必修二4.3.空间直角坐标系(教案)

人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）
1
4.3 空间直角坐标系
教案 A
教学目标
一、知识与技能
1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间中点的坐标表示；
2. 掌握空间两点间的距离公式. 二、过程与方法
1. 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示；
2. 经历由平面上两点间距离公式推导出空间中两点间的距离公式的过程. 三、情感、态度与价值观
1. 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，体会类比和数形结合的思想.
2. 通过空间两点间距离公式的推导，经历从易到难，从特殊到一般的认识过程. 教学重点、难点
教学重点：空间直角坐标系中点的坐标表示，空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.
教学关键：用类比的方法写出空间的点的坐标，记忆并应用空间两点间的距离公式求空间的两点间距离，提高学生的空间想象能力.
教学突破方法：借助正方体，发挥学生的空间想象能力，写出空间点的坐标. 教法与学法导航
教学方法：问题教学法，类比教学法. 学习方法：探究讨论、练习法. 教学准备
教师准备：多媒体课件，正方体模型.
学生准备：平面直角坐标系中点的坐标的写法. 教学过程
教学 环节
教学内容
师生互动
设计 意图 创设情境 导入新课 1.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数（x ，y ）表示.那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组（x ，y ，z ）表示出来呢？ 师：启发学生联想思
考. 生：感觉可以. 师：我们不能仅凭感
觉，我们要对它的认识从感
性化提升到理性化. 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.
教师备课系统──多媒体教案
2
续上表
概念
形成
2.空间直角坐标系该如何建立呢？
图1
师：引导学生看图1，单位正方体OABC –
D ′A ′B ′C ′，让学生认识该空
间直角系O –xyz 中，什么是
坐标原点，坐标轴以及坐标
平面.
师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.
体会空
间直角
坐标系
的建立
过程.
3．建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？ 图 2 师：引导学生观察图2. 生：点M 对应着唯一确定的有序实数组（x ，y ，z ），x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标. 师：如果给定了有序实数组（x ，y ，z ），它是否对应着空间直角坐标系中的
一点呢？
生：（思考）是的．
师：由上我们知道了空
间中任意点M 的坐标都可
以用有序实数组（x ，y ，z ）
来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的
坐标，记M （x ，y ，z ），x
叫做点M 的横坐标，y 叫做
点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.
师：大家观察一下图1，你能说出点O ，A ，B ，C 的坐标吗？ 学生从
（1）中
感性向
理性过
渡.
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续上表
应用 举例 4. 例1 如图，在长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 2.写出D ′、C 、A ′、B ′四点的坐标. 【解析】D ′在z 轴上，且O D ′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D ′的坐标是（0，0，2）. 点C 在y 轴上，且O C = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是（0，4， 0）. 同理，点A ′的坐标是（3，0，0）. 点B ′在xOy 平面上的射影是B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同.在xOy 平面上，点B 横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B ′在z 轴上的射影是D ′，它的竖坐标与点D ′的竖坐标相同，点D ′ 的竖坐标z = 2. 所点B ′的坐标是（3，4，2）． 例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶
胞的示意图（可看成是八个棱长为
1
2
的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，
黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O – xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.
师：让学生思考例1一
会，学生作答，师讲评. 师：对于例2的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标
的求法. 生：思考例1、例2的一些特点.总结如何求出空间中的点坐标的方法.
例2【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），11
(,,0)22； 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1
2，所
以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
1111
(,0,),(1,,)2222， 1111
(,1,),(0,,)2222
；
学生在教师的指导下
完成，加深对点的坐标的理解，
例2更能体现
出建立一个合
适的空间直角系的重
要性.
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续上表
上层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），11
(,,1)22
.
5. 练习2 如图，长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 3，A ′C ′于B ′D ′相交于点P .分别写出点C 、B ′、P 的坐标. 师：大家拿笔完成练习
2然后上黑板来讲解.
生：完成.
