大庆实验中学高三模拟数学试题(理科)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份) (含答案解析)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x2−2x≤0}，B={x|y=lgx}，则A∪B=()A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.复数Z=i1+i(其中i为虚数单位)的虚部是()A. −12B. 12i C. 12D. −12i3.已知回归方程y^=1.5x−15，则()A. y=1.5x−15B. 15是回归系数aC. 1.5是回归系数aD. x=10时，y=04.函数f(x)=lg(|x|+x2)(|x|−1)x的图象大致为()A. B.C. D.5.如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A. 8−π4B. 8−πC. 83−π4D. 83−π6.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于()A. 4B. 8C. 12D. 167. 圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，则a +2b 的最小值为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 148. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c =2，C =π3，且a +b =3，则△ABC 的面积为 ( )A. 13√312 B. 5√34 C. 512 D. 5√3129. 下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )A. 买票→候车→检票→上车B. 候车→买票→检票→上车C. 买票→候车→上车→检票D. 候车→买票→上车→检票 10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A 、B ，若|AB|=|BF 2|，则C 的离心率为( )A. √5+2√3B. 5+2√3C. √3D. √5 11. 已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=( )A. −π3B. π6C. π3D. −π6 12. 函数f(x)=x 2−ax +1在区间(12,3)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,103)D. [2,52) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(ax 2√x )5展开式中的常数项为5，则实数a = ______ ．14. 已知向量a⃗ =(3,1)，b ⃗ =(−2,4)，求a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 已知在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB =AC =PA =2，且在△ABC 中，∠BAC =120°，则三棱锥P −ABC 的外接球的体积为______ ．16. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1a n −1+1，则a 2014= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知：△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos2B −cos(A +C)=0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若sinA =3sinC ，△ABC 的面积为3√34，求b 边的长．18.如图，底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA=AC．(1)当E为PC中点时，求证：PA//平面BDE；(2)当AE⊥平面PBD时，求二面角P−BD−E的余弦值．19.为了精准备考，某市组织高三年级进行摸底考试，已知全体考生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)(满分为150分，不低于120分为成绩优秀)．(1)若参加考试的人数为30000，求P(X⩾120)及成绩优秀的学生人数；(2)从全体考生中随机抽取3人，ξ表示数学成绩为(90,110]的人数，求ξ的分布列与期望．附：若X ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈23；P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈1920．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e x −ae −x −(a +1)x(a ∈R).(其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对于任意0<a <1，关于x 的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a −1,+∞)上存在实数解，求实数λ的取值范围．22.直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√3cosα，其中α为参数，直线l的方程y=√3sinα为x+√3y−2=0，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OA:θ=π与曲线C和直线l分别交于M，N两点，求线段MN的长．323.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+3|，∀a，b∈[1,+∞)，|a+b|≤m|ab+1|．2(1)解不等式f(x)≤2；(2)证明：∀x∈R，f(x)≥−1−m．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lgx}={x|x>0}，则A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：复数Z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，则虚部为12，故选：C．先化简复数，由虚部的定义可得答案．本题考查复数的基本概念，属基础题．3.答案：A解析：解：回归直线必要样本中心点(x,y)点，故y=1.5x−15，即A正确；回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，故−15是回归系数a，故B错误；1.5是回归系数b，故C错误；x=10时，y的预报值为0，但y值不一定为0，故D错误故选A根据回归直线必要样本中心点(x,y)点，代入可判断A的真假；根据回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，可判断B，C的真假；根据回归直线的意义，可判断D的真假．本题考查的知识点是线性回归方程，熟练掌握线性回归方程的基本概念是解答的关键．解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x =−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了三视图，棱锥的体积公式，圆柱的体积公式，属于较易题.该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，利用体积公式可得结果．解：该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，正四棱锥的底面边长为2，高为2，其体积为13×22×2=83，圆柱的底面半径为12，高为1，其体积为π×(12)2×1=π4， 则该几何体的体积为V =83−π4，故选C ． 6.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．由题意可得a 4的值，进而由等比数列的通项公式可得．解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 3a 4a 5=8，∴a 43=8，解得a 4=2，∴a 6=a 4×22=8，故选：B解析：本题考查直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，涉及点到直线的距离公式的用法，属中档题．根据圆M 与直线相切，即圆心到直线的距离等于半径解得a =2b−2b−2，则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6，根据基本不等式求解即可．解：圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0化为(x −1)2+(y −1)2=1，因为圆M 与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，直线x a +y b =1(a >2,b >2)化为bx +ay −ab =0，则点M 到直线bx +ay −ab =0的距离为1， 即22=1化简得ab −2a −2b +2=0，则a =2b−2b−2， 则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6⩾4+6=10，当且仅当2b−2=2(b −2)时取等号，所以a +2b 的最小值为10．8.答案：D解析：解：∵c =2，C =π3，a +b =3，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得：4=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab =9−3ab ，∴解得ab =53，∴S △ABC =12absinC =12×53×√32=5√312． 故选：D ．由已知及余弦定理可解得ab 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．解析：本题考查流程图的作用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．解：旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，故选A．10.答案：A解析：解：由双曲线的定义可得|BF1|−|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，cos∠BF1F2=√c2−a2c=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1|⋅|F1F2|=4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c，化简可得c4−10a2c2+13a4=0，由e=ca可得e4−10e2+13=0，解得e2=5+2√3，可得e=√5+2√3，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：D解析： 本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 由周期求出ω，再利用点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，可求φ的值．解：∵T =2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x +φ)． 又∵点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，∴sin (2×7π12+φ)=0，∴φ=−7π6+kπ(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故选D ． 12.答案：C解析：由题意可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解，利用函数有一个零点或者两个零点，列出关系式，即可求得实数a 的取值范围．解：由f(x)=x 2−ax +1在区间(12， 3)内有零点，可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解． 函数f(x)=x 2−ax +1过(0,1)，∴{a 2>0f(12)f(3)<0或{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0， 解{a 2>0f(12)f(3)<0得52<a <103， 解{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0得2≤a ≤52， 综上a ∈[2,103).故选C ． 13.答案：1解析：解：二项式(ax2√x )5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅a5−r ⋅ x10−2r ⋅ x −r2=C5r⋅a5−r ⋅ x10−52r，令10−5r2=0，解得r=4，故展开式中的常数项为C51⋅a1=5，∴a=1，故答案为1．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．再由常数项为5，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：−√55解析：解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,4)，可得a⃗⋅b⃗ =3×(−2)+1×4=−2，|a⃗|=√9+1=√10，|b⃗ |=√4+16=2√5，可得a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=2√5=−√55．故答案为：−√55．运用向量数量积的坐标表示和模的公式，可得a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，再由a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的坐标表示和模的公式以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.答案：20√5π3解析：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=2√3，∴2r=√3√32=4，∴r=2，∵PA ⊥面ABC ，PA =2，∴该三棱锥的外接球的半径为√22+12=√5，∴该三棱锥的外接球的体积43π⋅(√5)3=20√5π3． 故答案为：20√5π3． 16.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1a n −1=a n−1−1，∴{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，∴a 2014−1=a 2−1=1a1−1=12， ∴a 2014=32． 故答案为：32．由题意可知{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cos2B +cosB =0，可得2cos 2B +cosB −1=0，即(2cosB −1)(cosB +1)=0，解得cosB =12或cosB =−1．因为0<B <π，故cosB =12，所以，B =π3．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，而△ABC 的面积为12acsinB =3√34， 将a =3c 和B =π3代入上式，得出c =1，且a =3，再由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，解得b =√7．解析：(Ⅰ)由条件可得2cos 2B +cosB −1=0，求得cos B 的值，可得B 的值．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，再根据△ABC 的面积为12acsinB =3√34求得a 、c 的值，再由余弦定理求得b 的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18.答案：解：(1)连接AC ，BD 设其交点为O ，连接OE ，则O 为中点，故OE//PA ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，故PA//平面BDE ；(2)以O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过O 做AP 的平行线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，如图示：设AB =2，则A(√2,0,0), C(−√2,0,0)，B(0,√2,0)，D(0,−√2,0)，P(√2,0,2√2)，设PE PC =λ>0，E(√2−2√2λ,0,2√2−2√2λ), AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2λ,0,2√2−2√2λ)， AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得λ=23，因为AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PBD 的一个法向量，E(−√23,0,2√23)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√23,0,2√23)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√23,−√2,2√23), BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,0)，设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y,z )，则有{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0, 即{−√23x −√2y +2√23z =0−2√2y =0，令x =2，得n⃗ =(2,0,1)， 设二面角P −BD −E 为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=35，由图知，二面角为锐角， 故二面角P −BD −E 的余弦值为35．