( x)) 取极小值的挠度曲线就 是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。
8
Appendix B.1
泛函极值问题
左端受到约束边界条件：
y
x 0
0; y '
x 0
0
右端是自由边界条件。
在泛函 中容许出现与自变函数在无约 束端处的 边界值y(l)有关的项，称为边界项。
变分：
y( x) y ( x) ( x)
δy( x) y ( x) y( x) ( x)
11
Appendix B.2
函数的微分和变分
函数 y(x) 的一阶导数 y '( x) 仍是自变量 x 的函数。于 是 y '( x) 的变分为
δy ' y '( x) y '( x) δy( x) y ( x) y( x) ( x)
泛函的变分
F F ( x, y, y ',, y ( n ) )
J F ( x, y, y ',, y )dx
(n) a
b
泛函和复合函数的区别是：复合函数依赖于自变量x， 而泛函则依赖于自变函数 y(x)。当x 给定后，立即能
算出复合函数F的一个相应值，但算不出泛函 J 的值
来，因为J 和定义域内的所有（而不是一个）x处的 函数值 F 有关。
微分：
F F F F dF dx dy dy ' ( n ) dy ( n ) x y y ' y
15
Appendix B.2
函数的微分和变分
复合函数的变分
F F F F dF dx dy dy ' ( n ) dy ( n ) 微分： x y y ' y
意变化的函数 y(x)，此y(x)称为自变函数，而依赖于
自变函数的变量称为泛函。
泛函： J J ( y( x )) 函数：
5
y y( x)
Appendix B.1
泛函极值问题
例1 最短连线问题
连接 A，B 两点的曲线
y
Bx1, y1
长度 L 是随曲线形状，
即曲线方程 y = y(x) 而 变的，它是自变函数 y(x) 的泛函：
欧拉法：将变分方程转化为微分方程 （称为欧拉方程）进行求解。 直接法：直接求解变分方程。
32
Chapter 10.1
基本概念和术语
真实状态与可能状态
弹性力学的三类基本关系
a) 变形关系：几何方程和位移边界条件 b) 静力关系：包括平衡方程和力边界条件。在静 力关系中只出现力学量，而与几何量无关。
24
Appendix B.5
欧拉方程和自然边界条件
一元自变函数的泛函驻值问题
J ( y( x)) F ( x, y, y ', y '')dx Qy(b)
a b
在域内y(x)应具有直到四阶的连续导数。 在 x=a 处为约束边界，指定：y(a) ya ; y '(a) y 'a 在 x=b 处为自由边界。
9
Appendix B.1
泛函极值问题
当自变函数 y(x) 改变时，泛函的值也将随之改变。 定义：若泛函 J ( y( x)) 在 y ( x) y ( x) 状态下的值，比 在 y ( x ) 的邻域


y ( x) y ( x) 内任意状态 y(x) 下的值


都小（或都大）， 即
c) 本构关系：把力学量和几何量联系起来。
33
Chapter 10.1
基本概念和术语
以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基 本关系的真实状态。
本章则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的
可能状态，然后再从可能状态中寻找满足全部基本 关系的真实状态。
34
Chapter 10.1
基本概念和术语
又∵
F F F F δy δy ' ( n ) δy ( n ) y y ' y
k k
(n) δy F ∴ δ F δy δy ' (n) y ' y y
18
Appendix B.3
复合函数的变分
由于变分y可以独立选择，与自变量y及其各阶导数 无关，所以变分y（及其各阶导数）对自变量y（及 其各阶导数 的偏导数均为零，即
变分法
变分法的基本预备定理 设 (x) 是闭区间 a x b上的连续函数，y 是该区
间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足约束条件
的前提下任意变化时，下式始终成立
( x)δydx 0
a
b
则被积函数(x)在区间 a x b上处处为零，即
( x) 0
y (a) 0
y '(a) 0
这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度曲线。
29
Appendix B.6
能量原理
泛函的极值与变分 变分提法的基本概念和术语
可能功原理，功的互等定理
虚功原理和余虚功原理
最小势能原理和最小余能原理
弹性力学变分问题的欧拉方程
弹性力学变分问题的直接解法
30
Chapter 10
δy ' y '( x) y '( x ) '( x ) δy '
y = y
n n
L y L y
14
Appendix B.2
函数的微分和变分
复合函数的变分

复合函数
F ( x, y, y1, , y ( n ) )
第十章 能量原理
Energy Methods
冯 西 桥
清华大学工程力学系
2007.12.19
1
能量原理
泛函的极值与变分
能量方法的一些基本概念
可能功原理和功的互等定理
虚功原理和余虚功原理
最小势能原理和最小余能原理
弹性力学变分问题的欧拉方程
弹性力学变分问题的直接解法
2
Chapter 10
变分与变分法
基本概念和术语
弹性力学的微分提法和变分提法
微分方法： 从微元入手，建立基本微分方程 在给定边界条件下求解微分方程的边值问题 变分方法（能量法）： 考虑整个系统的能量关系，建立泛函变分方程 在给定约束条件下，求泛函极值的变分问题
31
Chapter 10.1
基本概念和术语
变分问题的两种解法