【解析】C 、B ′、P 各
点的坐标分别是（0，4，0），
（3，4，3），3(,2,3)2
. 学生在
原有小
结的经
验的基
础上，动
手操作，并且锻炼学生的口才．
提出新概念 6. 在平面上任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）之间的距离的公式为|AB | =22
1212
()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A （x 1，y 1，
z 1），B （x 2，y 2，z 2）之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧
要. 生：踊跃回答.
通过类比，充分发挥学生的联想能力.
概念 形成 7. 空间中任间一点P （x ，y ，z ）到原点之间的距离公式会是怎样呢？
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾
股定理来完成.
学生：在教师的指导
下作答得出|OP |
=222x y z ++. 从特殊
的情况
入手，化
解难度.
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概念 深化
8. 如果|OP | 是定长r ，那么x 2 + y 2 + z 2 = r 2表示什么图形？ 师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2 + y 2 = r 2表示的图形中，方程x 2 + y 2 = r 2表示图形，让学生有种回归感.
生：猜想说出理由. 学会
类比. 9.如果是空间中任意一点P 1 （x 1，y 1，z 1）到点P 2 （x 2，y 2，z 2）之间的距离公式是怎样呢？
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导. 得出结论： |P 1P 2| =222121212()()()x x y y z z -+-+-
人的认识是从特殊情
况到一般情况
的.
10. 巩固练习 （1）先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：A （2，3，5），B （3，1，4）； A （6，0，1），B （3，5，7）. （2）在z 轴上求一点M ，使点M 到点A （1，0，2）与点B （1，–3，
1）的距离相等.
教师引导学生作答
（1）【解析】6，图略；70，图略 （2）【解析】设点M 的坐标是（0，0，z ）.
依题意，得 22(01)0(2)z -++-=
222(01)(03)(1)z -+++-
培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解.
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（3）求证：以A（10，–1，
6），B（4，1，9），C（2，4，3）
三点为顶点的三角形是等腰三
角形.
4．如图，正方体OABD–
D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =
2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的
长.
解得z = –3.
所求点M的坐标是（0，0，
–3）.
（3）【证明】根据空间两
点间距离公式，得，
︱AB︱=
222
(104)(11)(69)
-+--+-=
7，
︱BC︱=
222
(42)(14)(93)
-+-+-=7，
︱AC︱=
222
(102)(14)(63)
-+--+-=
98.
因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，
所以△ABC是等腰三角形.
4．【解析】由已知，得点N的
坐标为
2
(,,0)
33
a a，
点M的坐标为2
(,,)
33
a a
a，于是
222
22
||()()(0)
3333
5
.
3
a a a a
MN a
a
=-+-+-
=
小结
今天通过这堂课的学习，
你能有什么收获？
（1）空间点的坐标表示，
（2）空间两点间的距离公式及
应用.
生：谈收获.
师：总结.
知识整
理.
课堂作业
1.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为______.
【解析】分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，xOz平面，xOy
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平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(1，1，1)或过点(-1，0，0)，(0，
-1，0)，(0，0，-1)作与yOz 平面，xOz 平面，xOy 平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(-1，-1，-1).
答案：(1，1，1)或(-1，-1，-1)
2. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，求点E 、F 的坐标和B 1关于原点D 的对称点坐标.
【解析】由B （1，1，0），B 1（1，1，1），则中点E 为1
(1,1,)2
，
由B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），则中点11(,,1)22
F . 设B 1关于点D 的对称点M （x 0，y 0，z 0）， 即D 为B 1M 的中点，因为D （0，0，0），
所以，00000
0102
110121102x x y y z z +==--==-=-+=⎧⎪⎧⎪
⎪⎪
⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩
，，，得，．
， 所以M （–1，–1，–1 ）.
3. 已知点A 在y 轴 ，点B （0，1，2）且||5AB =
，则点A 的坐标为 .
【解析】由题意设A （0，y ，0），则2(1)45y -+=
，
解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是（0，0，0）或（0，2，0）
4. 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A （3，2，5），B （3，5，2）的距离相等，求点P 的坐标.
