张量分析各章要点

各章要点
第一章：矢量和张量
指标记法：
哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：
k
i k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg g
i
i
k k x
∂ξ=∂g e
123 =
==g g g 张量概念
i i'i'i =βg g i'i'i
i =βg g i k i k j j
''''ββ=δ i'i'i i v v =β i
i 'i 'i
v v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl i
j ij
k l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量
ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g
⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T
.j kj i ik T T g =
张量的商法则
lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk
...lm
T(i,j,k,l,m)T = 置换符号
312n 1n
123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmn
ijk .L
.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =
置换张量
i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g g
ijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g g
ijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g g
i j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b
广义δ符号
i i
i r s t
j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s t
e e δδδδδδ==εε=δδδδ
ijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδ
ijk k ijt t 2δ=δ
ijk ijk 6δ=
性质：是张量
重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c
第二章： 二阶张量
重要性质：T =T.u u.T 主不变量
i 1.i Tr()T ζ==T i j l m
2l m .i .j 1T T 2
ζ=δ 3det()ζ=T
1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w
2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形
1. 特征值、特征向量
⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形
i 12
3
i 1122
33=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗
N N g g g g g g
g g 3. 正交张量（了解方法）
12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e
4. 反对称二阶张量的标准形
21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G
⋅=⨯Ωu ωu
31
:2
=-=μ⨯ωεΩe u
=-⋅Ωεω
5. 正则张量极分解
=⋅=⋅T R U V R
第三章 张量函数
概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：
1. Hamilton-Cayley 定理：
32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：
2012f ()k k k ==++H N G N N ；
其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

张量函数的导数
1. 方向导数：'h 01
(,)lim [(h )()]h →=+-T A C T A C T A 是C 的线性函数
2. 方向导数与导数之间的关系 ''(,)():=T A C T A C
3. 张量函数对张量的导数'
i j k
i j k ijk
ijk
()()()A A ∂∂=⊗⊗⊗=⊗⊗⊗∂∂T T T A g g g g g g 4. 张量函数导数的链式法则：)()(()=H T U V T ，则 *n ()()()'''=H T U V V T 重要辅助知识
二阶张量的迹具有如下性质：
tr()::==A A G G A ； tr()tr()tr()+=+A B A B
i j
T T .j .i tr()A B ::⋅===A B A B A B
i j k .j .k .i tr()A B C tr()tr()⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅A B C B C A C A B
第四章：曲线坐标系张量分析
基矢量的导数
j
k
ij
k i ∂=Γ∂ξ
g g ； i i j
kj k ∂=-Γ∂ξg g k km ij ij,m g Γ=Γ ； m ij,k km ij g Γ=Γ
Hamilton 算子 i i '
i i '
∂∂∇=⊗=⊗∂ξ∂ξ
g g i i
∂⋅∇=⋅∂ξT T g i i ∂∇⋅=⋅∂ξ
T T g i i ∂∇=
⊗∂ξT T g i
i ∂∇=⊗∂ξT T g i i ∂⨯∇=⨯∂ξT T g i i ∂∇⨯=⨯∂ξ
T
T g
张量的协变导数
ij ij mj i im j ij m ij m ij
..kl s ..kl ..kl ms ..kl ms ..ml ks ..km ls ..kl;s s
T T T T T T T ∂∇+Γ+Γ-Γ-Γ∂ξ
ij k l
s ..kl i j s
T ∂=∇⊗⊗⊗∂ξT g g g g 重要性质：
1．度量张量的协变导数为零 2．置换张量的协变导数为零
3．张量分量的缩并与求协变导数次序可交换
4．ij l ij l ij l
s ..k .m s ..k .m ..k s .m (A B )(A )B A (B )∇=∇+∇
积分定理
S
V
d dV *=∇*⎰⎰a T T S
V
d dV *=*∇⎰⎰T a T
S
L
d ()d ⋅∇⨯=⋅⎰⎰a T s T
L
S
d ()d ⋅=-⨯∇⋅⎰⎰T s T a
Riemann-Christoffel 张量
欧氏空间特性：①Riemann 曲率张量等于零 ②张量对曲线坐标的求导顺序可交换 可展曲面的Riemann-Christoffel 张量为零 物理分量
掌握张量在标准基下分解时Hamilton 算子对张量的运算（求极坐标系下线应变张量）
第六章 连续介质力学基础
物质导数
空间坐标基底矢量的物质导数：
i i k k i m mk k D v v Dt x ∂==-Γ∂g g g ； k k m
i i ik m k D v v Dt x
∂==Γ∂g g g 物质坐标基底矢量的物质导数：
()()i i i ˆD ˆˆDt =-⋅∇=-∇⋅g g v v g ； ()()i i i ˆD ˆˆDt
=∇⋅=⋅∇g
v g
g v 空间描述下二阶张量的物质导数
()i i .j
.j
k i
k .j D T t
T T v t
D ∂=
+∇∂
k k v ()()t t
D Dt t x ∂∂==+∇⋅=+⋅∇∂∂∂+∂∂∂T T T v v T T T T 物质描述下二阶张量的物质导数
()()
i i .j .j m i m i .j m .m j
ˆˆDT T ˆˆˆT v T v Dt
t
∂=+∇-∇∂ ()()i .j j i ˆT
D ˆˆDt t
∂=⊗+∇⋅-⋅∇∂T
g
g v T T v 变形梯度张量：
ˆd d =⋅r
F r k k ˆ=⊗F g
g ； 1k k ˆ-=⊗F g g k k ˆ⋅=F g g
； T k k ˆ-⋅=F g g k 1k ˆ-⋅=F g
g ； T k k ˆ⋅=F g g 应变张量
()()()()()()
11
22=
+∇+∇-=∇+∇+∇⋅∇E G u G u G u u u u ()()()()()()11
22=--∇-∇=∇+∇-∇⋅∇e G G u G u u u u u 小变形、小位移假设下
1()2≈∇+∇E u u ; 1
()2
=∇+∇e u u
在直角坐标系下
k j i k ij j i i j u 1u u u E 2x x x x ∂⎛⎫
∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
线元、面元、体元
d d =⋅r F r
T d J d -=⋅a F a dv Jdv =
J det()==F
变形梯度张量的物质导数
()=∇⋅F
v F ()11--=-⋅∇F F v 线元、面元、体元 的物质导数
()d d =∇⋅r
v r d ()d ()d =⋅∇-∇⋅a
v a v a
dv
()dv =⋅∇v ； J ()J =⋅∇v T T
11()22=⋅∇+∇⋅=⋅⋅E F v v F F D F
几种应力
Cauchy 应力 ij i j ˆˆ=σ⊗σg
g ； n =⋅p n σ 第一类Piola-Kirchhoff 应力 1i j i j ˆJ J -=⋅=σ⊗P F σg g
第二类Piola-Kirchhoff 应力 1T k m k
m
J J --=⋅⋅⊗=σS F σF g g
面力合力 T d d d =⋅=⋅=⋅⋅n T a σa P a S F
连续介质力学的基本定律 质量守恒定律
()0ρ
+⋅∇ρ=v 动量定理
ρ+∇⋅=ρf σv
ρ+∇⋅=ρf P v
动量矩定理
T σ=σ
机械能守恒定律
S
V
V V d 1
ˆd dv ()dv J :dv dt 2⋅⋅+ρ
⋅=⋅ρ+⎰⎰⎰⎰v σa v f v v σD 变形功率密度
T ::J :==S E
P F σD 掌握用张量方法推导弹性体运动方程（小位移、小应变）。