张量分析各章要点

各章要点

第一章：矢量和张量

指标记法：

哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：

k

i k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg g

i

i

k k x

∂ξ=∂g e

123 =

==g g g 张量概念

i i'i'i =βg g i'i'i

i =βg g i k i k j j

''''ββ=δ i'i'i i v v =β i

i 'i 'i

v v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl i

j ij

k l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量

ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g

⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T

.j kj i ik T T g =

张量的商法则

lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk

...lm

T(i,j,k,l,m)T = 置换符号

312n 1n

123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmn

ijk .L

.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =

置换张量

i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g g

ijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g g

ijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g g

i j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b

广义δ符号

i i

i r s t

j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s t

e e δδδδδδ==εε=δδδδ

ijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδ

ijk k ijt t 2δ=δ

ijk ijk 6δ=

性质：是张量

重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c

第二章： 二阶张量

重要性质：T =T.u u.T 主不变量

i 1.i Tr()T ζ==T i j l m

2l m .i .j 1T T 2

ζ=δ 3det()ζ=T

1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w

2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形

1. 特征值、特征向量

⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形

i 12

3

i 1122

33=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗

N N g g g g g g

g g 3. 正交张量（了解方法）

12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e

4. 反对称二阶张量的标准形

21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G

⋅=⨯Ωu ωu

31

:2

=-=μ⨯ωεΩe u

=-⋅Ωεω

5. 正则张量极分解

=⋅=⋅T R U V R

第三章 张量函数

概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：

1. Hamilton-Cayley 定理：

32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：

2012f ()k k k ==++H N G N N ；

其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。 张量函数的导数

1. 方向导数：'h 01

(,)lim [(h )()]h →=+-T A C T A C T A 是C 的线性函数

2. 方向导数与导数之间的关系 ''(,)():=T A C T A C

3. 张量函数对张量的导数'

i j k

i j k ijk

ijk

()()()A A ∂∂=⊗⊗⊗=⊗⊗⊗∂∂T T T A g g g g g g 4. 张量函数导数的链式法则：)()(()=H T U V T ，则 *n ()()()'''=H T U V V T 重要辅助知识

二阶张量的迹具有如下性质：

tr()::==A A G G A ； tr()tr()tr()+=+A B A B

i j

T T .j .i tr()A B ::⋅===A B A B A B

i j k .j .k .i tr()A B C tr()tr()⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅A B C B C A C A B