【解析】由题意设P （0，y ，z ），则
222222
2(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩
，
， 解得：11.
y z =⎧⎨
=⎩，
故点P 的坐标为（0，1，1）．
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教案 B
第1课时
教学内容：4.3.1 空间直角坐标系 教学目标
1. 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；
2. 掌握空间直角坐标系、右手直角坐标系的概念，会画空间直角坐标系，会求空间直角坐标；
3. 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示；
4. 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性.
教学重点、难点
教学重点：求一个几何图形的空间直角坐标. 教学难点：空间直角坐标系的理解. 教学过程
一、情景设计
1. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？
2.空间直角坐标系该如何建立呢？ 二、新课教学 如图，OABC －D′A′B′C′是单位正方体，以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，∠xpy ＝135°，∠yoz ＝45°，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xoy 平面，yoz 平面，zox 平面.
在空间坐标系中，让右手拇指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
空间直角坐标系有序实数组（x ，y ，z ）一一对应.
（x ，y ，z ）称为空间直角坐标系的坐标，x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 为竖坐标.O 、A 、B 、C 四点坐标分别为：
O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）．
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例1 在长方体OABC －D’A’B’C’中，∣OA ∣＝3，∣OC ∣＝4，∣OD ′∣＝2，写出
D′、C 、 A′、B′四点的坐标.
【解析】因为D′在z 轴上，且∣OD′∣＝2，它的竖坐标为2，它的横坐标与纵坐标都是零，所以D′点的坐标是（0，0，2）；点C 在y 轴上，且∣OC ∣＝4，所以点C 的坐标为（0，4，0）；点A′的坐标为（3，0，2），B′的坐标为（3，4，2）.
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为
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的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.
【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.
下层原子全在xOy 平面，它们所在位置的竖坐标全是0，所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，
0），（0，1，0），（
21，21，0）；中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为：（21，0，2
1
），（1，21，21），（21，1， 21），（0，21， 2
1）；上层的五个钠原子所在位置的坐标分
别为：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（21，2
1
，1）.
三、典型例题解析
例3 在空间直角坐标系中，作出点M （6，－2， 4）.
点拨：点M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动
4个单位即得点M .
答案：M 点的位置如图所示.
总结：对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力.
变式题演练
在空间直角坐标系中，作出下列各点：A （-2，3，3）；B （3，-4，2）；C （4，0，
1M
2M M （6，-2,4） O
x
y
z
6
2 4
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-3）.
答案：略.
例4 已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
点拨：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.
【解析】 正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为232.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A （2，-2，0）、B （2，2，0）、C （-2，2，0）、D （-2，-2，0）、P （0，0
，.
总结：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.
变式题演练 在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，AA 1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
【解析】以A 为原点，射线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0）、B （12，0，0）、C （12，8，0）、D （0，8，0）、A 1（0，0，5）、B 1（12，0，5）、C 1（12，8，5）、D 1（0，8，5）.
例5 在空间直角坐标系中，求出经过A （2，3，1）且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程.
点拨：求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.
【解析】 坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行， ∴平面α也与x 轴垂直，
∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等. 平面α过点A （2，3，1），∴平面α内的所有点的横坐标都是2， ∴平面α的方程为x =2.
总结：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题.本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x 轴（或y 轴）平行的直线的方程.
变式题演练
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在空间直角坐标系中，求出经过B （2，3，0）且垂直于坐标平面xOy 的直线方程.
答案：所求直线的方程为x =2，y =3. 四、课堂小结
（1）空间直角坐标系的建立. （2）空间中点的坐标的确定. 五、布置作业
P138习题4.3 A 组：1，2.
第2课时
教学内容：4.3.2 空间两点间的距离公式 教学目标
1. 通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；
2. 通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力；
3. 通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想. 教学重点、难点
探索和推导空间两点间的距离公式. 教学过程
一、问题引入
问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度. 解决方案： ①直接测量
取两个或三个一样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度.
②公式计算
量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算.一般地，如果长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，那么对角线长222c b a d ++=
.
③坐标计算
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建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算.一般地，空间任意一点),,(z y x P 与原点间的距离222z y x OP ++=
.
