ch3 轴向拉压变形(3rd)要点

1

第三章 轴向拉压变形

3-2 一外径D=60mm 、内径d =20mm 的空心圆截面杆，杆长l = 400mm ，两端承受轴

向拉力F = 200kN 作用。若弹性模量E = 80GPa ，泊松比μ=0.30。试计算该杆外径的改变量∆D 及体积改变量∆V 。

解：1. 计算∆D 由于 EA

F D D

εEA F εμμε-

=-=='=

Δ ， 故有

0.0179mm

m 1079.1 m 020.00600(π1080060

.01020030.04)(π4Δ52

29322-=⨯-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=--=-='=-）.d D E FD EA FD

D εD μμ

2.计算∆V

变形后该杆的体积为 )21()1)(1(])()[(4

π

)(222εεV εεAl d εd D εD l l A l V '++≈'++='+-'++=''='ε

故有

3

373

93

mm 400m 1000.4 )3.021(m 1080400.010200)21()2(Δ=⨯=⨯-⨯⨯⨯=-='+=-'=-μE Fl εεV V V V 3-4 图示螺栓，拧紧时产生l ∆=0.10mm 的轴向变形。已知：d 1

= 8.0mm ，d 2

= 6.8mm ，

d 3 = 7.0mm ；l 1=6.0mm ，l 2=29mm ，l 3=8mm ；E = 210GPa ，[σ]=500MPa 。试求预紧力F ，并校核螺栓的强度。

题3-4图

解：1.求预紧力F

各段轴力数值上均等于F ，因此， )(π4)(Δ23

3222211

332211d l d l d l E F A l A l A l E F l ++=++=

由此得

2

kN 6518N 108651N )007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ43

923

3222211..d l d l

d l l E F =⨯=++⨯⨯⨯⨯⨯=++=-

2.校核螺栓的强度

514MPa Pa 1014.5m 00680πN 1065.184π48

2

2322min max =⨯=⨯⨯⨯===.d F A F ζ

此值虽然超过][ζ，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。

3-5 图示桁架，在节点A 处承受载荷F 作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应

变分别为ε1= 4.0×10-4与ε2= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A 1= A 2=200mm 2，弹性模量E 1= E 2=200GPa 。试确定载荷F 及其方位角θ之值。

题3-5图

解：1.求各杆轴力 16kN N 1061N 10200100.4102004649111N 1=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--.A εE F

8kN N 108N 10200100.2102003649222N 2=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--A εE F

2.确定F 及θ之值

由节点A 的平衡方程0=∑x F 和0=∑y F 得 0sin30sin sin30N 1N 2=-+ F θF F

0cos cos30cos30N 2N 1=-+θF F F

化简后，成为 θF F F sin 2N2N1=-

(a)

及

θF F F cos 2)(3N 2N 1=+

(b)

3

联立求解方程(a )与(b )，得 1925.010

)816(310)816()(3tan 3

3

N2N1N2N1=⨯+⨯-=+-=F F F F θ 由此得 9.1089.10≈=θ

kN 2.21N 102.12N 89

10sin 210)816(2sin 4

3N2N1=⨯=⨯-=-=

.θF F F 3-6

图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板的厚度为δ，长度为l ，左、右端

的宽度分别为b 1与b 2，弹性模量为E 。试计算板的轴向变形。

题3-6图

解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为

x x b E F x x EA F l l l d )

(d )(Δ00⎰⎰==δ

(a)

由图可知，若自左向右取坐标x ，则该截面的宽度为

x l

b b b x b 1

21)(-+

= 代入式(a )，于是得

1

2120121ln

)(d 1Δb b b b E δFl

x x l b b b δE F l l -=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+=

⎰ 3-7 图示杆件，长为l ，横截面面积为A ，材料密度为ρ，弹性模量为E ，试求自重

下杆端截面B 的位移。

题3-7图

解：自截面B 向上取坐标y ，y 处的轴力为

4

gAy F ρ=N

该处微段d y 的轴向变形为

y E

gy

y EA

gAy

Δy d d d ρρ=

=

于是得截面B 的位移为

E

gl y y E

g

Δl

By 2d 2

ρρ=

=

⎰ )(↓

3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F ，并由作用于地桩的摩擦力所支

持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f ，且f = ky 2，式中，k 为常数。已知地桩的横截面面积为A ，弹性模量为E ，埋入土中的长度为l 。试求地桩的缩短量δ。

题3-8图

解：1. 轴力分析

摩擦力的合力为

3

d d 3

0 2

0 kl y ky y f F l

l

y ===⎰

⎰

根据地桩的轴向平衡，

F kl =3

3

由此得

33l

F k =

（a ）

截面y 处的轴力为

3

d d 3

0 2

N ky y ky y f F y

y

===*

**

⎰⎰

2. 地桩缩短量计算

截面y 处微段d y 的缩短量为

EA

y

F δd d N =