解析：本题主要考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE//PA ，由此能证明PA//平面BDE ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面PBD 的法向量和平面BDC 的法向量，利用向量法能求出二面角P −BD −C 的余弦值．19.答案：解：(1)∵X ∼N(100,100)，∴μ=100，σ=10，P (X ≥120)=1−P (80<X ≤120)2 =1−19202 =140， 成绩优秀的人数为30000×140=750(人)；(2)根据题意，P (90<X ≤110)≈23，ξ的取值有0，1，2，3，ξ∼B(3,23)，P(ξ=0)=(13)3=127； P(ξ=1)=C 31(13)2×23=627=29；P(ξ=2)=C 32×13×(23)2=1227=49； P(ξ=3)=(23)3=827．ξ的分布列为：E(ξ)=3×23=2．解析：本题考查正态分布及离散型随机变量的分布列与期望，属于一般题．(1)利用正态分布解决问题；(2)离散型随机变量求分布列，期望问题．20.答案：解：(1)直线l ：y =bx +2，坐标原点到直线l 的距离为√2． ∴√b 2+1=√2 ∴b =1∵椭圆的离心率e =√63， ∴a 2−1a 2=(√63)2 ∴a 2=3∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k 1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k 1+3k 2)+5=0 解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E解析：(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．21.答案：解：(1)易知f′(x)=e x+ae−x−(a+1)=(e x−1)(e x−a)，e x①当a≤0时，∴函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；②当0<a<1时，∴函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2⩾0，e x∴函数f(x)单调递增，即f(x)无极值点；④当a>1时，∴函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna；综上所述，当a≤0时，函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；当0<a<1时，函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；当a=1时，函数f(x)无极值点；当a>1时，函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna．(2)以下需多次引用到如下不等式：e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，证明略．注意到当0<a<1时，有lna<a−1<0．−1，当0<a<1时，gˈ(a)=0，令g(a)=lna−a+1，则g′(a)=1a∴g(a)<g(1)=0，即a−1>lna，显然a−1<0，∴lna<a−1<0，∴由(1)可知当0<a<1时，f(x)在区间(a−1,0)上递减，在区间(0,+∞)上递增，∴f(x)在区间(a−1,+∞)上的最小值为f(0)=1−a，∵关于x的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a−1,+∞)上存在实数解，∴只需当0<a<1时，关于a的不等式(1−a)2<λ(e a−1−a)恒成立，由上易知当0<a<1时，e a−1−a>0，∴只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x ，0≤x<1，则F′(x)=(x−1)(3e x−1−xe x−1−x−1)(e x−1−x)2，(法一)令函数G(x)=3e x−1−xe x−1−x−1，0≤x<1，则Gˈ(x)=(2−x)e x−1−1，当0<x<1时，∵e1−x>2−x，∴(2−x)e x−1<1，∴Gˈ(x)<0，∴G(x)>G(1)=0，即G(x)>0，∴当0<x<1时，Fˈ(x)<0，∴F(x)<F(0)=e，即F(x)<e，∴当0<a<1时，不等式λ=(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e，综上，实数λ的取值范围为[e,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的极值，最值问题，难度较大．(1)求导，讨论a，即可求导函数的单调区间，从而求得极值．(2)依题意，只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x，利用导数求解即可．22.答案：解：(1)由{x=1+√3cosα,y=√3sinα(α为参数)得曲线C的普通方程为(x−1)2+y2=3．由直线l的方程为：x+√3y−2=0，得极坐标方程为√3ρsinθ+ρcosθ−2=0，即ρsin(θ+π6)=1．(2)曲线C的极坐标方程是ρ2−2ρcosθ−2=0，把θ=π3代入曲线C的极坐标方程得ρ2−ρ−2=0，解之得ρM=2或ρM=−1(舍)．把θ=π3代入直线l的极坐标方程得ρN=1，所以MN =|ρM −ρN |=|2−1|=1．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．(1)消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；(2)先求出曲线C 的极坐标方程，把θ=π3代入曲线C 的极坐标方程，解得ρ的值， 把θ=π3代入直线l 的极坐标方程解得ρ的值，从而得出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12， 根据题意，{x <−3252−x ≤2或{−32≤x ≤12−3x −12≤2或{x >12x −52≤2， 解之得−56≤x ≤92，故解集为[−56,92]．(2)当x ∈(−∞,12)时，函数f(x)单调递减，当x ∈(12,+∞)时，函数f(x)单调递增．∴当x =12时，函数f(x)min =−2．由题知|a+b||ab+1|≤m ，即a+b ab+1≤m ，∵(a +b)−(ab +1)=(a −1)(1−b)≤0，则a +b ≤ab +1，∴a+b ab+1≤1．∴m ≥1，∴−m −1≤−2，∴f(x)≥−1−m ．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12，然后分段解不等式f(x)≤2；(2)求出f(x)的最小值，证明f(x)min≥−1−m，即可．。
2020 年黑龙江省大庆实验中学高三5月第一次模拟考试数学(理)试卷-含答案
参考答案
1．B
∵集合
A
x
N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
x
log2 16
{x N
|0
x
4} 1, 2,3 ，集合
B
x 2x 2 0
x x 1 ，
A B {2, 3} .∴集合 A B 真子集个数是 22-1＝3
比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． 1 3
B． 2 5
C． 2 3
D． 4 5
10．已知 a 5ln 4 , b 4 ln 5 , c 5ln 4 ，则 a,b, c 的大小关系是（ ）
A. c b a
B. c a b
C. b a c
D. a b c
请考生在第 22 23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分
10
分）在直角坐标系中，曲线
C
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
(
为参数），以原点为极点，x
轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 4sin( ) . 6
∴等差数列的通项公式为 an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，
由 401≤30n﹣19≤731，n 为正整数可得 14≤n≤25，
∴做问卷 C 的人数为 25﹣14+1＝12，
9．A
记事件 A :甲获得冠军，事件 B :比赛进行三局，
事件 AB : 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
黑龙江省大庆实验中学高三数学仿真模拟试题理(含解析)
大庆实验中学实验一部2017届高三仿真模拟数学试卷(理工类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23题，共150分，共3页。
考试时间：120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】,所以,选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于”改成相反方面“小于”.所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知,它的作用是统计出分数大于或等于110分的人数n.所以.选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图,我们可知概率为两个面积比.选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等,若题中只有一个变量,可考虑利用长度模型,若题中由两个变量,可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项.10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得.11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】由函数的解析式可得函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足∴函数f(x)与y= x−1的图象恰有5个交点,且这5个交点关于(2,0)对称，除去点(2,0)，故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为 ________.【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式.基本不等式可将积的形式转化为和的形式,也可将和的形式转化为积的形式,两种情况下的放缩功能,可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式,函数等的取值范围或最值中.与常用来和化积,而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为_____________．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为.点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为__________．（用数字作答）【答案】1616. 已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为 ___________．【答案】【解析】根据题意得,是直线OA n的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为 . （1）求角；（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)由题意结合余弦定理求得；(2)利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1)，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得:（当且仅当时，等号成立），即.18. （本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为．【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果．试题解析：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将列联表中的数据代入公式计算，得.因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为．19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1) 取PA的中点N，由题意证得BN∥CQ，则CQ∥平面PAB.(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：（Ⅰ）证明如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN.在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，所以QN∥AD，且QN＝AD.在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，故四边形BCQN为平行四边形，所以BN∥CQ.又BN⊂平面PAB，且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.（Ⅱ）如图，取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO.由(1)知PA＝AM＝PM＝2,所以△APM为等边三角形，所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，则＝(，3,0).因为Q为DP的中点，故Q，所以＝.设平面AQC的法向量为m＝(x，y，z)，则可得令y＝－，则x＝3，z＝5. 故平面AQC的一个法向量为m＝(3，－，5).设直线PD与平面AQC所成角为θ.则sinθ= |cos〈，m〉|＝＝.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。
大庆实验中学高三二模数学试题(理科)
大庆实验中学高三二模数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，答题纸5至7页，共150分。
测试时间120分钟。
第I 卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题。
每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合}2,1{=A ，则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．82．已知ni im-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -23．已知23)2cos(=-ϕπ，且2||πϕ<，则=ϕtan （ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．34．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ） A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点 B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则|9||1|-+-x x 的值为（ ）A ．8B ．8-C ．0D ．106．设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，b x x f x-+-=221)(（b 为常数），则=)1(f （ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