探究：如果OP 是定长r ，那么2
2
2
2
r z y x =++表示什么图形？
思考：上面推导了空间任意一点与原点间的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距离公式？如何证明？
类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想空间任意两点间的距离公式.用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导. 由此可得空间中任意两点),,(),
,,(22221111z y x P z y x P 之间的距离公式
22
122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.
二、例题精讲
例1 已知A （x ，2，3）、B （5，4，7），且|AB |=6，求x 的值. 【解析】|AB |=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x ， 即（x -5）2=16，解得x =1或x =9.
例2 求点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标.
【解析】设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P ′，连 P P ′交坐标平面xOy 于Q ， 则P P ′⊥坐标平面xOy ，且|PQ |=|P ′Q|，
∴P ′在x 轴、y 轴上的射影分别与P 在x 轴、y 轴上的射影重合，P ′在z 轴上的射影与P 在z 轴上的射影关于原点对称，
∴P ′与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
∴ 点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为（1，2，-3）.
点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0. 三、课堂小结
1. 空间中两点间距离的坐标计算.
2. 类比思想：维度的升高，距离公式如何改变？ 四、布置作业
P138 习题4.3A 组：3.
P139习题4.3B 组:1，2，3.
第四章测试题
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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知点(1,4,2)M -，那么点M 关于y 轴对称点的坐标是（ ）． A ．(1,4,2)-- B ．(1,4,2)- C ．(1,4,2)- D ．(1,4,2)
2.若直线3x +4y +c =0与圆（x +1）2+y 2=4相切，则c 的值为（ ）． A ．17或-23 B ．23或-17 C ．7或-13 D ．-7或13
3.过圆x 2+y 2-2x +4y -4=0内一点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ）.
A ．x +y -3=0
B ．x -y -3=0
C ．x +4y -3=0
D ．x -4y -3=0
4.经过(1,1),(2,2),(3,1)A B C --三点的圆的标准方程是（ ）. A ．2
2
(1)4x y ++= B .22
(1)5x y ++= C ．2
2
(1)4x y -+=
D .2
2
(1)5x y -+=
5.一束光线从点A （－1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程是（ ）.
A
．－1 B
． C ．5
D ．4
6.若直线l :ax +by +1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则(a -2)2+(b -2)2的最小值为（ ）.
A ．5
B ．5
C ．25
D ．10
7.已知两点(1,0)A -、(0,2)B ，若点P 是圆2
2
(1)1x y -+=上的动点，则ABP ∆面积的最大值和最小值分别为（ ）.
A
．
11
(41)22 B
．
11
(4(422- C
．11
(3(322
D
．11
(22)22
8.已知圆2
2
4x y +=与圆2
2
66140x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）.
A . 210x y -+=
B . 210x y --=
C . 30x y -+=
D . 30x y --=
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9.直角坐标平面内，过点(2,1)P 且与圆2
2
4x y +=相切的直线（ ）. A .有两条 B .有且仅有一条
C .不存在
D . 不能确定
10.若曲线2
2
2610x y x y ++-+=上相异两点P 、Q 关于直线240kx y +-=对称，则k 的值为（ ）.
A . 1
B . -1
C .
1
2
D . 2 11.已知圆221:460C x y x y +-+=和圆22
2:60C x y x +-=相交于A 、B 两点，
则AB 的垂直平分线方程为（ ）.
A .30x y ++=
B .250x y --=
C .390x y --=
D . 4370x y -+= 12. 直线3y kx =+与圆2
2
(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若︱MN
︱≥
，则k 的取值范围是（ ）.
A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．[)
3,0,4
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
C
．,33⎡-
⎢⎣⎦ D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.圆2
2
:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离
d = ．
14.直线250x y -+=与圆2
2
8x y +=相交于A 、B 两点，则AB
∣∣= . 15.过点A （4，1）的圆C 与直线10x y --=相切于点 B （2，1），则圆C 的方
程为 .
16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆42
2
=+y x 上有且仅有四个点到直线12x -5y +c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分） 已知圆经过(3,0)A ，18
(,)55
B -两点，且截x 轴所得的弦长为2，求
此圆的方程.
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15
18.（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标为 （1，3），端点A 在圆C:4)1(2
2=++y x 上运动.
