选修4-4平面直角坐标系
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（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换 x’=x y’=3y
后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变 换 x’=3x y’=y 曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。 后，
即 x y c 5[( x c) y ].
2 2 2 2 2
整理得
因为
2x 2 y 2c 5cx 0.
2 2 2
c x y BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2
x c y2 所以 BE CF ( c)( x) 0. 2 2 2
第一讲
坐标系
§1 平面直角坐标系
一．平面直角坐标系的建立 坐标法
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简
5、说明
C P
B
信息中心
A
l r
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设 P （ x,y ）为巨响发生点，由 B 、 C 同时听 到巨响声，得 |PC|=|PB| ，故 P 在 BC 的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s y 听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360
B
P C
o
A
x
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 上， 1 2 2 a b
2 2
a 680 , c 1020 b c a 1020 680 5 340
2 2 2 2 2 2 2 2
x y 故双曲线方程为 2 1 ( x 0) 2 680 5 340
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，
坐标对应关系为： x’=
1 2
x
y’=y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y 通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
用y=－x代入上式，得 x 680 5， ∵|PA|>|PB|,
x 680 5 , y 680 5 , 即P(680 5 ,680 5 ),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10m 处.
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。 y
解： 以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， 边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的 坐标分别为 c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
C E
O (A)
F
B
x
x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 2 由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。 作业： P8 1, 2，4, y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐
标伸缩变换。
3
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换 ( 0) x' x 4 : ( 0) y' y
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
1 标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上， 2
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐
将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 1 x’= 2 x
因此，BE与CF互相垂直.
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
P8 习题1.1－－1
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦 2 曲线y=sin2x. 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持 1 纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点 2 P’(x’,y’).坐标对应关系为：
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换 x’=x y’=3y
后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变 换 x’=3x y’=y 曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。 后，
即 x y c 5[( x c) y ].
2 2 2 2 2
整理得
因为
2x 2 y 2c 5cx 0.
2 2 2
c x y BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2
x c y2 所以 BE CF ( c)( x) 0. 2 2 2
第一讲
坐标系
§1 平面直角坐标系
一．平面直角坐标系的建立 坐标法
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简
5、说明
C P
B
信息中心
A
l r
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设 P （ x,y ）为巨响发生点，由 B 、 C 同时听 到巨响声，得 |PC|=|PB| ，故 P 在 BC 的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s y 听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360
B
P C
o
A
x
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 上， 1 2 2 a b
2 2
a 680 , c 1020 b c a 1020 680 5 340
2 2 2 2 2 2 2 2
x y 故双曲线方程为 2 1 ( x 0) 2 680 5 340
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，
坐标对应关系为： x’=
1 2
x
y’=y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y 通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
用y=－x代入上式，得 x 680 5， ∵|PA|>|PB|,
x 680 5 , y 680 5 , 即P(680 5 ,680 5 ),故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10m 处.
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。 y
解： 以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， 边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的 坐标分别为 c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
C E
O (A)
F
B
x
x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 2 由b2 c2 5a2，可得到 | AC |2 | AB |2 5 | BC |2 ，
思考：在伸缩 4 下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲 线？
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。 作业： P8 1, 2，4, y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐
标伸缩变换。
3
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换 ( 0) x' x 4 : ( 0) y' y
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
1 标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上， 2
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐
将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 1 x’= 2 x
因此，BE与CF互相垂直.
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
P8 习题1.1－－1
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦 2 曲线y=sin2x. 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持 1 纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点 2 P’(x’,y’).坐标对应关系为：