给出下列函数①x x f cos sin )(-=；②)c o s (s i n2)(x x x f +=；③2s i n2)(+=x x f ；④.s i n )(x x f =其中“互为生成函数”的是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④8．在ABC ∆内，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=（ ）A ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒1509．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ ）10．设命题:p 非零向量||||,,b a b a =是)()(b a b a-⊥+的充要条件；命题:q M 为平面上一动点，C B A ,,三点共线的充要条件是存在角α，使+=α2sin α2cos ，则（ ）A ．q p ∧为真命题B ．q p ∨为假命题C ．q p ∧⌝为假命题D ．q p ∨⌝为真命题11．已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当)3,1(∈x 时，有2)2(81)(+≤x x f 成立，又0)2(=-f ，则b 为（ ） A ．1B ．21C ．2D ．012．若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下面结论正确的是（ ） A ．βα>B ．0>+βαC ．βα<D ．22βα>第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期综合模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数,然后求z 的共轭复数,即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意,()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.2.设全集U =R ,(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤,A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =.又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选D. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( ) A. 221167x y += B. 221716x y += C. 2251162x y += D. 2212516x y += 【答案】A【解析】由题意知,2a=8,∴a=4,又34e =,∴c=3,则b 2=a 2﹣c 2=7． 当椭圆的焦点在x 轴上时,椭圆方程为221167x y +=； 故答案为221167x y +=． 故答案为A ．4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘,O 为圆心,阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形,点Р为其中心)各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A. 116B. 1124C. 1324D. 516【答案】B【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率,由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.。
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期阶段考试数学试题
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期阶段考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z =i1+i −i 2024（i 为虚数单位），则z̅的虚部为（ ） A ．−12B ．12C ．−12iD ．12i2．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E,F,G,H 分别为BB 1,CC 1,A 1B 1,A 1C 1的中点，则下列说法错误的是（）A ．E,F,G,H 四点共面B ．EF//GHC ．EG,FH,AA 1三线共点D ．∠EGB 1=∠FHC 13．二项式(√x +2√x4)n的二项式系数和为256，将其展开式中所有项重新排成一列，有理项不相邻的排法种数为（ ） A ．A 73B ．A 66A 63C ．A 66A 73D ．A 77A 734．已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，D (5,0),B (2,A ),BC ⊥CD ，则f (12)=（ ）A ．4B ．2√5C ．4√2D ．2√105．设f(x)=1cosx，将f(x)的图像向右平移π3个单位，得到g(x)的图像，设ℎ(x)=f(x)+g(x)，x ∈[π12,π4]，则ℎ(x)的最大值为（ ） A ．√62B ．√6C ．2√6D ．3√66．已知直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)与曲线W ：y =x 3−x 有三个交点D 、E 、F ，且|DE |=|EF |=2，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（ ）． A ．(0,1)B ．(1,−1)C ．(1,1)D ．(1,0)7．已知a =log 2986−log 2985,b =1−cos 1986,c =1985，则（ ） A ．b >a >cB ．b >c >aC ．a >c >bD ．c >b >a8．设无穷等差数列{b n }的公差为d ，集合L ={t ∣t =cosb n ,n ∈N ∗}．则（ ） A ．当且仅当d =0时，L 只有1个元素B ．当L 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为16 C ．当d =π2时，L 可能有4个子集D ．当kd =2π,k ≥2,k ∈N ∗时，L 最多有k 个元素，且这k 个元素的和可能不为0二、多选题9．下列命题中，正确的有（ ）A ．X 服从B(n,p)，若E(X)=30,D(X)=20，则p =13B ．若P(A ∪B)=P(A)+P(B)，则A 与B 互斥C ．已知P(A)>0,P(B)>0，若A ，B 互斥，则P(A|B)=P(B|A)D ．P(B)<P(B ∣A)可能成立10．如图，平面ABN ⊥ α，|AB |=|MN |=2，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面α的所成角大小为30°，点P 为平面α内的动点，则（ ）A ．以N 为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB ．若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线C．若P到直线MN的距离为1，则∠APB的最大值为π2D．满足∠MNP=45°的点P的轨迹是椭圆11．在平面内有三个互不相交的圆，三个圆的半径互不相等．三个圆的方程分别为C1:x2+ (y−13)2=r12,C2:(x+6)2+y2=r22,C3:(x−150)2+(y−6)2=r32.其中圆C2与圆C1的两条外公切线相交于点A，圆C3与圆C2的两条外公切线相交于点B，圆C1与圆C3的两条外公切线相交于点C，k1表示直线AB的斜率，k2表示直线AC的斜率，k3表示直线BC的斜率.下列说法正确的是（）A．存在r i(i=1,2,3)，使得k1>k2B．对任意r i(i=1,2,3)，使得k1=k2C．存在点P到三个圆的切线长相等D．直线l:12x+26y−133+r12−r22=0上存在到C1与C2的切线长不相等的点三、填空题12．设全集U=R，集合M={x|x2−5x−6>0}，N={x|log2x<3}，则(∁U M)∪N=．13．已知曲线C1:x2+y2−12x+32=0与曲线C2:(x−8)(3x+4y−m)=0恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围为．14．若实数a，b分别是方程ln2(a−1)=3−a,blnb2=e2的根，则ln[2b(a−1)]=．四、解答题15．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB=PC=2√6，PA=BC=2AD=2CD=4,E为BC中点，点F在梭PB上（不包括端点）.(1)证明：平面AEF⊥平面PAD；(2)若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.16．如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边BC ，CD 上的点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |；(1)求∠PAQ 的大小； (2)求△APQ 面积的最小值；17．设点T 是抛物线外一点，过点T 向拋物线y 2=4x 引两条切线TM ，TN ，切点分别为M ，N ，焦点F ，(1)若点T 的坐标为(−1,1)，证明：以TM 为直径的圆过焦点； (2)若点T 的坐标为(−2,2)，证明：∠MFT =∠NFT ．18．已知S ∈N ∗,S ≥2，在平面直角坐标系xOy 中有一个点阵，点阵中所有点的集合为M ={(x,y)∣x ≤S,y ≤S,x ∈N ∗,y ∈N ∗}，从集全M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．(1)当S =2时，求X 的分布列及期望． (2)对给定的正整数S =n +1(n ≥4)．（ⅰ）求随机变量X 的所有可能取值的个数（用含有n 的式子表示）； （ⅱ）求概率P(X <√2(n −1))（用含有n 的式子表示）．19．（1）若∀x >1，lnx <λ⋅12(x −1x )+(1−λ)⋅2⋅x−1x+1，求λ的取值范围； （2）证明：913<ln2<2536；（3）估计ln2的值（保留小数点后3位）． 已知1237=0.324324⋯,1537=0.405405⋯,73180=0.405555⋯,145504=0.287698⋯，147518=0.283784⋯,149518=0.287644⋯。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学仿真模拟试题理(含解析)
大庆实验中学实验一部2020届高三仿真模拟数学试卷（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共23题，共150分，共3页。
考试时间：120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于” 改成相反方面“小于” . 所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C 【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100 时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12 日指数值的统计数据，图中点表示4 月1 日的指数值为201 ．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9 日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9 日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知，不大于100天有6日到11日,共6天，所以A对，不选.最小的一天为10日,所以B对,不选•中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小，D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2 所示的程序框图，若输入的分别为这15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知，它的作用是统计出分数大于或等于110 分的人数n. 所以. 选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图，我们可知概率为两个面积比. 选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度” ，常见的测度有长度、面积、体积等，若题中只有一个变量，可考虑利用长度模型，若题中由两个变量，可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项•10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得•11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f (X)=，若存在X i、X2、…X n满足==••==,贝U X1+X2+…+X n的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10答案】C解析】由函数的解析式可得函数f(x) 的图象关于点(2,0) 对称，结合图象知：X I、X2、…X n满足•••函数f (x)与y= x-1的图象恰有5个交点，且这5个交点关于(2,0)对称, 除去点(2,0) ，故有X1+X2 +…+ X n=X l+X2+X3+X4=8.本题选择C选项.第n卷(共90分)二、填空题(每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上)13. 已知函数(为正实数)只有一个零点，则的最小值为【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式. 基本不等式可将积的形式转化为和的形式, 也可将和的形式转化为积的形式, 两种情况下的放缩功能, 可以用在一些不等式的证明中, 还可以用于求代数式, 函数等的取值范围或最值中. 与常用来和化积, 而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为________________ ．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为. 点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3 男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2 名，且甲班至少分配1 名女生，则不同的分配方案种数为 _________________ ．(用数字作答)【答案】1616.已知函数，点O为坐标原点，点，向量=(0 , 1 ), 0 n是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t 的取值范围为 ______________ ．【答案】【解析】根据题意得, 是直线OA n 的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t 的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：⑴ a> f(X)恒成立？a> f(X)max；⑵ a< f (x)恒成立？a< f (x) min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在中，角所对的边分别为•(1)求角；(2)若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】( 1 )； (2)．【解析】试题分析：(1) 由题意结合余弦定理求得；(2) 利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1) ，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得: (当且仅当时，等号成立) ，即.18. (本小题满分12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果.试题解析：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为.19.如图，在四棱锥P—ABCDK 平面PADL底面ABCD其中底面ABC［为等腰梯形，AD// BCPA= AB= BC= CD= 2, PD= 2, PAL PD Q为PD的中点.(I)证明：CQ/平面PAB(n)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值【答案】(I)见解析；(n).【解析】试题分析：⑴取PA的中点N,由题意证得BN// CQ则CQ/平面PAB⑵利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：(I)证明如图所示，取PA的中点N,连接QNBN 在^ PAD中, PNh NA PQ= QD所以QN/ AD 且QNh AD在厶APD中 , PA^ 2 , PD= 2, PA± PD所以AD== 4,而BC= 2,所以BC= AD又BC// AD,所以QN/ BC 且QNh BC故四边形BCQ为平行四边形，所以BN// CQ又BN?平面PAB且CQ平面PAB 所以CQ/平面PAB(n)如图，取AD的中点M连接BM取BM的中点Q连接BO PO由(1)知PA= AM= PM= 2,所以△ APM为等边三角形，所以POL AM 同理BOL AM.因为平面PADL平面ABCD所以POh BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB OD OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,0) D(0,3,0) A(0 －1,0) B( 0,0) P(0,0 ) C( 2,0)则=(,3,0).因为Q为DP的中点，故Q所以=.设平面AQC的法向量为m= (x , y , z),则可得令y =—，贝U x= 3, z = 5.故平面AQC勺一个法向量为m^ (3，—, 5).设直线PD与平面AQC所成角为0.贝U sin 0 = |cos 〈，n〉| ==.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆勺左，右焦点，分别是椭圆勺上顶点和右顶点，且，离心率.(I)求椭圆的方程；(H)设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值【答案】(I) ； (n).【解析】试题分析：(1) 由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期5月第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意画出图形，可得四边形 为矩形，则 ，结合 ， ， ，列式可得 关于 的三角函数，利用辅助角公式化简后求解椭圆离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的另一焦点为 ，连接 ， ， ，
设椭圆的焦距为 ，由题意则四边形 为矩形，∴ ，
， .