（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；
（2）过B 点的直线L 与圆C 有两个交点P ，Q .当CP ⊥CQ 时，求L 的斜率.
19.（12分）设定点M （-2，2），动点N 在圆22
2=+y x 上运动，以OM 、0N 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.
20.（12分）已知圆C
圆心在直线2y x =上，且被直线0x y -=截
得的弦长为C 的方程.
21.（12分）已知圆C ：222430x y x y ++-+=．
（1）若不经过坐标原点的直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；
（2）设点P 在圆C 上，求点P 到直线50x y --=距离的最大值与最小值．
22.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22
1:(3)(1)4C x y ++-=和圆
222:(4)(5)4C x y -+-=.
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C
截得的弦长为l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.
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17
参考答案
一、选择题
1. 选B .纵坐标不变，其他的变为相反数．
2. 选D .圆心到切线的距离等于半径.
3. 选 A .直线l 为过点M ， 且垂直于过点M 的直径的直线.
4. 选D .把三点的坐标代入四个选项验证即可.
5. 选D .因为点A （-1， 1）关于x 轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点.A （-1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程为
1 4.=
6.选B .由题意知，圆心坐标为（-2，-1），210.a b ∴--+=
(2)a -
a,b ）与（2，2）的距离，
=
所以22
(2)(2)a b -++的最小值为5.
7.选B .过圆心C 作CM AB ⊥于点M ，设CM 交圆于P 、Q 两点，分析可知
ABP ∆和ABQ ∆分别为最大值和最小值，
可以求得||AB =
d =
所以最大值
1
1)(42±=±． 8.选D .两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线. 9.选A .可以判断点P 在圆外，因此，过点P 与圆相切的直线有两条. 10.选D .曲线方程可化为2
2
(1)(3)9x y ++-=，由题设知直线过圆心，即
(1)2340,2k k ⨯-+⨯-=∴=.故选D .
11.选C .由平面几何知识，知AB 的垂直平分线即为两圆心的连线，把两圆分别化为标准式可得两圆心，分别为C 1（2，-3）、C 2（3，0），因为C 1C 2斜率为3，所以直 线方程为y -0=3（x -3），化为一般式可得3x -y -9=0.
12.
选A ．（方法1）由题意，若使︱MN ︱≥，则圆心到直线的距离d ≤1，即
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18
113232
≤++-k k ≤1，解得3
4
-≤k ≤0.故选A .
（方法2）设点M ，N 的坐标分别为
),(),,2211y x y x （，将直线方程和圆的方程联立得方程组22
3(3)(2)4y kx x y =+⎧⎨
-+-=⎩，
，
消去y ，得06)3(2)1(2
2=+-++x k x k ，
由根与系数的关系，得1
6
,1)3(22
21221+=⋅+--=
+k x x k k x x ， 由弦长公式知2122122124)(1||1||x x x x k x x k MN -+⋅+=-⋅+== 1
12
24201
6
4]1)3(2[1222222
++--=
+⋅-+--⋅+k k k k k k k ，
︱MN
︱≥，
8(43k k +）≤0，
∴34
-≤k ≤0，故选A .
二、填空题
13. 3. 由圆的方程可知圆心坐标为C （1，2），由点到直线的距离公式，可得34
34
24132
2
=++⨯+⨯=
d ．
14.
（方法1） 设11,)A x y （，22(,)B x y ，由2
2
250,8.
x y x y -+=⎧⎨+=⎩消去y 得
251070x x +-=，由根与系数的关系得
121272,,
5x x x x +=-=-
12x x -==
∴
1225
AB
x ∣∣=-==
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19
（方法2）因为圆心到直线的距离5
55
d =
=， 所以22
228523AB r d =-=-=.
15. 2
2
(3)2x y -+=. 由题意知，圆心既在过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，
联立方程30,3,
x y x +-==⎧⎨
⎩，解得3,0,
x y ==⎧⎨
⎩，即圆心
(3,0)C ，半径2r CA ==，
所以，圆的方程为2
2
(3)2x y -+=.
