MATLAB辅助现代工程数字信号处理(李益华)章 (6)

第6章 平稳随机信号处理与分析
6.2 平稳随机信号的时域描述 6.2.1 平稳随机信号的数字特征
平稳随机信号是一类重要的随机信号。 一个离散随机信号X(n)，如果其均值与时间n无关，其自 相关函数φX(n1，n2)与n1和n2的选取无关，而仅与n1和n2之差 有关，那么称X(n)为广义平稳随机信号。狭义的平稳随机信号 是指概率特性不随时间的平移而变化(与时间基准点无关)的随 机信号。只有当X(n)是高斯随机过程时，才是狭义的平稳。 对于平稳随机信号，其均值、方差及均方值描述如下。
阶段和现代随机信号处理阶段。 第一阶段为经典随机信号理论和技术的生长、发展和成熟
期。 第二阶段为现代随机信号处理理论与技术起步和大发展的
时期。
第6章 平稳随机信号处理与分析 6.1.2 随机信号及其特征描述
随机信号(或序列)是一个随机过程，在它的每个时间点上 的取值都是随机的，可用一个随机变量表示。一个随机过程是 一个随机试验所产生的随机变量依时序组合得到的序列。随机 信号X(t)是依赖时间t的随机变量，可以用描述随机变量的方 法来描述随机信号。
是随机信号在均值上下起伏变化的一种度量，它定义为可能值
偏离其均值平方的数学期望。方差表示为
2 X
(n)
E[ X (n) mX (n) 2 ]
lim
N
1 N
N Fra Baidu bibliotek1
2
x(n,i) mX (n)
方差的平方根称为均方差或标准差，即
(6.3)
X (n) E[ X (n) mX (n) 2 ]
x_d= x_std.* x_std
x_sq = 0.9978 均方差 x_std = 0.9978 方差 x_d = 0.9955
第6章 平稳随机信号处理与分析
1. 均值(一阶矩) 离散随机信号X(n)的所有样本函数，在同一时刻取值的统 计平均值称为集平均，简称均值。即
mX (n)
n
E[ X (n)]
lim
N
1 N
N i 1
x(n, i)
2. 方差(二阶矩)
(6.2)
方差用于说明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，
disp(′均值′); x_mean=mean(x)
disp(′均方值′); x_2p=x*x′/N
第6章 平稳随机信号处理与分析
disp(′均方根值′); x_sq=sqrt(x_2p) disp(′均方差′); x_std=std(x，1)
disp(′方差′); 程序运行结果为
均值 x_mean = 0.0019 均方值 x_2p = 0.9956 均方根值
lim 1 N N
N
x* (n1, i)x(n2 , i)
i 1
(6.7)
第6章 平稳随机信号处理与分析
5. 自协方差函数 自协方差函数可表示为
X (n1, n2 ) E{[ X (n1 ) mX (n1)]*[ X (n2 ) mX (n2 )]}
(6.8)
随机信号的自相关函数φX(n1，n2)描述了信号X(n)在n1、n2这 两个时刻的相互关系，是一个重要的统计量。
对于两个随机信号X(n)、Y(n)，其互相关函数和互协方差函
数分别为
(1) 互相关函数:
XY (n1, n2 ) E[ X * (n1 )Y (n2 )]
(2) 互协方差函数: XY (n1, n2 ) E{[ X (n1 ) mX (n1 )]*[Y (n2 ) mY (n2 )]}
(6.9) (6.10)
(6.4)
第6章 平稳随机信号处理与分析 3. 均方值 均方值描述了离散随机信号的强度或功率。即
D
2 X
(n)
E[
X
(n)
2
]
lim
N
1 N
N i 1
x(n,i) 2
均方值与离散随机信号的均值和方差的关系为
2 X
DX2
n2
4. 自相关函数
自相关函数可表示为
(6.5) (6.6)
X (n1, n2 ) E[ X * (n1 ) X (n2 )]
式为
y=mean(x)
其中，x为离散随机序列，y为其均值。
第6章 平稳随机信号处理与分析 2. 方差 方差可表示为
2 X
(n)
2 X
E[ X (n) X
2]
(6.13)
MATLAB提供了函数std来计算随机离散信号的均方差(标准 差)，调用格式为
y=std(x) y=std(x， flag)
其中，x为离散随机序列; y为方差; flag为控制符，用来控制
第6章 平稳随机信号处理与分析
1. 均值 均值可表示为
E[X (n)]
n
lim
N
1 N
N n0
x(n)
(6.11)
对于有限长平稳随机信号序列，为计算其均值估计，均值可
表示为
E[ X (n)]
ˆn
1 N
N n0
x(n)
(6.12)
MATLAB提供了函数mean来计算随机离散信号的均值，调用格
计算均方差的算法，当flag=0时， 计算无偏均方差
y
[1 N 1
N
[(x(n)
n1
X
1
)2 ]2
(6.14)
第6章 平稳随机信号处理与分析
当flag=1时，计算有偏均方差为
y
[ 1 N
N
1
[(x(n) X )2 ]2
n1
(6.15)
第6章 平稳随机信号处理与分析
3. 均方值 均方值可表示为
第6章 平稳随机信号处理与分析
第6章 平稳随机信号处理与分析
6.1 随机信号及其处理 6.2 平稳随机信号的时域描述 6.3 平稳随机信号的频域描述 6.4 线性系统对随机信号的响应 6.5 平稳随机信号的模型 6.6 小结
第6章 平稳随机信号处理与分析 6.1 随机信号及其处理
6.1.1 随机信号处理的发展历程 随机信号处理的发展可分为两个阶段: 经典随机信号处理
当t在时间轴上取值t1，t2，…，tm时，可得到m个随机变 量X(t1)，X(t2)，…，X(tm)， 该随机信号可利用m维的概率分 布函数(或概率密度)来描述:
PX (x1, x2 ,, xm ;t1,t2 ,,tm ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tm ) xm} (6.1)
DX2 (n) DX2 E[ X (n) 2 ]
(6.16)
【例 6.1】 利用MATLAB编程计算长度N=100000的正态分布
高斯随机噪声的均值、均方值、均方根值、方差以及均方差。
MATLAB程序如下:
%MATLAB PROGRAM 6-1
N=10^5;
x=randn(1，N);
%产生正态分布高斯随机噪声