结合椭圆定义，可知 ，即 ，则 ，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在 ，由正弦定理可知： ，即可求得 值，根据诱导公式化简 ，即可求得答案.
【详解】在 ，由正弦定理可知：
，
，
又
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
对于事件 ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 ，
， ，故选A.
【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
10.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【详解】∵点 和 在直线 的两侧，
大庆市实验中学实验三部2024届高三上学期阶段考试(二)数学试题(原卷版)
14. 如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，AA1 AB, M , N 分别是 BB1 和 B1C1 的中点，则直线 AM 与 CN 所
成的角余弦值为__________.
15.
已知数列an 满足： a1
a2 2
a3 3
an1 n 1
an n
D. a b c
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.8.
已知 O 为坐标原点，椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别是 F1, F2
，离心率为
3 . M､P 是 2
椭圆 E 上的点，MF1 的中点为 N, ON NF1 2 ，过 P 作圆 Q : x2 ( y 4)2 1的一条切线，切点为 B ，
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
6.
若 tan
cos 3 sin
，则
sin
2
π 2
（
）
2 A.
3
1
B.
3
8
C.
9
7. 设 a 40.2 ， b 20.3 ， c 2ln1.3 ，则（ ）
7
D.
9
A cba
B. b<c<a
C. a c b
线 l 与拋物线 E 相切于点 A，且交 y 轴正半轴于点 P.已知 AKF 的面积为 2.
（1）求抛物线 E 的方程； （2）过点 P 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 y 轴的直线与线段 OA 交于点 T，点 H 满足 MT TH .
证明：直线 HN 过定点. 22. 已知函数 f (x) x ln x aex a ，其中 a R .
2020届黑龙江省大庆实验中学高三综合模拟训练(二)数学(理)试题
大庆实验中学2020届高三综合训练（二）数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第I 卷（选择题 共60分)一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则A B =U （ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞ 2．已知i 为虚数单位，若复数1ai z i -=+（a R ∈）的虚部为1-，则a = （ ）A ．2-B ．1C ．2D ．1-3．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为 （ ）A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189．65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11．6厘米，4．函数()2ln x f x x x=-的图象大致为 （ ） A ． B ． C ． D ．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π- 6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为 ( )A ．20%，14580元B ．10%，14580元C ．20%，10800元D ．10%，10800元7．若0m >，0n >，且直线()()1120m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围是 （ ）A ．)22,⎡++∞⎣B ．)222,⎡++∞⎣C ．(0,22D ．(0,222⎤+⎦ 8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为 （ ）A 2B ．22C 6D ．39．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln x n x x≈的结论（素数即质数，lg 0.43429e ≈）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n 的值为100，则输出k 的值应属于区间 （ ） A ．(15,20] B ．(20,25] C ．(25,30] D ．(30,35]10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，且双曲线C 与圆222x y c +=在第一象限相交于点A ，且123AF AF =，则双曲线C 的离心率是 （ ）A 31B 21C 3D 211．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是 （ ）A ．12ω=B ．6282f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()53f x f x -=+，且()224,012ln ,14x x x f x x x x ⎧-+≤<=⎨-≤≤⎩，若关于x 的不等式()()()210fx a f x a +++<在[]20,20-上有且仅有15个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,ln 22--B ．[)2ln33,2ln 22--C ．(]2ln33,2ln 22--D ．[)22ln 2,32ln3-- 第II 卷（非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在大题卡相应位置上．13．二项式56x⎛ ⎝展开式中的常数项是__________． 14．已知向量(1,2)a =r ，(,1)b k =r ，且2a b +r r 与向量a r 的夹角为90°，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为________．15．已知P ，E ，G F ，都在球面C 上，且P 在EFG ∆所在平面外，PE EF ⊥，PE EG ⊥，224PE GF EG ===，120EGF ∠=o ，在球C 内任取一点,则该点落在三棱锥P EFG -内的概率为__________．16．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N ++-=∈．若数列{}n a 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________． 三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．若ABC V 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. （1）求cos A ；（2）若ABC V A 的角平分线AD 长的最大值．18．如图，四棱锥-中，SD CD SC AB BC ====，平面⊥底面ABC ∠=︒，是中点. （1）证明：直线AE 平面 （2）A B C DS E F18．如图，四棱锥S ABCD -中，22SD CD SC AB BC ====，平面ABCD ⊥底面SDC ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，E 是SD 中点． （1）证明：直线//AE 平面SBC ； （2）点F 为线段AS 的中点，求二面角F CD S --的大小．19．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:2010:40~这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40~记作区间[)20,40，9:4010:00~记作[)40,60，10:0010:20~记作[)60,80，10:2010:40~记作[]80,100，例如：10点04分,记作时刻64．（1）估计这600辆车在9:2010:40~时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中,在9:2010:00~之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望； （3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这600辆车在9:2010:40~之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:22之间通过的车辆数(结果四舍五入保留到整数)．参考数据：若()2,T N μσ~,则()0.6827P T μσμσ-<≤≤=①；(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=②；(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=③．20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线0bx y -+=过椭圆的C 左焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线20bx y c -+=与y 轴交于点,,P A B 是椭圆C 上的两个动点,APB ∠的平分线在y 轴上,PA PB ≠．试判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由．21．已知函数()ln f x x ax b =--．（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()f x ex ≤-恒成立，求b a e-的最小值（其中e 为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．本题满分10分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22121sin ρθ=+，射线(0)4πθρ=≥交曲线C 于点A ，倾斜角为α的直线l 过线段OA 的中点B 且与曲线C 交于P 、Q 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）当直线l 倾斜角α为何值时，BP BQ ⋅取最小值，并求出BP BQ ⋅最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数() 1.f x x =+（Ⅰ）解不等式()32f x x >-+；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且2a b +=()f x x -≤。
高三试卷数学(理)丨黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(三)数学(理)试卷及参考答案
大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学试卷参考答案1．已知集合{|A x y ==，{}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（）A ．{}|1<<3x x B ．{}|1<<6x x C ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A 【详解】解：{|A x y ==={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ，故选A.2．i 是虚数单位，复数z =，则（）A ．1322z -=B ．34z =C ．3322z i =-D ．3344z i =+【答案】D 【详解】3333444z i +===+1122z -=，3||2z =故选：D 3．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ”的充分不必要条件；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解.A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④【答案】A【详解】①1x >，则有21x ≥，但21x ≥，则1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件，所以①正确；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故③错误；④当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确.故选：A.4．二项式261(2x x-的展开式中3x 的系数为（）A ．52-B ．52C ．1516D ．316-【答案】A 【详解】通项为()()6212316611122rrrr r r rr T Cx C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A5．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（）A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线0x y +=，0x -=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）A ．60B ．120C ．180D ．240【答案】C 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能；若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际，故选：C .7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α【答案】D【详解】选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确；选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确；选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确；选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确.故选：D 8．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】1()ln1xf x x x+=-定义域为：(1,1)-11()lnln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C 11()22ln 30f =>，排除D 故选B 9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（）A ．6i >，7S S =B ．6i 7SS =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S=【答案】A 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7SS =，故选：A.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（）A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===，所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--；同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D【详解】因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在面ABCD 内的射影落在正方形ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O ,连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE==,所以971442PE R OE=-=-=或97444PE R OE=+=+=，当12PE=时，32PA==,则PA与底面ABCD所成角的正弦值为112332PEAP==,当4PE=时，PA===则PA与底面ABCD所成角的正弦值为3PEAP==,即PA与底面ABCD所成角的正弦值为13或3，故选D.13．已知平面向量a与b的夹角为3π，1)a=-，1b||=，则|2|a b-=________.【详解】由1)a=-可得||2a==，则||||cos13a b a bπ⋅=⋅=，所以|2|a b-===故答案为:14．已知各项均为正数的等比数列{}n a的前n项积为n T，484a a=，1122log3bT=（0b>且1b≠），则b=__________.【答案】由于0na>，24864a a a⋅==，所以62a=，则11111162T a==，∴1122log11log23b bT=⨯=，2log23b=，233b==故答案为：15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y+的最大值为________.【答案】16【详解】由三视图之间的关系可知2210802x y=--,整理得22128x y+=,故22222()2()2562xx y x y x yy=++=++≤,解得16x y+,当且仅当8x y==时等号成立,故答案为:1616．已知曲线1C ：()2xf x e x =--，曲线2C ：()cosg x ax x =+，（1）若曲线1C 在0x =处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a =________；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为1l ，总存在2C 上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为________.【答案】－21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】(1)()2x f x e '=--,则曲线1C 在0x =处的切线的斜率1(0)3k f '==-,2()sin ,g x a x C '=-在2x π=处的切线的斜率212k g a π⎛⎫'==- ⎪⎝⎭,依题意有13a -=-,即2a =-;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--,则与1l 垂直的直线的斜率为110,22x e ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭,而过2C 上一点处的切线的斜率[]2()sin 1,1k g x a x a a '==-∈-+,依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩,解得112a -≤≤,故答案为:12;,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+，2sin sin cos 2CA B =，（1）求C ；（2）若ABC的面积为c ．解：（1）()()()sin sin sin c a C A a b B -+=+ ，由正弦定理得:()()()c a c a a b b -+=+，∴222a b c ab +-=-，又由余弦定理得：222cos 2a b c C ab+-=，1cos 22ab C ab -∴==-，即：1cos 2C =-，∵0C π<<，∴23C π=.（2）因为21cos sin sin cos 22C C A B +==，所以()2sin cos 1cos 1cos A B C πA B =-=+-+⎡⎤⎣⎦()1cos 1cos cos sin sin A B A B A B=-+=-+化简得()cos 1A B -=，∵23C π=，则A ，0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴33ππA B -<-<，∴0A B -=，得：A B =，因为ABC的面积为，所以212sin 234πS ab a ===，得216a =，∴4a b ==由余弦定理知：2222212cos 44244482c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ；（2）若PE EC λ=，F 是PB的中点，AD =，22AB AP CD ===，且二面角F AD E --的正弦值为10，求λ的值.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AB AD ⊥,PA AB A = ,所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB ;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P,C,D ,(0,1,1)F ,由(1)知AD ⊥平面PAB ,故AD PB ⊥,又F 是PB 的中点,AB AP =,∴PB AF ⊥,且AF A AD = ,∴PB ⊥平面ADF ,∴平面ADF 的一个法向量为(0,2,2)PB =-,∵PE EC λ=,∴2,,1111PE PC λλλλλλλ⎛⎫-== ⎪ ⎪++++⎝⎭ ,∴2,,111AE AP PE λλλλ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z = ,则0n AD ⋅=且0n AE ⋅=r uu u r ,0=且20111x y zλλλλλ++=+++,∴0x =,令1y =,则2z λ=-,∴平面ADE 的一个法向量0,1,2n λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,∵二面角F AD E --的正弦值为10,∴()cos ,10PB n = ,31010=,∴1λ=或4.19．