16. 1313c -<<. 如图，圆42
2=+y x 的半
径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x -5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x -5y+c=0的距离小于1.2
2
1,13,1313.125
c c c <<∴-<<+即
三、解答题
17.【解析】根据条件设标准方程2
2
2
()()x a y b r -+-=，
截x 轴所得的弦长为2，可以运用半径、半弦长、圆心到直线的距离构成的直角三角形；
则：⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧+==-+--=+-,1,)58()5
1(,
)3(2222
22222b r r b a r b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===5,2,2r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===.37,6,4r b a
∴所求圆的方程为2
2
(2)(2)5x y -+-=或2
2
(4)(6)37x y -+-=.
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20 18.【解析】（1）设()()
11
,,,
A x y M x y，由中点公式得
1
1
11
1
21
2
323
2
x
x
x x
y y y
y
+
=
=-
⇔
+=-
=
⎧
⎪⎧
⎪
⎨⎨
⎩
⎪
⎪⎩
，
，因为A在圆C上，所以()()
2
2223
2234,1
2
x y x y
⎛⎫
+-=+-=
⎪
⎝⎭
即.
点M的轨迹是以
3
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
为圆心，1为半径的圆.
（2）设L的斜率为k，则L的方程为()
31
y k x
-=-，即30
kx y k
--+=，
因为CP⊥CQ，△CPQ为等腰直角三角形，
圆心C（-1，0）到L的距离为
1
2
CP=2，
由点到直线的距离公式得22
2
3
2412922
1
k k
k k k
k
--+
=∴-+=+
+
，
∴2k2-12k+7=0，解得k=3±
11
2
.
故直线PQ必过定点
10
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，.
19.【解析】设P（x，y），N（x0，y0），
∴2
2
2
=
+y
x，（*）
∵平行四边形MONP，
∴
2
22
2
22
x
x
y
y
-
=
+
=
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
，
，
有0
+2
2
x x
y y
=
=-
⎧
⎨
⎩
，
，
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21
代入（*）有2)2()2(22=-++y x ，
又∵M 、O 、N 不能共线，
∴将y 0=-x 0代入（*）有x 0≠±1，
∴x ≠-1或x ≠-3，
∴点P 的轨迹方程为2)2()2(22=-++y x （3x 1-≠-≠且x ）.
20.【解析】因为所求圆的圆心C 在直线2y x =上，所以设圆心为(),2C a a ， 所以可设圆的方程为()()22210x a y a -+-=，
因为圆被直线0x y -=
截得的弦长为(),2C a a 到直线0x y -=的距离
d ==
，即d ==2a =±. 所以圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.
21.【解析】（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)2x y ++-=，即圆心的坐标为（-1
，2） ，因为直线l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设
直线l 的方程为 0x y m ++=；
=1m =或3m =-，
因此直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．
（2）因为圆心（-1，2）到直线50x y --
=
=P
到直线50x y
--=
距离的最大值与最小值依次分别为
22.【解析】（1）设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=，
由垂径定理，得：圆心1C 到直线l
的距离1d =
， 1=，
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22 化简得：27
24700
24
k k k k
+===-
，解得或，
求直线l的方程为：0
y=或7(4)
24
y x
=--，
即0
y=或724280
x y
+-=.
（2）设点P坐标为(,)
m n，直线
1
l、
2
l的方程分别为：
1
(),()
y n k x m y n x m
k
-=--=--，即：
11
0,0
kx y n km x y n m
k k
-+-=--++=，
因为直线
1
l被圆
1
C截得的弦长与直线
2
l被圆
2
C截得的弦长相等，两圆半径相等.
由垂径定理，得圆心
1
C到直线
1
l与
2
C直线
2
l的距离相等.
2
2
41
|5|
1
11
n m
k k
k
k
--++
=
++
化简得：(2)3,(8)5
m n k m n m n k m n
--=---+=+-
或，
关于k的方程有无穷多解，有：
20
30
m n m n
m n m n
--=
⎧⎧
⎨⎨
--=
⎩⎩
，-+8=0，
或
，+-5=0，
解之得：点P坐标为)
2
13
,
2
3
(-或)
2
1
,
2
5
(.。