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-,所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=;(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,2231212(15)3327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,30311(15)327P x C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,故得分为x 的分布列为:x30150-15812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===,故y 的分布列为:x30150P110610310故163015121010Ey =⨯+⨯=,∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲.(2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=,②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥),∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥),又11122P -=,所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列,∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).20．如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB=，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ；（2）求MNF ∆面积的最大值.【详解】（1）∵8AB =,∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c -=-⇒-+=∴12e =∴2c =,22212b a c =-=∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0-直线l 的方程为()184y x =+即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设()()1122,,M x y N x y ，()00,H x y 则124813y y +=，123613y y =所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=-直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---= ⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设()()1122,,M x y N x y ()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+222248144143434m MN m m m ⎛⎫=+⋅-⨯ ⎪++⎝⎭222241434m m m +⋅-=+点F 到直线l 的距离2228611d m m -==++2211223434MNFm m m S MN d m m ∆=⋅=⨯=++7216=≤=当且仅当=m =时（此时适合于△＞0的条件）取等号,所以当114k m ==±时，直线l为()814y x =±+时，MNF ∆面积取得最大值为21．已知函数()()1ln 1f x x x =++，()ln 1x g x e x -=++（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最小值为M ，证明：2211M e e--<<-.【详解】(1)()()1ln 1ln ln 1f x x x x x x =++=++()1ln 1f x x x+'=+，设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x-=++=-='()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增()()min 120m x m ==>，即()0f x ¢>所以()f x 在()0,+¥上单调递增(2)()()()()1ln ln ln x xh x f x g x x x e x x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++'，设()ln 1x F x e x -=++()11x x x e x F x e x xe='-=-+，设()x G x e x =-()10x G x e ='->，所以()G x 在()0,+¥上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在()0,+¥上单调递增()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在()0,+¥上恰有一个零点()210,x e e --∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e ==-=++，()210,x e e --∈由（1）知()0f x 在()0,+¥上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=-所以2211M e e --<<-22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PA PB PB PA+的值．【详解】解：（1）l 的参数方程消去参数，易得l 的普通方程为10x y --=，曲线C：()2cos sin 2πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即()22cos sin ρρθθ=+，∴22220x y x y +--=，所以曲线C 的直角坐标方程为：22220x y x y +--=.（2）l的参数方程22,21,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设A 对应参数为1t ，B 对应参数为2t ，将l 的参数方程与22220x y x y +--=联立得：210t +-=，得：12t t +=，121t t ⋅=-，所以2212122112PA PBt t t t PB PAt t t t ++=+=()()2212121221222411t t t t t t -⨯-+-+====-即4PA PBPB PA +=.23．设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥.【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++，即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=，所以a b c ++得证．。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月模拟测试理科数学试题(含答案)
大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜3}，N ＝{x |y ＝lg （x 2﹣1）}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |﹣1＜x ≤1}2．已知复数z 满足z •（1+2i ）＝|3﹣4i |（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ＝0.40.3，b ＝0.30.3，c ＝0.30.4，则（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a4．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，各抽测10件进行测量，其结果如图，不通过计算从图中数据的变化不能反映和比较的数字特征是（ ） A ．极差 B ．方差 C ．平均数 D ．中位数 5．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”； ③若,a b 是实数，则“2a >”是“24a >”的必要不充分条件； ④命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，则角C 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（ ）A ．B ．3C ．D ．8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，0）∪（6，+∞）10．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2B．3C．4D．511．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④12．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是．14．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有种．（用数字填写答案）15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN ⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．16．在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．18.（12分）19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数2()23()x x f x e ax a e a R −=−+∈，其中 2.71828...e =为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当(0,)x ∈+∞时，222e ()3e 10()x x x a a x af x −−+−−+>恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标； （2）设P 是椭圆上的动点，求△PMN 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|． （1）解关于x 的不等式：；（2）若f （x ）的最小值为M ，且a +b +c ＝M （a ，b ，c ∈R +），求证：．大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解：N ＝{x |x 2﹣1＞0}＝{x |x ＞1或x ＜﹣1}，M ＝{x |﹣1＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x |1＜x ＜3}． 故选：C ．2．解：由z •（1+2i ）＝|3﹣4i |＝5， 得，∴在复平面内复数z 对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限， 故选：D ．3．解析：0.30.3＞0.30.4，即b ＞c ＞0，而，即a ＞b ，∴a ＞b ＞c ， 故选：B ． 4．C由于极差反映了最大值与最小值差的关系，方差反映数据的波动幅度大小关系，平均数反映所有数据的平均值的关系，中位数反映中间一位或两位平均值的大小关系，因此由图可知，不通过计算不能比较平均数大小关系. 故选C . 5．【答案】B对于①，若 “p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故①正确；对于②，命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x ＜2或y ＜3，则x +y ＜5”，故②错；对于③，因为2a <−时24a >，所以若a ，b 是实数，则“a ＞2”是“a 2＞4”的充分不必要条件，故③错； 对于④，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则其的逆否命题为真命题，故④正确． 故选：B ．6．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin （B ﹣C ）＝sin2C ，在锐角三角形中可求B ＝3C ，可得，且，从而解得C 的取值范围．【解答】解：∵b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ﹣sin C cos B ＝2sin C cos C ， ∴sin （B ﹣C ）＝sin2C ， ∴B ﹣C ＝2C ， ∴B ＝3C ，∴，且，∴．故选：A．7．解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．8．解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影＝12×（×πR2﹣×R2×sin60°）＝（2π﹣3）R2，故所求概率为．故选：B．9．解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a ＜0时）平移|a|个单位而得，当a＞0时，y＝f（x）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立（对任意的x∈[﹣1，2]），故x∈（﹣2，0）∪（6，+∞），故选：D．10．解：不妨设P在第二象项，|FM|＝m，H（0，h）（h＞0），由知N（0，﹣2h），由△AFM～△AON，得（1），由△BOH～△BFM，得（2）（1），（2）两式相乘得，即c＝3a，离心率为3．故选：B．11．解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．12．解：求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，h（x）在递减，在递增，显然在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，（原定义域x＞0，这里为方便讨论，考虑h（0）），当t≥1时，直线y＝t与只有一个交点即φ（x）只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在x＝1两侧附近同号，使得x＝1不是极值点不合．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．解：展开式通项，依题意，，得r＝3，所以：x﹣2的系数是．故答案为：﹣80．14．解：根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有C41种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有．故答案为：240．15．解：设准线l与x轴交于E．易知F（1，0），EF＝2，由抛物线定义知|MN|＝|MF|，由于∠NMF＝60°，所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝＝2|FE|＝4，又OD是△FEN的中位线，MD就是该等边三角形的高，，故答案为：2．16．解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]，∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．故答案为：[0，]．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得P2n，解不等式可得所求最小值．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，又S 3＝3a 1+3d ＝6，可得a 1＝d ＝1，所以数列{a n }是以1为首项和公差的等差数列， 故综上；（2）由（1）可知， 所以＝，所以，故n 的最小值为505． (2)法二：所以当n 为奇数时+11111+=21212123n n b b n n n n −++−+++－112123n n =+−+－ ()()()21234212+++11111155743411=141n n nP b bb b b b n n n −=+++=−+−++−+−+−++ 所以，故n 的最小值为505． 18.19．解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（x Q，y Q）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+x Q＝2（﹣x Q+1），得，则，代入到椭圆方程，得．由，解得a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆的方程为．（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则2122834kx xk−+=+，，由于OABM为平行四边形，得，故，若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．20．解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，∴n＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．，解得k＝，∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：，我们用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22）＝+＝．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，P （ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝， P （ξ＝1）＝， P （ξ＝2）＝， ∴ξ的分布列为：E ξ＝＝．21. （1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可．解：（1）由题意可知，()22223'23x x x x x e ae a f x e a a e e −−−=−−= ()()3x x x e a e a e−+=， 当0a =时，()'0xf x e =>，此时()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，令()'0f x =，解得()ln 3x a =，当()(),ln 3x a ∈−∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln 3,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；当0a <时，令()'0f x =，解得()ln x a =−，当()(),ln x a ∈−∞−时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln ,x a ∈−+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()(),ln 3x a ∈−∞时，()f x 单调递减， ()()ln 3,x a ∈+∞时单调递增；当0a <时，()(),ln x a ∈−∞−时，()f x 单调递减， ()()ln ,x a ∈−+∞时单调递增．（2）由()()222310x x ex a a e x a f x −−+−−+>， 可得，()2212100x e x a x ax a −−−+−+>，令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+，只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，()()()()'1222x x x g x e x a e x a e x a =−−+−+=−−，①当0a ≤时，0x a −>，当0ln2x <<时，()'0g x <，当ln2x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,ln2上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，只需()()22ln22ln22ln 22ln280g a a =−+−−++>， 解得ln24ln22a −<<+，所以ln240a −<≤；②当0ln2a <<时，()g x 在()0,a 上是增函数，在(),ln2a 上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，则()()2000g ln g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，解得0ln2a <<， ③当ln2a =时，()'0g x ≥，()g x 在()0,+∞上是增函数，而()209ln2ln 20g =−−>成立， ④当ln2a >时，()g x 在()0,ln2上是增函数，在()ln2,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，则()()2100090a g a e g a a ⎧=−>⎪⎨=−−≥⎪⎩，解得ln2ln10a <<． 综上，a 的取值范围为()ln24,ln10−.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．解：（1）曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cos θ．联立，得M （0，0），．（2）易知|MN |＝1，直线．设点P （2cos α，sin α），则点P 到直线l 的距离．∴（其中）． ∴△PMN 面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式恒成立，……（1分）当0＜x≤1时，f（x）＞等价于x2﹣2x＞0，该不等式解集为ϕ，……（2分）当x＞1时，等价于x2+2x﹣2＞2，解得，………（3分）综上，x＜0或，所以不等式的解集为．…………………（5分）证明：（2），易得f（x）的最小值为1，即a+b+c＝M＝1……………………………（7分）因为a，b，c∈R+，所以，，，所以≥2a+2b+2c＝2，……………………（9分）当且仅当时等号成立．…………………………………………（10分）。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(二)数学(理科)试题 Word版含解析
∵直线 与圆相切，
∴圆心到直线的距离 ，
整理得： ，
设 ，则有 ，即 ，
解得： ，
则 的取值范围为 .
故选：B
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，是中档题.
8.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 中，角 所对的边分别为 ，则 的面积 .根据此公式，若 ，且 ，则 的面积为（ ）
由 ，不妨令 ，得
由 ，得 或
当 时， ，不合题意.
当 时， ，此时
所以 ，故B正确.
因为 ，函数 ，在 上是单调递增，故C错误.
，故D错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查三角函数 性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.
12.定义在R上的偶函数 满足 ，且 ，若关于x的不等式 在 上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求内角A的角平分线AD长的最大值.
黑龙江省大庆实验中学高三数学仿真训练题 理
黑龙江省大庆实验中学高三数学仿真训练题 理【会员独享】本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
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注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在答形码区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B ＝ （ ）A ．{}1,3-B ．{}1,1-C ．{1,1,3}-D ．{}1-2．如果复数i m m m m )65()3(22+-+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．0 B.2 C. 0或3 D. 2或3 3．函数f (x )=sin 2x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ( ) A.1 B.132C.3234．如图S 为正三角形ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝AB ，E 、F 分别为SC 、AB中点，则异面直线EF 与AB 所成角为 ( )A ．60ºB ．90º C．45º D．30º5．设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 （ ）A.2211216x y += B. 2211612x y += C. 2214864x y += D. 2216448x y +=6．直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是（ ）A ．040B ．050C ．0130D ．01407． 一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为（ ）A ．321 B ．3231 C ．325 D ．51 8．在1022)1)(1(x x x +-+展开式中4x 的系数为 （ ）A ．55B ．35C ．45D ．509. 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为 （ ）A.24B.22±C.24±D. 3210、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m ③l∥m ⇒α⊥β ④l⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是 （ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④11. 已知函数()f x =⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-1,32.1,5)3(x a x x a 是(,)-∞+∞上的减函数。
黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
高考数学模拟试卷（理科）（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={x∈N|-1＜x＜5}，集合A={1，3}，则集合U A的子集的个数是（）A. 16B. 8C. 7D. 42.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A. B. C. D.3.在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD，若•=，则•的值是（ ）A.B. 2C. 0D. 14.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（ ）A. f（x）=（4x+4-x）|x|B. f（x）=（4x-4-x）log2|x|C. f（x）=（4x+4-x）log2|x|D. f（x）=（4x+4-x）|x|5.某程序框图如图所示，若输出S=3，则判断框中M为（ ）A. k＜14？B. k≤14？C. k≤15？D. k＞15？6.若实数x，y满足则z=x-ay只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围为（ ）A. （-∞，0）∪（1，+∞）B. （1，+∞）C. （0，1）D. （-∞，1）7.在区间[-2，2]上随机取一个数b，若使直线y=x+b与圆x2+y2=a有交点的概率为，则a=（ ）A. B. C. 1 D. 28.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（ ）A. 34πB. 32πC. 17πD.9.小王、小张、小赵、小李四个人比赛，赛前甲说小王第一，小张第三；乙说小李第一，小赵第四；丙说小赵第二，小王第三．比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则小王名次是（ ）A. 第一B. 第二C. 第三D. 第四10.若将函数y=2cos x（sin x+cos x）-1的图象向左平移φ个单位，得到函数是偶函数，则φ的最小正值是（ ）A. B. C. D.11.设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）=f（b）=f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（ ）A. （16，32）B. （18，34）C. （17，35）D. （6，7）12.在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）A. （0，]B. （0，]C. [，]D. [，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.平行于曲线y=e x在点（0，1）处的切线，且与圆x2+y2+4x-2y-3=0相切的直线方程为______．14.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确命题序号是______．（1）若m∥α，n∥α，则m∥n（2）若m⊥α，m⊥n则n∥α（3）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β；（4）若m⊂β，α∥β，则m∥α15.已知数列{a n}，{b n}满足a1=1且a n、a n+1是函数f（x）=x2-b n x+2n的两个零点，则b10等于______．16.若函数f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知向量=（sin（），sin（）），=（sin x，cos x），f（x）=．（1）求f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的取值集合M；（2）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边若且c=1，求△ABC的周长的取值范围．18.近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在我省的发展情况，我省某调查机构抽取了哈尔滨、齐齐哈尔、大庆、牡丹江、佳木斯5个城市，分别收集和分析了网约车的，两项指标数，数据如下表所示：佳木斯牡丹江大庆齐齐哈尔哈尔滨A指标数x24568B指标数y34445经计算得，，．（1）试求y与x间的相关系数，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值；（3）若城市的网约A车指标数x落在区间（，）的右侧，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通管理带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A指标数x回落到区间（，）之内．现已知2019年3月该城市网约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由．附：相关公式：，，参考数据：，．19.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．（Ⅰ）作平面CDE与平面ABE的交线l并写出作法及理由；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面ACE；（Ⅲ）若多面体ABCDE的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．20.设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围．21.已知函数f（x）=a sin x（a∈R），g（x）=e x．（1）若0＜a≤1，证明函数G（x）=f（-x）+ln x在（0，1）上单调递增；（2）设F（x）=（a≠0），对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立,求实数k的取值范围．22.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（t为参数），点Q为曲线C2上的动点，求点Q到直线l距离的最大值．23.已知函数f（x）=|x|，g（x）=-|x-4|+m，x∈R，m∈R是常数．（Ⅰ）解关于x的不等式g（|x|）+3-m＞0；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与无公共点，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了补集的运算，考查了集合的子集，是基础题．根据补集的定义求出U A，可得所有子集得答案．【解答】解：全集U={x∈N|-1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，集合A={1，3}，则集合U A={0，2，4}，则集合U A的子集的个数是23=8，故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：对于A：i（1+i）2=i•2i=-2，是实数；对于B：i2（1-i）=-1+i，不是纯虚数；对于C：（1+i）2=2i为纯虚数；对于D：i（1+i）=i-1不是纯虚数．故选C．3.【答案】A【解析】分析：建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1-，2）∴=（1-）+1×2=故选：A．4.【答案】C【解析】解：函数f（x）的图象如图所示，函数是偶函数，x=1时，函数值为0．f（x）=（4x+4-x）|x|是偶函数，但是f（1）≠0，不满足题意．f（x）=（4x-4-x）log2|x|是奇函数，不满足题意．f（x）=（4x+4-x）log2|x|是偶函数，f（1）=0满足题意；f（x）=（4x+4-x）|x|是偶函数，f（1）=0，当x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．则函数f（x）的解析式可能是f（x）=（4x+4-x）log2|x|．故选：C．通过函数的图象，判断函数的奇偶性，利用特殊点判断函数的解析式即可．本题考查由函数的图象判断函数的解析式，判断函数的奇偶性以及特殊点是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：模拟执行程序，得该程序的作用是累加并输出S=+++…+的值，由于S=+++…+=（-1）+（）+…+（-）=-1=3，解得：k=15，由题意当k=15时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为3，则判断框中应该为k≤14？故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S=+++…+的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.【答案】D【解析】解：由不等式组作可行域如图，联立，解得C（4，3）．当a=0时，目标函数化为z=x，由图可知，可行解（4，3）使z=x-ay取得最大值，符合题意；当a＞0时，由z=x-ay，得y=x，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，可行解（4，3）为使目标函数z=x-ay的最优解，a＜1符合题意；当a＜0时，由z=x-ay，得y=x，此直线斜率为负值，要使可行解（4，3）为使目标函数z=x-ay取得最大值的唯一的最优解，则＜0，即a＜0．综上，实数a的取值范围是（-∞，1）．故选：D．由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a≥0时显然满足题意，当a＜0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC的斜率的大小得到a的范围．本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在y轴上的截距分析z的取值情况，是中档题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．求出直线与圆有交点时b的范围，再由长度比为求解a值．【解答】解：圆x2+y2=a的圆心为（0，0），半径为，圆心到直线y=x+b的距离d=，由，可得b∈[-，]．∵使直线y=x+b与圆x2+y2=a有交点的概率为，∴，可得a=．故选：B．8.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去是三棱锥如图：是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，所以三棱锥补成长方体外接球相同，外接球的半径为：=．外接球的表面积为：4π×=34π．故选：A．三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出三棱锥的外接球的表面积即可．本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键．9.【答案】D【解析】解：①设小王第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则小赵第二，则小李第一，此情况与题设矛盾，②设小张第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则由甲说的可得小王第一，此情况与题设矛盾，③设小赵第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，由乙说的可得小李第一，此情况与题设矛盾，④设小李第一，由比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则小张第三，小赵第二，小王第四，此情况与题设相符，综合①②③④得：小王名次是第四，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理，逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．10.【答案】A【解析】解：将函数y=2cos x（sin x+cos x）-1=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向左平移φ个单位，可得y=sin（2x+2φ+）的图象，得到函数是偶函数，则2φ+=kπ+，k∈Z，φ的最小正值为，故选：A．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ的最小正值．本题主要考查三角恒等变换，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．不妨设a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），结合图象可得c的范围，即可2a+2b=1.【解答】解：互不相等的实数a，b，c满足f（a）=f（b）=f（c），可得a∈（-∞，-1），b∈（-1，0），c∈（4，5），对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：1+1+24=18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25=34．故选B．12.【答案】A【解析】【分析】本题旨在考查解析几何椭圆的离心率问题．考查数形结合和运算能力，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．由已知设M（x，-），N（x，），代入椭圆方程，得N（b，），由α为直线ON 的倾斜角，得=，由此能求出椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，∴M、N两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN=OP=a，可设M（x，-），N（x，），代入椭圆方程得：|x|=b，得N（b，），α为直线ON的倾斜角，tanα==，=，α∈（，]，∴1≤=≤，即，∴，∴0＜e=≤．∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，]．故选A．13.【答案】y=x+7或y=x-1【解析】解：y=e x的导数为y′=e x，在点（0，1）处的切线斜率为1，设所求直线方程为y=x+t，（t≠1），圆x2+y2+4x-2y-3=0的圆心为（-2，1），半径r为2，由直线和圆相切的条件可得d=r，即为=2，解得t=7或-1，可得所求直线方程为y=x+7或y=x-1．故答案为：y=x+7或y=x-1．求得y=e x的导数，可得切线的斜率，设所求直线方程为y=x+t，（t≠1），运用直线和圆相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式，可得t，进而得到所求直线方程．本题考查导数的运用：求切线斜率，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力和方程思想，属于基础题．14.【答案】（3）（4）【解析】解：若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，相交或异面，故（1）错误；若m⊥α，m⊥n则n∥α或n⊂α，故（2）错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β，故（3）正确；若m⊂β，α∥β，由面面平行的性质可得m∥α，故（4）正确；故答案为：（3）（4）根据空间直线与平面平行的几何特征及空间直线与直线关系的定义，可以判断（1）的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，我们可以判断（2）的真假；根据空间线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化关系，我们可以判断（3）的真假；根据面面平行的性质，我们可以判断（4）的真假；进而得到答案．本题考查的知识点是空间直线与直线位置关系的判定，空间直线与平面位置关系的判定，空间平面与平面位置关系的判定，熟练掌握空间中直线与平面之间位置关系的定义，判定定理，性质定理，几何特征，及相互转化是解答此类问题的关键．15.【答案】64【解析】解：由已知得，a n•a n+1=2n，∴a n+1•a n+2=2n+1，两式相除得=2．∴a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．而a1=1，a2=2，∴a10=2×24=32，，又a n+a n+1=b n，所以b10=a10+a11=64．故答案为：64．由根与系数关系得到a n•a n+1=2n，取n=n+1后再得一式，两式相除，可得数列{a n}中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，求出a10，a11后，可求b10．本题考查了韦达定理的应用，等比数列的判定及通项公式求解，考查转化、构造、计算能力，是中档题．16.【答案】-3【解析】解：∵函数f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x-a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x-a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x-a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=-+1=0，解得a=3，f（x）=2x3-3x2+1，f′（x）=6x（x-1），x∈[-1，1]，f′（x）＞0的解集为（-1，0），f（x）在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（-1）=-4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（-1）=-4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=-4+1=-3．推导出f′（x）=2x（3x-a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x-a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x-a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3-3x2+1，f′（x）=6x（x-1），x∈[-1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值的和．本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．17.【答案】解：（1）=（sin（），sin（））=（cos x，-），f（x）==sin x cosx-=--=sin（2x-）-∴f（x）的最大值为1-…（4分）此时2x-=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）∴M={x|x=kπ+，k∈Z}．…（6分）（2）∵，∴，C=2kπ+，∵C∈（0，π）∴…（7分）∵c=1由c2=b2+a2-2ab cos C，得c2=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-=∴a+b≤2…（10分）又∵a+b＞1 …（11分）故2＜a+b+c≤3，即周长l的范围为l∈（2，3]．…（12分）【解析】（1）根据平面向量数量积运算求解出f（x）化简，结合三角函数的性质即可求解．（2）由，可得C=，由c2=b2+a2-2ab cos C，得c2=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-=，即可得周长l的范围．本题主要考查对三角函数的化简能力和余弦定理得运用．属于中档题．18.【答案】解：（1）由题得，，∴（x i-）（y i-）=6，（x i-）2=20，（y i-）2=2，则r==≈0.95，∵r＞0.25，∴x与y具有较强的线性相关关系；（2）由（1）得=0.3，=4-0.3×5=2.5，∴线性回归方程为=0.3x+2.5，当x=7时，=0.3×7+2.5=4.6，∴当A指标为7时，B指标的估计值为4.6；（3）由题得（-3s，+3s）=（-1，11），∵13＞11，∴该城市的交通管程部门需要进行治理．【解析】（1）计算相关系数r≈0.95＞0.75，所以x与y具有较强的线性相关关系；（2）先得线性回归方程，再代入x=7可得；（3）由题得（-3s，+3s）=（-1，11），由13＞11可得结论．本题考查两个变量相关关系的判断，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）过点E作AB（或CD）的平行线，即为所求直线l．∵AC和BD交于一点，∴A，B，C，D四点共面，又四边形ABCD边长均相等，∴四边形ABCD为菱形，从而AB∥DC，又AB⊄平面CDE，且CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，∵AB⊂平面ABE，且平面ABE∩平面CDE=l，∴AB∥l．证明：（Ⅱ）取AE的中点O，连结OB，OD，∵AB=BE，DA=DE，∴OB⊥AE，OD⊥AE，∵OB∩OD=O，∴AE⊥平面OBD，∵BD⊂平面OBD，∴AE⊥BD，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又AE∩AC=A，∴BD⊥平面ACE，又BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ACE．解：（Ⅲ）由多面体ABCDE的体积为2，得V E-ABCD=2V E-ABD=2，∴V D-ABE=1，设三棱锥D-ABE的高为h，则（）×h=1，解得h=，∵DO=，∴DO⊥平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），B（，0，0），D（0，0，），E（0，1，0），∴=（0，1，），=（-，1，0），=（0，1，-），设平面BCE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，，-1），设直线DE与平面BCE所成角为θ，则sinθ===．∴直线DE与平面BCE所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）过点E作AB（或CD）的平行线，即为所求直线l．由AC和BD交于一点，得A，B，C，D四点共面，推导出四边形ABCD为菱形，从而AB∥DC，进而AB∥平面CDE，由此推导出AB∥l．（Ⅱ）取AE的中点O，连结OB，OD，推导出OB⊥AE，OD⊥AE，从而AE⊥平面OBD ，进而AE⊥BD，由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明平面BDE⊥平面ACE．（Ⅲ）由V E-ABCD=2V E-ABD=2，得V D-ABE=1，求出三棱锥D-ABE的高为，得DO⊥平面ABE ，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BCE所成角的正弦值．本题考查两平面的交线的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知=，a+c=3，解得a=2，c=1．则椭圆方程为：+=1；（Ⅱ）当矩形的ABCD四边的斜率不存在时，S=2a×2b=2×2×2×=8；当矩形的四边斜率都存在时，不妨设AB，CD所在的直线的斜率为k，则BC，AD的斜率为-，设直线AB的方程为y=kx+m，由，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．由△=0，得4k2+3=m2，显然直线CD的直线方程为y=kx-m，则直线AB，CD的间距为d1==2=2=2同理可得BC，AD间距d2=2=2，所以四边形的面积为S=d1d2=4，设=t，则0＜t≤1，∴S=4=4=4，∴8＜S≤14，当t=时，即k=±1时取等号，综上所述椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围[8，14]．【解析】（Ⅰ）由题意可知=，a+c=3，解得a=2，c=1．即可求出椭圆方程，（Ⅱ）当矩形的ABCD四边的斜率不存在时，S=2a×2b=2×2×2×=8；当矩形的四边斜率都存在时，不妨设AB，CD所在的直线的斜率为k，则BC，AD的斜率为-，设直线AB的方程为y=kx+m，根据判别式求出4k2+3=m2，即可求出直线AB，CD的间距为d1，同理可得BC，AD间距d2，表示出四边形的面积，利用换元法，结合二次函数的性质即可求出本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单性质的应用，训练了利用二次函数求最值，是中档题．21.【答案】解：（1）G（x）=-a sin x+ln x，则G'（x）=-a cos x，由于x∈（0，1），故＞1，cos x∈(cos1，1)(0,1)，又a∈(0，1]，故a cos x≤1，故-a cos x＞0，即G'（x）＞0在（0，1）上恒成立，故G（x）在（0，1）递增；（2）F（x）=e x sin x，由对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立，设h（x）=e x sin x-kx，则h'（x）=e x sin x+e x cos x-k，再设m（x）=e x sin x+e x cos x-k，则m'（x）=2e x cos x≥0，因此m（x）在[0，]递增，故m（x）≥m（0）=1-k，①当k≤1时，m（x）≥0即h'（x）≥0，h（x）在[0，]递增，故h（x）≥h（0）=0，即k≤1适合题意，②当k＞1时，m（0）=1-k＜0，m（）=-k，若-k＜0，则x∈（0，）时，m（x）＜0，则h(x)在（0，）上单调递减，h(x)<h(0)=0，不符合题意；若-k≥0，则在（0，]上m（x）存在唯一零点，记为x0，当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，h(x)单调递减，存在x∈（0，x0），h（x）＜h（0）=0，不符合题意.∴综上，k≤1．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（1）求出函数的导数，结合a的范围，得出函数的单调性即可；（2）由对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立，设h（x）=e x sin x-kx，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可．22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．设曲线C1的上任意一点（x，y），变换后对应的点为（x′，y′），则：，即代入曲线C1的直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4中．整理得，所以曲线c2的直角坐标方程为；（Ⅱ）设Q（cosθ，2sinθ），则Q到直线：3x-2y-8=0的距离为．=，当sin（θ+α）=-1时，，所以点Q到直线l的距离的最大值为．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离关系式的应用和三角函数关系式的变换求出最值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）依题意，g（|x|）+3-m=-||x|-4|+3，）由g（|x|）+3-m=-||x|-4|+3＞0，得，||x|-4|＜3-3＜|x|-4＜3 ，1＜|x|＜7，解|x|＜7得，-7＜x＜7 ，解|x|＞1得，x＞1或x＜-1，不等式的解集为（-7，-1）∪（1，7）。
黑龙江省大庆实验中学高三数学仿真模拟试题 理(含解析
大庆实验中学实验一部2017届高三仿真模拟数学试卷(理工类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23题，共150分，共3页。
考试时间：120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】,所以,选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于”改成相反方面“小于”.所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知,它的作用是统计出分数大于或等于110分的人数n.所以.选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图,我们可知概率为两个面积比.选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等,若题中只有一个变量,可考虑利用长度模型,若题中由两个变量,可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项.10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得.11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】由函数的解析式可得函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足∴函数f(x)与y= x−1的图象恰有5个交点,且这5个交点关于(2,0)对称，除去点(2,0)，故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为 ________.【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式.基本不等式可将积的形式转化为和的形式,也可将和的形式转化为积的形式,两种情况下的放缩功能,可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式,函数等的取值范围或最值中.与常用来和化积,而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为_____________．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为.点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为__________．（用数字作答）【答案】1616. 已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为 ___________．【答案】【解析】根据题意得,是直线OA n的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为 . （1）求角；（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)由题意结合余弦定理求得；(2)利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1)，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得:（当且仅当时，等号成立），即.18. （本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为．【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果．试题解析：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将列联表中的数据代入公式计算，得.因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为．19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点.（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1) 取PA的中点N，由题意证得BN∥CQ，则CQ∥平面PAB.(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：（Ⅰ）证明如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN.在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，所以QN∥AD，且QN＝AD.在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，故四边形BCQN为平行四边形，所以BN∥CQ.又BN⊂平面PAB，且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.（Ⅱ）如图，取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO.由(1)知PA＝AM＝PM＝2,所以△APM为等边三角形，所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，则＝(，3,0).因为Q为DP的中点，故Q，所以＝.设平面AQC的法向量为m＝(x，y，z)，则可得令y＝－，则x＝3，z＝5. 故平面AQC的一个法向量为m＝(3，－，5).设直线PD与平面AQC所成角为θ.则sinθ= |cos〈，m〉|＝＝.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。
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大庆实验中学高三模拟数学试题（理科）
注意事项：
1．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．请将第I 卷选择题的答案填写在答题卷的答题卡上，第II 卷将各题答在答题卷指定位置。
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 其中R 表示球的半径 如果事件A 、B 相互独立，那么 球的体积公式
P(A·B)=P(A)·P(B) 34
3
V R π= 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是
P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(
第I 卷
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集3
,{|||2},{|0},()1
U x U M x x N x C M N x -==>=≤-R 则= （ ）
A ．[1，2]
B ．(1,2]
C ．（1，2）
D ．[1,2)
2．若复数(12)1,,,ai i bi a b i +=-∈R 其中是虚数单位，则||a bi += （ ）
A ．
1
2
i + B C D ．
54
3．已知命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=
R 有；命题:(0,),sin 2
q x x x π
∀∈>有；则下列命题是真命题的是
（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧
4．若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为
1
2
，则该几何体的俯视图可以是
（ ）
5．已知21cos 28sin tan 4,sin 2αααα
++=则的值为
（ ）
A ．
B ．
654
C ．4
D 6．函数()(01)||
x
xa f x a x =<<的图象的大致形状是
（ ）
7．已知不同的平面α、β和不同的直线m 、n ，有下列四个命题 （ ）
①若m//n ，,m n αα⊥⊥则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,,//m n m n ααβ= 则，
其中正确命题的个数是 （ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图；若n=3时，
3;97S n =
=时，9
19
S =，则数列的通项公式为（ ） A ．2n —1 B ．2n
C ．2n+1
D ．2n+2
9．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-，
且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成(,)c a b λμλμ=+为实数，则m 的取值范围是
（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(,)-∞+∞
D ．(,2)(2,)-∞+∞
10．已知抛物线2
2(1)y px p =>的焦点F 恰为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，且两曲线的交点连
线过点F ，则双曲线的离心率为 （ ）
A
B
1
C ．2
D
．2+11．函数2
()ln(1)f x x x
=+-的零点所在的可能区间是
（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
12．已知[1,1]x ∈-时，2
()02
a
f x x ax =-+>恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．（0，2）
B ．(2,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．（0，4）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
13
．6(ax 的展开式中2
x 的系数为70，则a= 。
14．已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的顶点都在球面上，若AA 1=2，BC=1，∠BAC=150°，则该球的体积
是 。
15．已知平面区域220
2600x y x y y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为
⊙M ，此时的概率P 为 。
16．下面给出的四个命题中：
①对任意的*,(,)21n n n N P n a y x ∈=+点都在直线上是数列{}n a 为等差数列的充分不必要条件；
②“m=—2”是直线(2)10m x my +++=与“直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆
222
2
0(40)x y D x
E y F
D E F ++
++=+->与坐标轴有
4个交点
1212(,0),(,0),(0,),(0,),A x B x C y D y 则有12120x x y y -=
④将函数cos 2y x =的图象向右平移
3
π个单位，得到函数sin(2)6y x π
=-的图象。
其中是真命题的有 。
（填序号）
三、解答题;本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题12分）已知等差数列36{}2,8n a a a ==满足。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若,{}n a
n n n b a b =求数列的前n 项和。
18．（本小题12分）如图：正四面体MBCD 的棱长为2，
AB ⊥平面BCD ，AB=
3
（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值； 19．（本小题12分）为了解高一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高一学生按性别进行抽
样检查，测得身高频数分布表如下：
（1）求该校高一男生的人数；
（2）估计该校高一学生身高（单位：cm ）在[165,180)的概率；
（3）在男生校本中，从身高（单位：cm ）在[180,190)的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单
位：cm ）在[180,185)的人数，求ξ的分布列和数学期望。
20．（本小题12分）设椭圆C ：22
221x y a b
+=的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过A 与AF 2垂直的
直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220.F F F Q +=
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线30x -=相切，求椭圆C 的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F 2的直线交椭圆于M 、N 两点，点P （4，0），求△PMN 面积的最大值。
21．（本小题12分） 设函数()(21)ln(21).f x x x =++ （1）求()f x 的极小值；
（2）若0x ≥时，都有()2f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
请理科考生在22、23题任选一道作答。
22．（本小题10分）选修4—1：几何证明选讲
已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，CD 是∠ACB 的平面分线交AE 于点F ，交
AB 于点D 。
（1）求∠ADF 的度数； （2）若AB=AC ，求
AC
BC
的值。
23．（本小题10分）选修4—5：不等式选讲
设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x m ++-≥恒成立。
（1）求m 的取值范围；
（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212.x x m --≤-。